2023-2024学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市开福区立信中学八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列新能源汽车标志图案中，不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.一个数用科学记数法表示为2.03×10−2，则这个数是( )
A. −203B. 203C. 0.0203D. 0.00203
3.下列运算正确的是( )
A. 3a+4b=7abB. (ab3)3=ab6
C. (a+2)2=a2+4D. a12÷a6=a6
4.若点A(x,1)与B(−2,y)关于x轴对称，则( )
A. x=−2，y=1B. x=−2，y=−1
C. x=2，y=−1D. x=2，y=1
5.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 9=±3C. 2− 22= 22D. 18=2 3
6.如图，已知CA=CD，∠1=∠2，如果只添加一个条件(不加辅助线)使△ABC≌△DEC，则添加的条件不能为( )
A. AB=DE
B. ∠B=∠E
C. BC=EC
D. ∠A=∠D
7.多项式x2+mx+25是完全平方式，那么m的值是( )
A. 10B. 20C. ±10D. ±20
8.若分式x2−1x−1的值为0，则x的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
9.某修路队计划x天内铺设铁路120km，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为( )
A. 120x=120x−2+3B. 120x−2=120x+3C. 120x+2=120x+3D. 120x=120x+2+3
10.“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，小正方形的面积是49，则大正方形的面积是( )
A. 121B. 144C. 169D. 196
11.一个多边形的内角和是720∘，则这个多边形的边数是( )
A. 8B. 9C. 6D. 11
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
12.分解因式：x3−4x=__________.
13.如果代数式 x+1x有意义，那么x的取值范围是______.
14.如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线ED交AC于点D，△BCD的周长是6cm，则BC的长为__________cm.
15.若y= x−2+ 2−x+3，则xy的值为______.
16.如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90∘，BC=8cm，AC=6cm.沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则CD的长为______.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：−(−2)+(π−3.14)0−|1− 3|+(−13)−1.
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(1+1x−1)÷x2+xx2−2x+1，其中x=2.
19.(本小题8分)
如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．
20.(本小题8分)
体育是长沙市中考的必考科目，现随机抽取初二年级部分学生进行“你最想选择哪个考试科目？”的问卷调查，参与调查的学生需从A、B、C、D、E五个选项(A：引体向上；B：仰卧起坐；C：立定跳远；D：实心球；E：跳绳)中任选一项(必选且只选一项).根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：
(1)参加本次调查的一共有______名学生；在扇形统计图中，“ D”所在扇形圆心角的度数是______；
(2)请你补全条形统计图；
(3)已知立信中学初二年级共有750名学生，请你根据调查结果，估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有多少人？
21.(本小题8分)
如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD.
(1)求证：△BCE≌△DCF；
(2)若AD=10，BE=6，求AB的长.
22.(本小题8分)
成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升.一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元.
(1)请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？
(2)店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价a元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元.求出a的值.
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，过点A作AD⊥AB于点D.
(1)若∠B=30∘，AB=2 3，求BD的长；
(2)在(1)的条件下，∠C=45∘，求△ABC的面积；
(3)若AC=4，AB=6，BC=8，求△ABC的面积.
24.(本小题8分)
已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB之间的距离为 (x1−x2)2+(y1−y2)2.
(1)若已知点A(−1,1)，B(1,0)，求线段AB的长；
(2)在(1)的条件下，若存在点C(12,32)，请判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)若y= x2−2x+5+ x2−6x+45，求当x为何值时，y取最小值.
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，已知点A在x轴得正半轴上，点B在y轴得正半轴上，AO=8.
(1)如图1，若∠OAB=45∘，求△ABO的面积；
(2)如图2，若BO=6，点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，当△BOP是以BO为腰的等腰三角形时，求运动时间t；
(3)如图3，以AB为直角边往右上方作等腰直角△ABC，∠ABC=90∘，再以AC为边往右上方作等边△ACD，使得∠DOA=30∘，求线段AD的长度.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D能找到这样的一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴位置．
2.【答案】C
【解析】解：2.03×10−2=0.0203.
故选：C.
科学记数法就是用幂的方式来表示，写成a×10n的形式，n=−2，则2的前面有两个零．
本题考查了科学记数法，科学记数法就是用幂的方式来表示，科学记数法表示数时要注意其指数是正指数、还是负指数，正指数幂是较大的数，负指数幂是较小的数．
3.【答案】D
【解析】解：3a与4b不是同类项，不能合并，所以A不正确，
因为(ab3)3=a3b9，所以B不正确，
因为(a+2)2=a2+4a+4，所以C不正确，
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可得D正确．
故选：D.
分别对四个选项进行计算即可．
本题主要考查了合并同类项的知识、幂的乘方的知识、完全平方公式的知识、同底数幂的除法的知识，难度不大．
4.【答案】B
【解析】解：∵点A(x,1)与B(−2,y)关于x轴对称，
∴x=−2，y=−1，
故选：B.
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5.【答案】C
【解析】解： 2+ 3不能合并同类项，∴A计算不正确；
9=3，∴B不计算不正确；
2− 22=2 2− 22= 22，∴C计算正确；
18= 9×2=3 2，∴D计算不正确；
故选：C.
分析选项，A选项所给的式子不能合并同类项，B选项二次根式 9=3，C选项化简后是 22，D选项化简后是3 2，由此即可求解．
本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法，并能准确计算是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：因为∠1=∠2，
所以∠1+∠ACE=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE.
又因为CA=CD，
所以可以添加BC=EC，此时满足SAS；
添加条件∠A=∠D，此时满足ASA；
添加条件∠B=∠E，此时满足AAS；
添加条件AB=DE，不能证明△ABC≌△DEC.
故选：A.
根据图形可知证明△ABC≌△DEC已经具备了一个角和一对相等边，因此可以利用ASA、SAS、AAS证明两三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
7.【答案】C
【解析】解：由于(x±5)2=x2±10x+25
∴m=±10
故选：C.
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键．
直接利用分式的值为0，则分子为0，分母不为0，进而得出答案．
【解答】
解：∵分式x2−1x−1的值为0，
∴x2−1=0，且x−1≠0，
解得：x=−1.
故选：C.
9.【答案】B
【解析】解：根据题意，得120x+3=120x−2.
故选：B.
设原计划每天修建道路120xm，则实际用了(x−2)天，每天修建道路为120x−2m，根据每天多铺设铁路3km，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则a=12，
又∵小正方形的面积为(a−b)2，则(a−b)2=49，
解得b=5，
∴大正方形的面积为a2+b2=122+52=169，
故选：C.
设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则a=12，小正方形的面积为(a−b)2，则(a−b)2=49，可得b=5，则大正方形的面积为a2+b2，即可求解．
本题考查了勾股定理和求正方形的面积，能正确表示大正方形和小正方形的面积及运用数形结合思想是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：设多边形的边数为n，
则(n−2)×180∘=720∘，
∴n=6，
故选：C.
根据正n边形内角和为(n−2)×180∘，列出方程即可．
本题主要考查了正n边形内角和公式，熟练掌握正n边形内角和为(n−2)×180∘是解题的关键．
12.【答案】x(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用分解因式．
应先提取公因式x，再对其利用平方差公式分解即可．
【解答】解：x3−4x，
=x(x2−4)，
=x(x+2)(x−2).
故答案为：x(x+2)(x−2).
13.【答案】x≥−1且x≠0
【解析】解：由题意可知：x+1≥0x≠0，
∴x≥−1且x≠0，
故答案为：x≥−1且x≠0.
根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式有意义以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
14.【答案】2
【解析】解：∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，
∴DB=DA，△BCD的周长=BC+CD+BD=6cm，
∴BC+AC=6cm.
又AC=4cm，
∴BC=2cm.
故答案为：2.
根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，根据三角形的周长公式计算即可．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15.【答案】8
【解析】解：由题意得，x−2≥0，2−x≥0，
∴x=2，
∴y=3，
∴xy=23=8.
故答案为：8.
先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而得出y的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
16.【答案】83cm
【解析】解：∵∠C=90∘，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB= AC2+BC2=10cm，
由折叠可得：CD=DE，∠AED=∠C=90∘，BE=CB=8cm，
∴AE=AB−BE=2cm，
设CD=xcm，
则DE=xcm，
∴AD=AC−CD=(6−x)cm，
∴在直角三角形ADE中，
由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2，
∴(6−x)2=4+x2，
解得：x=83，
故答案为：83 cm.
利用勾股定理，在直角三角形ACB中求AB=10，然后证明在直角三角形ADE中利用勾股定理即可解决．
本题考查了图形的折叠问题以及勾股定理、利用勾股定理是解决问题的关键．
17.【答案】解：−(−2)+(π−3.14)0−|1− 3|+(−13)−1
=2+1−( 3−1)+(−3)
=2+1− 3+1−3
=1− 3.
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18.【答案】解：(1+1x−1)÷x2+xx2−2x+1
=x−1+1x−1⋅(x−1)2x(x+1)
=xx−1⋅(x−1)2x(x+1)
=x−1x+1，
当x=2时，原式=2−12+1=13.
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90∘，BC=0.7米，AC=2.4米，
∴AB2=0.72+2.42=6.25.
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90∘，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，
∴BD2+1.52=6.25，
∴BD2=4.
∵BD>0，
∴BD=2米．
∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米．
答：小巷的宽度CD为2.7米．
【解析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
20.【答案】15048∘
【解析】解：(1)参加本次调查的一共有30÷20%=150(名)；
在扇形统计图中，“D”所在扇形圆心角的度数是360∘×20150=48∘；
故答案为：150，48∘；
(2)C组人数为150×108360=45(人)，
B组人数为150−30−20−30−45=25(人)，
补全条形统计图如图所示：
(3)750×108360=225(人)，
答：估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有225人．
(1)从两个统计图中，可得到选项A的频数为30人，占调查人数的20%，可求出调查人数，求出D选项所占整体的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；
(2)求出B选项、C选项的人数即可补全条形统计图；
(3)用750乘样本中E选项所占的百分比可得答案．
本题考查条形统计图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，
∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90∘，
∴△BCE和△DCF是直角三角形，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
BC=DCCE=CF，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)；
(2)解：∵CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，
∴△ACE和△ACF是直角三角形，
在Rt△ACE和Rt△ACF中，
AC=ACCE=CF，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)；
∴AE=AF，
由(1)知，Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴BE=DF，
∵AD=10，BE=6，
∴AB=AE+BE=AF+BE=AD+DF+BE=AD+2BE=22.
【解析】(1)根据已知条件可得△BCE和△DCF是直角三角形，然后利用HL即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；
(2)利用HL证明Rt△ACE≌Rt△ACF，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用HL证明Rt△BCE≌Rt△DCF、Rt△ACE≌Rt△ACF是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设1个A型单肩包的利润是x元，1个B型单肩包的利润是y元，
根据题意得：100x+120y=2800180x+200y=4800，
解得：x=10y=15.
答：1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元；
(2)根据题意得：240010+a=260015−a，
解得：a=2，
经检验，a=2是所列方程的解，且符合题意．
答：a的值为2.
【解析】(1)设1个A型单肩包的利润是x元，1个B型单肩包的利润是y元，根据“第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)利用销售数量=总利润÷每个的销售利润，结合第三周A、B两种型号单肩包的销量一样，可列出关于a的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
23.【答案】解：(1)∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90∘，
∵∠B=30∘，
∴AD=12BD，
在Rt△BAD中，由勾股定理得：AB2+AD2=BD2，
即(2 3)2+(12BD)2=BD2，
解得：BD=4(负值已舍去)；
(2)如图1，过点A作AE⊥BC于点E，
则∠AEB=∠AEC=90∘，
∵∠B=30∘，
∴AE=12AB=12×2 3= 3，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：BE= AB2−AE2= (2 3)2−( 3)2=3，
∵∠C=45∘，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE=AE= 3，
∴BC=BE+CE=3+ 3，
∴S△ABC=12AE⋅BC=12× 3×(3+ 3)=3+3 32；
(3)如图2，过点A作AE⊥BC于点E，
则∠AEB=∠AEC=90∘，
设BE=x，则CE=8−x，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2=AB2−BE2=62−x2，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2=AC2−CE2=42−(8−x)2，
∴62−x2=42−(8−x)2，
解得：x=214，
∴AE2=62−(214)2，
解得：AE=3 154(负值已舍去)，
∴S△ABC=12AE⋅BC=12×3 154×8=3 15.
【解析】(1)由含30∘角的直角三角形的性质得AD=12BD，再由勾股定理求出BD的长即可；
(2)过点A作AE⊥BC于点E，由含30∘角的直角三角形的性质得AE= 3，再由勾股定理得BE=3，然后证△AEC是等腰直角三角形，得CE=AE= 3，即可解决问题；
(3)过点A作AE⊥BC于点E，设BE=x，则CE=8−x，在Rt△AEB和Rt△AEC中，由勾股定理得出方程，求出x=214，则AE=3 154，然后由三角形面积公式列式计算即可．
本题考查了勾股定理、含30∘角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和含30∘角的直角三角形的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)∵点A(−1,1)，B(1,0)，
∴AB= (−1−1)2+(1−0)2= 5；
故线段AB的长为 5；
(2)△ABC是等腰直角三角形，
理由：∵AC= (−1−12)2+(1−32)2= 102，BC= (1−12)2+(0−32)2= 102，
∴AC=BC，AC2+BC2=52+52=5=AB2，
∴∠ACB=90∘，
∴△ABC是等腰直角三角形；
(3)∵y= x2−2x+5+ x2−6x+45= (x−1)2+22+ (x−3)2+62，
∴代数式 (x−1)2+22+ (x−3)2+62的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,2)、点B(3,6)(2,3)的距离之和，
求y的最小值，相当于在x轴上找一点P(x,0)，使得P到点A(1,2)、点B(3,6)(2,3)的距离之和的最小值，
设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，由两点之间，线段最短可得，PA′+PB的最小值为线段A′B的长度；
∵A(1,2)，
∴A′(1,−2)，
过B作BH//y轴交A′H于H，交x轴于C，
∴△BCP的面积+四边形A′HCP的面积=S△A′HB，
∴12×(3−x)×6+12×(3−x+2)×2=12×2×(2+6)，
解得x=32，
答：当x为32时，y取最小值．
【解析】(1)根据AB之间的距离公式即可得到AB= (−1−1)2+(1−0)2= 5；
(2)根据勾股定理和勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定定理即可得到结论
(3)根据配方法得到y= x2−2x+5+ x2−6x+45= (x−1)2+22+ (x−3)2+62，于是得到代数式 (x−1)2+22+ (x−3)2+62的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,2)、点B(3,6)(2,3)的距离之和，求y的最小值，相当于在x轴上找一点P(x,0)，使得P到点A(1,2)、点B(3,6)(2,3)的距离之和的最小值，设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，由两点之间，线段最短可得，PA′+PB的最小值为线段A′B的长度；过B作BH//y轴交A′H于H，交x轴于C，根据三角形和梯形的面积公式即可得到结论．
本题考查了对称点-最短路径问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正确地作出图形是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵∠AOB=90∘，∠OAB=45∘，
∴∠OBA=∠OAB=45∘，
∵AO=8，
∴BO=AO=8，
∴S△ABO=12AO⋅BO=12×8×8=32，
∴△ABO的面积是32.
(2)∵∠AOB=90∘，AO=8，BO=6，
∴AB= AO2+BO2= 82+62=10，
∵点P以2个单位长度每秒的速度从点A出发向终点B运动，
∴BP=10−2t，
如图2(甲)，△BOP是腰三角形，且PO=BO=6，作OH⊥AB于点H，
∵12AB⋅OH=12AO⋅BO=S△AOB，
∴12×10⋅OH=12×8×6，
解得OH=245，
∵∠OHB=90∘，
∴PH=BH= BO2−OH2= 62−(245)2=185，
∴BP=2BH=2×185=365，
∴10−2t=365，
解得t=75；
如图2(乙)，△BOP是腰三角形，且BP=BO=6，
∴10−2t=6，
解得t=2，
综上所述，运动时间t为75秒或2秒．
(3)如图3，以OA为一边在x轴下方作等边三角形AOG，连接CG，则AG=AO，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC=AD，∠DAC=∠OAG=60∘，
∴∠GAC=∠OAD=60∘+∠OAC，
在△AGC和△AOD中，
AG=AO∠GAC=∠OADAC=AD，
∴△AGC≌△AOD(SAS)，
∴∠CGA=∠DOA=30∘，
∵∠OGA=60∘，
∴∠CGO=∠CGA=30∘，
∵OG=AG，GC平分∠OGA，
∴GC垂直平分OA，
∴点G、点C的横坐标都是点A的横坐标的12，
∴点G、点C的横坐标都是4，
作CL⊥y轴于点L，则CL=4，∠BLC=∠AOB=90∘，
∵BC=AB，∠ABC=90∘，
∴∠BCL=∠ABO=90∘−∠CBL，
在△CBL和△ABO中，
∠BCL=∠ABO∠BLC=∠AOBBC=AB，
∴△CBL≌△ABO(AAS)，
∴CL=BO=4，
∴BC2=AB2=AO2+BO2=82+42=80，
∴AD=AC= BC2+AB2= 80+80=4 10，
∴线段AD的长度是4 10.
【解析】(1)由∠AOB=90∘，∠OAB=45∘，得∠OBA=∠OAB=45∘，则BO=AO=8，所以S△ABO=12AO⋅BO=32；
(2)由∠AOB=90∘，AO=8，BO=6，求得AB= AO2+BO2=10，则BP=10−2t，再分两种情况讨论，一是PO=BO=6，作OH⊥AB于点H，由12AB⋅OH=12AO⋅BO=S△AOB，得12×10⋅OH=12×8×6，求得OH=245，则PH=BH= BO2−OH2=185，所以BP=2BH=365，则10−2t=365，求得t=75；二是BP=BO=6，则10−2t=6，求得t=2；
(3)以OA为一边在x轴下方作等边三角形AOG，连接CG，因为△ACD是等边三角形，所以AC=AD，∠DAC=∠OAG=60∘，可证明△AGC≌△AOD，得∠CGA=∠DOA=30∘，所以GC平分∠OGA，则GC垂直平分OA，所以点G、点C的横坐标都是4，作CL⊥y轴于点L，可证明△CBL≌△ABO，则CL=BO=4，求得BC2=AB2=80，则AD=AC= BC2+AB2=4 10.
此题重点考查图形与坐标、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰三角形的判定、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．