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2025届高考数学一轮复习专项练习课时规范练23正弦余弦定理与解三角形
展开1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,b=2,A=60°,则c=( )
A.B.1C.D.2
2.若△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin 2A=asin B,且c=2b,则=( )
A.B.C.D.
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形B.等腰非等边三角形
C.等边三角形D.钝角三角形
4.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cs A=( )
A.B.
C.-D.-
5.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcs A+acs B=c2,a=b=2,则△ABC的周长为( )
A.7.5B.7C.6D.5
6.(多选)在△ABC中,给出下列4个命题,其中正确的命题是( )
A.若AB.若sin A
D.若Acs2B
7.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为α,则坡度值tan α= .
8.
已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile 的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5 h能截住该走私船?参考数据:sin 38°=,sin 22°=
综合提升组
9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且acs C,bcs B,ccs A成等差数列,若△ABC外接圆的半径为1,则b=( )
A.B.2C.D.
10.(多选)在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cs∠CDB=-,则( )
A.sin∠CDB=
B.△ABC的面积为8
C.△ABC的周长为8+4
D.△ABC为钝角三角形
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,c=3,tan A=2tan B,则cs A= ,△ABC的面积为 .
创新应用组
12.如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cs∠FCB= .
参考答案
课时规范练23 正弦、
余弦定理与解三角形
1.B 由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c,整理得c2-2c+1=0,解得c=1.故选B.
2.D bsin2A=asinB,则sinB·2sinAcsA=sinAsinB,因为sinAsinB≠0,故csA=,且A∈(0,π),故A=由c=2b,得sinC=2sinB=2sin-C,化简整理得到csC=0,且C∈(0,π),故C=,B=故选D.
3.C 因为,所以,所以b=c.又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,所以b2+c2-a2=bc,所以csA=因为A∈(0,π),所以A=,所以△ABC是等边三角形.
4.C 如
图,设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=AD,AB=AD.由余弦定理,得csA==-,故选C.
5.D ∵bcsA+acsB=c2,a=b=2,∴由余弦定理可得b+a=c2,整理可得2c2=2c3,解得c=1,则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5.故选D.
6.ABD 若A0,故C错误;若Acs2B,故D正确.故选ABD.
7 在△ABC中,AB=3.5m,AC=1.4m,BC=2.8m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcs∠ACB,即3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cs(π-α),解得csα=,则sinα=,所以tanα=
8.解 设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上的一点,缉私艇的速度为xnmile/h,则BC=0.5xnmile,AC=5nmile,
依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcs120°,解得BC2=49,BC=0.5x=7,解得x=14.
又由正弦定理得sin∠ABC=,
所以∠ABC=38°.
又∠BAD=38°,所以BC∥AD.
故缉私艇以14nmile/h的速度向正北方向行驶,恰好用0.5h截住该走私船.
9.C 由题意,得2bcsB=acsC+ccsA,由正弦定理,得2sinBcsB=sinAcsC+sinCcsA,即2sinBcsB=sin(A+C)=sinB,故csB=,则B=又△ABC外接圆的半径为1,则b=2rsinB=故选C.
10.BCD 因为cs∠CDB=-,所以sin∠CDB=,故A错误;设CD=a,则BC=2a,在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2CD·BD·cs∠CDB,解得a=,所以S△DBC=BD·CD·sin∠CDB=3=3,所以S△ABC=S△DBC=8,故B正确;因为∠ADC=π-∠CDB,所以cs∠ADC=cs(π-∠CDB)=-cs∠CDB=,在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cs∠ADC,解得AC=2,故△ABC的周长=AB+AC+BC=3+5+2+2=8+4,故C正确;因为AB=8为最大边,所以csC==-<0,即∠C为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.故选BCD.
11 由正弦定理得
=
=
将tanB=tanA代入上式得csA=,故sinA=
所以S△ABC=bcsinA=2×3
12.- 由题意得BD=AB=,BC==2.
∵D,E,F重合于一点P,
∴AE=AD=,BF=BD=,
∴在△ACE中,由余弦定理,得CE2=AC2+AE2-2AC·AEcs∠CAE=12+()2-2×1cs30°=1,∴CE=CF=1.
∴在△BCF中,由余弦定理,得
cs∠FCB==-
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