2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.平面直角坐标系中，点P(2,3)关于x轴对称的点的坐标是( )
A. (2,3)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (−2,−3)
2.在下列长度的4条线段中，能与长5cm，8cm的两条线段围成一个三角形的是( )
A. 2cmB. 3cmC. 10cmD. 13cm
3.下列分式是最简分式的是( )
A. 4m6nB. a+ba2−b2C. x−yx2−y2D. x+yx2+y2
4.如图，工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳，卡钳交叉点O为AA′、BB′的中点，只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D. 两点之间线段最短
5.下列运算正确的是( )
A. a2⋅a=a2B. (a3)2=a6
C. (ab)2=ab2D. (a+b)2=a2+b2
6.一个正多边形的内角和为540∘，则这个正多边形的每一个内角是( )
A. 120∘B. 108∘C. 90∘D. 60
7.如图，方格纸中的∠1和∠2的大小关系是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠2=2∠1
C. ∠2=90∘+∠1
D. ∠1+∠2=180∘
8.如图，边长为(m+n)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后余下部分又剪开拼成个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为n，则长方形的面积是( )
A. 2m+2nB. m+2nC. 2m2+nD. 2mn+n2
9.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40∘，分别以点A，C为圆心，以适当的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线交AB于点D，连接CD；再如图所示作射线BP，交CD于点P.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是( )
A. AD=CD
B. ∠ABP=∠PBC
C. ∠ABP=∠A
D. ∠BPC=115∘
10.“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为( )
A. 63x+13=104xB. 63x+20=104xC. 63x−104x=13D. 63x−104x=20
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，自行车的车身为三角结构，这样做根据的数学道理是______.
12.因式分解：2x2−2=__________.
13.若分式12024−x有意义，则字母x需满足的条件是______.
14.若3−n=127，则n=______.
15.如图：AD为△ABC的角平分线，且AB=3，AC=5，则△ABD和△ADC的面积之比为______.
16.如图，O是直线BC上一点，∠AOB=30∘，PO平分∠AOC，PM//BC交AO于点M，MP=10cm，PD⊥OC于点D，则PD=______cm.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解分式方程：x−3x−2+1=3x−2.
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：(π−2036)0−(12)−2+( 3−1)( 3+1)+(−1)2024.
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(a−3b)(a+3b)+(a−3b)2，其中a=−2,b=12.
20.(本小题8分)
如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AB=AD，求证：
(1)∠E=∠C；
(2)BC=DE.
21.(本小题8分)
某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用A，B两种机器人来搬运化工原料.其中A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等.
(1)求A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
(2)若每台A型，B型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进A，B两种机器人共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进A型机器人多少台？
22.(本小题9分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(4,2)、C(3,5).
(1)若△A′B′C′与△ABC关于x轴成轴对称，作出△A′B′C′；
(2)若P为y轴上一点，使得△APC周长最小，在图中作出点P，并写出P点的坐标为______；
(3)计算△ABC的面积.
23.(本小题9分)
数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证发现一些数学结论.现有a克糖水，其中含有b克糖(a>b>0)，则糖水的浓度(即糖的质量与糖水的质量比)为ba.
(1)糖水实验一：加入m克水，则糖水的浓度为______.生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡，由此可以写出一个不等式______，我们趣称为“糖水不等式”.
(2)糖水实验二：
将“糖水实验一”中的“加入m克水”改为“加入m克糖”，则糖水的浓度为______.根据生活经验，请你写出一个新的“糖水不等式”______.
(3)请结合(2)探究得到的结论尝试证明：
设a、b、c为△ABC三边的长，求证：ca+b+ab+c+ba+c<2.
24.(本小题10分)
学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式2y−mx+5+3x+y−8的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，m看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的系数为0，即原式=(3−m)x+3y−3，所以3−m=0，则m=3.
(1)若多项式(3x−2)a−2x+a2的值与x的取值无关，求a的值；
(2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设左上角的面积为S1，右下角的面积为S2，当AB的长变化时，2S1−S2的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系.
25.(本小题10分)
(1)动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE=20∘，那么∠DEF度数为______；
(2)观察发现：小明将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片(如图②)；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF(如图③).小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由；
(3)实践运用：将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ(如图④)，求∠MNF的大小.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：点P(2,3)关于x轴对称的点的坐标为(2,−3).
故选：C.
根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
2.【答案】C
【解析】解：A、2+5<8，长度是2cm、5cm、8cm的线段不能围成一个三角形，故A不符合题意；
B、3+5=8，长度是3cm、5cm、8cm的线段不能围成一个三角形，故B不符合题意；
C、5+8>10，长度是2cm、5cm、8cm的线段能围成一个三角形，故C符合题意；
D、5+8=13，长度是5cm、8cm、13cm的线段不能围成一个三角形，故D不符合题意．
故选：C.
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3.【答案】D
【解析】解：A.4m6n=2m3n，所以A选项不符合题意；
B.a+ba2−b2=a+b(a+b)(a−b)=1a−b，所以B选项不符合题意；
C.x−yx2−y2=x−y(x+y)(x−y)=1x+y，所以C选项不符合题意；
D.x+yx2+y2为最简分式，所以D选项符合题意．
故选：D.
利用约分和最简分式的定义进行判断．
本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
4.【答案】A
【解析】解：∵点O为AA′、BB′的中点，
∴OA=OA′，OB=OB′，
由对顶角相等得∠AOB=∠A′OB′，
在△AOB和△A′OB′中，
OA=OA′∠AOB=∠A′OB′OB=OB′，
∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，
∴AB=A′B′，
即只要量出A′B′的长度，就可以知道该零件内径AB的长度，
故选：A.
根据点O为AA′、BB′的中点得出OA=OA′，OB=OB′，根据对顶角相等得到∠AOB=∠A′OB′，从而证得△AOB和△A′OB′全等，于是有AB=A′B′，问题得证．
本题考查了三角形全等的判定与性质，正确运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵a2⋅a=a3，
∴选项A不符合题意；
∵(a3)2=a6，
∴选项B符合题意；
∵(ab)2=a2b2，
∴选项C不符合题意；
∵(a+b)2=a2++2ab+b2，
∴选项D不符合题意，
故选：B.
运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和完全平方公式知识进行逐一计算、辨别．
此题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和完全平方公式知识的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6.【答案】B
【解析】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180(n−2)=540，
解得：n=5.
则这个正多边形的每一个内角为540∘÷5=108∘.
故选：B.
根据正多边形的内角和定义(n−2)×180∘，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．
本题考查了多边形内角和公式．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：(n−2)×180∘.
7.【答案】D
【解析】解：如图所示：
由题意可知：∠BAC=∠DEF=90∘，AB=DE，AC=EF，
∴△ABC≌△EDF，
∴∠3=∠4，
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠3=90∘−∠1，
∵∠2=90∘+∠4，
∴∠2=90∘+∠3=90∘+90∘−∠1=180∘−∠1，
∴∠1+∠2=180∘，
故选：D.
先观察图形可知：∠BAC=∠DEF=90∘，AB=DE，AC=EF，利用全等三角形的判定定理证明△ABC≌△EDF，从而证明∠3=∠4，再根据∠2=90∘+∠4，∠1+∠3=90∘，进行代换即可求出答案．
本题主要考查了角的大小比较，解题关键熟练掌握全等三角形的性质和判定．
8.【答案】D
【解析】解：由题意得，拼成的长方形的面积为：
S大正方形−S小正方形
=(m+n)2−m2
=2mn+n2，
故选：D.
根据长方形的面积等于两个正方形的面积差，列式计算即可．
本题考查列代数式，平方差公式，掌握拼图前后面积之间的和差关系是正确解答的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC，∠A=40∘，
∴∠ABC=∠ACB=70∘，
由作图得：BP平分∠ABC，D在AC的垂直平分线上，
∴∠ABP=∠PBC=35∘，AD=CD，
∴∠ACD=∠A=40∘，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=80∘，
∴∠CPC=∠ABP+∠BDC=115∘，
故选：C.
根据线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及外角定理求解．
本题考出来复杂作图，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及外角定理是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可知，甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，
63x+2060=104x，
即63x+13=104x，
故选：A.
根据甲、乙的速度比是3：4，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前20min到达基地，可以列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
11.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：自行车的车身为三角结构，这是因为三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性进行解答即可．
此题主要考查了三角形的稳定性的应用，解题时注意：当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
12.【答案】2(x+1)(x−1)
【解析】首先提公因式2，再利用平方差进行二次分解．
解：原式=2(x2−1)=2(x+1)(x−1).
故答案为：2(x+1)(x−1).
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13.【答案】x≠2024
【解析】解：要使分式12024−x有意义，
则分母不为零，
即2024−x≠0，
解得x≠2024.
故答案为：x≠2024.
根据分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：3−n=127=3−3，
所以n=3，
故答案为：3.
根据负整数指数幂，即可解答．
本题考查了负整数指数幂，解决本题的关键是熟记负整数指数幂的定义．
15.【答案】3：5
【解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=3，AC=5，
∴S△ABDS△ADC=12AB⋅DE12AC⋅DF=ABAC=35.
故答案为：3：5.
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于F，由角平分线的性质得到DE=DF，再根据三角形面积公式解答即可．
本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
16.【答案】5
【解析】解：过M点作MH⊥BC于H点，如图，
∵PO平分∠AOC，
∴∠POC=∠POM，
∵PM//BC，
∴∠MPO=∠POC，
∴∠MPO=∠POM，
∴MO=MP=10cm，
在Rt△MOH中，
∵∠MOH=30∘，
∴MH=12MO=5cm，
∵PM//BC，PD⊥BC，MH⊥BC，
∴PD=MH=5cm.
故答案为：5.
过M点作MH⊥BC于H点，如图，先利用角平分线的定义和平行线的性质证明∠MPO=∠POM，则MO=MP=10cm，再利用含30度角的直角三角形三边的关系得到MH=12MO=5cm，然后根据平行线之间的距离相等得到PD的长度．
本题考查了角平分线的定义：角的平分线把角分成相等的两部分．也考查了平行线的性质．
17.【答案】解：x−3x−2+1=3x−2，
方程两边同时乘以x−2，
得2x−5=3，
解得：x=4，
经检验，x=4是原分式方程的解，
所以x=4.
【解析】解分式方程的步骤：1.去分母．2.移项．3.合并同类项．4.化系数为1.
解分式方程要检验．
本题考查解分式方程．解题的关键是掌握分式方程的步骤．注意分式方程要检验．
18.【答案】解：(π−2036)0−(12)−2+( 3−1)( 3+1)+(−1)2024
=1−4+3−1+1
=0.
【解析】先根据零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，零指数幂及负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：原式=a2−9b2+a2−6ab+9b2
=2a2−6ab，
当a=−2，b=12时，原式=2×(−2)2−6×(−2)×12=14.
【解析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把a、b的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】证明：(1)∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD，
∴180∘−∠2−∠AFE=180∘−∠3−∠CFD，
即∠E=∠C.
(2)∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE.
∵AB=AD，∠E=∠C，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
∴BC=DE.
【解析】(1)根据三角形内角和定理可得∠E=∠C；
(2)由已知可得∠BAC=∠DAE，又因为AB=AD，所以根据ASA可判定△ABC≌△ADE.
此题考查学生对三角形内角和定理及全等三角形的判定的理解及运用．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
21.【答案】解：(1)设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运(x+30)千克化工原料，
根据题意得：1500x+30=1000x，
解得：x=60，
经检验，x=60是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30=60+30=90.
答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料；
(2)设购进m台A型机器人，则购进(12−m)台B型机器人，
根据题意得：5m+3(12−m)≤45，
解得：m≤92，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为4.
答：最多可购进A型机器人4台．
【解析】(1)设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运(x+30)千克化工原料，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出B型机器人每小时搬运化工原料的质量，再将其代入(x+30)中，即可求出A型机器人每小时搬运化工原料的质量；
(2)设购进m台A型机器人，则购进(12−m)台B型机器人，利用总价=单价×数量，结合总价不超过45万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求：
(2)(0,2)；
(3)解：△ABC的面积为：3×4−12×1×3−12×1×3−12×2×4=5.
【解析】【分析】
(1)依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A′B′C′；
(2)作点A关于y轴的对称点A′′，连接A′′C，交y轴于点P，则可解答；
(3)依据割补法进行计算，即可得到△ABC的面积．
本题考查了作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)如图，作点A关于y轴的对称点A′′，连接A′′C交y轴于P，
此时PA+PC=PA′′+PC=A′′C，
由两点间线段最短得，PA+PC的值最小，
即△APC周长最小，此时点P的坐标是(0,2)，
点P即为所求，P(0,2)；
故答案为：(0,2)；
(3)见答案．
23.【答案】ba+m ba+mba
【解析】解：(1)①由题意得：加入m克水后，糖水的浓度为ba+m，
∵糖水加水后会变淡，
∴ba+m故答案为：ba+m，ba+m(2)由题意得：加入m克糖后，糖水的浓度为b+ma+m，
根据生活经验，加入m(m>0)克糖后，糖水会变甜，
∴b+ma+m>ba，
故答案为：b+ma+m，b+ma+m>ba；
(3)在△ABC中，a+b>c，b+c>a，c+a>b，且a>0，b>0，c>0，
∴ab+c<1，ba+c<1，bc+a<1，
由糖水不等式得，ab+c∴ab+c+bc+a+ca+b∴ab+c+bc+a+ca+b<2.
(1)①根据题意列式表示；根据“糖水加水后会变淡”可列出不等式；
(2)根据题意列出代数式和不等式即可；
(3)利用三角形的三边关系得到a+b>c，b+c>a，c+a>b，即ab+c<1，ba+c<1，bc+a<1，在通过本题糖水不等式变形求证即可．
本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系证明ca+b+ab+c+ba+c<2是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)(3x−2)a−2x+a2=3ax−2a−2x+a2=(3a−2)x−2a+a2，
∵多项式(3x−2)a−2x+a2的值与x的取值无关，
∴3a−2=0，
∴a=23；
(2)设AB=x，
由题意得S1=a(x−3b)=ax−3ab，S2=b(x−2a)=bx−2ab，
∴2S1−S2=2ax−6ab−bx+2ab=(2a−b)x−4ab，
∵S1−2S2的值与x无关，
∴2a−b=0，
∴b=2a.
【解析】(1)仿照题意求解即可；
(2)设AB=x，分别求出S1、S2，进而求出2S1−S2，再由2S1−S2的值始终保持不变进行求解即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式是混合运算法则．
25.【答案】55∘
【解析】解：(1)∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20∘，
∴∠AEB=70∘，
∴∠BED=110∘，
根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55∘.
故答案为：55∘；
(2)同意．理由如下：
如图，设AD与EF交于点G.
由折叠知，AD平分∠BAC，
所以∠BAD=∠CAD.
由折叠知，∠AGE=∠DGE=90∘，
所以∠AGE=∠AGF=90∘，
所以∠AEF=∠AFE.
所以AE=AF，
即△AEF为等腰三角形；
(3)由题意得出：
∠NMF=∠AMN=∠MNF，
∴MF=NF，
由对称性可知，MF=PF，
∴NF=PF，
而由题意得出：MP=MN，MF=MF，
在△MNF和△MPF中，
NF=PFMF=MFMP=MN，
∴△MNF≌△MPF(SSS)，
∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180∘，
即3∠MNF=180∘，
∴∠MNF=60∘.
(1)根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70∘，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55∘；
(2)根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；
(3)由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180∘求出即可．
此题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质、等边三角形的性质以及勾股定，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．