江苏省滨海县2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份江苏省滨海县2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. 设集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】根据并集运算求解.
【分析】由题意可得：.
故选：B.
2. 不等式：成立的一个必要不充分条件是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先解出一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】由，解得，
因为真包含于
所以不等式成立的一个必要不充分条件是.
故选：A
3. 函数，则（）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由解析式代入计算函数值即可.
【详解】设，得，则.
故选：A.
4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合初等函数的性质，以及函数奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意；
对于B中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意；
对于C中，函数，此时为非奇非偶函数函数，不符合题意；
对于D中，设，可得定义域为，关于原点对称，且，所以函数为奇函数，符合题意.
故选：D.
5. 设，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】指数式改为对数式，然后由对数的运算法则求解．
【详解】，则，
所以，
故选：D．
6. 据市场分析某个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（）年时，其产出的年平均利润最大．
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】先求得关于的表达式，然后利用基本不等式求得取得最大值时对应的的值.
【分析】，设，
将代入上式得，
所以，
则，
当且仅当时等号成立.
故选：C
7. 若函数的定义域是一切实数，则实数k的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可知：对一切实数恒成立，分和两种情况，结合二次方程分析求解.
【分析】由题意可知：对一切实数恒成立，
若，则，符合题意；
若，则，解得；
综上所述：实数k的取值范围是.
故选：C.
8. 若函数是上的减函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【分析】依题意，在上单调递减，
所以，解得.
故选：A
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知关于x不等式的解集为，则（）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项：一元二次不等式的解集的形式可以确定，B选项：用韦达定理求出的关系，进而求出的解集；CD选项：用与，与的关系确定的符号，以及求出不等式的解集.
【详解】因为的解集为，
则的两个根为与2，且，故A正确；
由韦达定理得：，所以.
不等式化简为：，且，解得：，
所以不等式的解集是，故B正确；
因为，则，故C错误；
不等式即为，
且，可得：，解得：或，
所以不等式的解集为，故D正确；
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（）
A. 命题：，的否定是：，.
B. 命题：，的否定是：，.
C. 是的充分不必要条件.
D. 是关于x的方程有一正一负根的充要条件.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由含量命题的否定写出A、B中命题的否定判断；当，假设即可判断C；根据方程根的分布，结合对应函数的性质列不等式求m的范围，结合充分、必要性定义判断D.
【详解】A：全称命题的否定为特称命题，原命题的否定为，，对；
B：特称命题的否定为全称命题，原命题的否定为，，对；
C：若，假设，此时不成立，故充分性不成立，错；
D：要使的根有一正一负，令，
由于开口向上且对称轴为，故只需，反之也成立，
所以是关于x方程有一正一负根的充要条件，D对.
故选：ABD
11. 下面四个命题中，真命题是（）
A. 若且，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据不等式的性质、差比较法、基本不等式、特殊值等知识确定正确答案.
【详解】A选项，若且，则，
则，所以，所以A选项正确.
B选项，若，如，所以，所以B选项错误.
C选项，，
则，
其中，但的范围无法确定，所以的大小关系不确定，
所以C选项错误.
D选项，，
，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：AD
12. 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（）
A.
B. 为奇函数
C. 在区间上有最大值
D. 的解集为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.由，利用赋值法求解判断；B. 由，令，由奇偶性的定义判断；C.判断函数的单调性求解；D.利用函数的奇偶性和单调性求解判断.
【详解】解：因函数满足，
所以，即，则；
令，则，故为奇函数，
设，且，则，
即，所以在R上是减函数，
所以在区间上有最大值，
由，得，
由在R上是减函数，得，即，
解得，所以的解集为，
故选：ABD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，第16小题第一空2分，第二空3分，共20分．）
13. 函数的定义域是__．
【答案】
【解析】
【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可.
【详解】由，
得，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14. _______.
【答案】7
【解析】
【分析】利用指数和根式的运算求解.
【详解】解：，
，
故答案为：7
15. 若函数是偶函数，则的递减区间是_______.
【答案】（0处可以取）
【解析】
【详解】根据偶函数的定义求得，进而结合二次函数分析单调区间.
【分析】因为函数是偶函数，则，
即，且，
且不恒为0，可得，即，
则，可知其开口向下，对称轴为y轴，
所以的递减区间是.
故答案为：.
16. 考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的含量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的含量），则经过5730年后碳14的含量变为原来的______；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的含量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在______年到5730年之间（参考数据：，）
【答案】 ①. ##0.5 ②.
【解析】
【分析】将代入函数，可得答案，令，则，根据对数运算，可得答案.
【详解】当时，，所以经过5730年后，碳14的含量变为原来的．令，则，所以，所以，所以良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间．
故答案为：；
四、解答题：（本题共6小题，共70分．第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. （1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）10；（2）18
【解析】
【分析】（1）根据对数和指数运算求得正确答案.
（2）利用平方的方法求得正确答案.
【详解】（1）原式
.
（2）∵，
∴，
∴.
18. 已知集合，
（1）若，求的范围；
（2）若“”的充分不必要条件是“”，求的范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式求得集合，根据列不等式来求得的范围.
（2）对是否为空集进行分类讨论，结合充分不必要条件列不等式来求得的范围.
小问1详解】
由题意，若，则，
∴，解得；
【小问2详解】
若是的充分不必要条件，则，
若即时，，
若，则，无解．
综上m的取值范围是．
19. 已知定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数在上的解析式；
（2）在坐标系中作出函数的图象；
（3）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）作图见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义和性质求解析式；
（2）根据解析式结合二次函数作图；
（3）根据图象结合函数单调性列式求解.
【小问1详解】
因为函数定义在上的奇函数，所以且，
当时，，则，
可得，，
所以函数在上的解析式为.
【小问2详解】
根据函数的解析式，作出函数的图象，
【小问3详解】
函数在区间上是单调函数，
根据图象可知，或或，
解得：或或，
所以t的取值范围是.
20. 厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形）为，根据设计要求，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.
（1）若，，且该海报的面积不超过，求的取值范围；
（2）若，，则当长多少时，才能使纸的用量最少？
【答案】（1）
（2）20cm
【解析】
【分析】（1）根据题意得到不等式，求出的取值范围；
（2）设宣传单的面积为，，表达出，利用基本不等式求出面积最小值和的大小.
【小问1详解】
依题意可得，
即，
解得，
又∵，
∴，
故的取值范围为.
【小问2详解】
记宣传单的面积为，设，则，
∴，
当且仅当，即，等号成立，
∴当长为时，宣传单面积最小，最小值为.
21. （1）已知，求值.
（2）已知，，用，表示．
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）由条件可得，，然后代入计算，即可得到结果；
（2）由条件可得，再结合对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由得，，
∴
（2）因为，所以，
即．
22. 已知函数是定义域为上的奇函数，且.
（1）求b的值，并用定义证明：函数在上是增函数；
（2）若对，都有，求实数的范围.
【答案】（1），证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用求得，根据函数单调性的定义证得函数在上是增函数.
（2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，结合不等式恒成立列不等式来求得的取值范围.
【小问1详解】
根据题意，函数是定义域在上的奇函数，
则，即有，解可得，
则，
则，则此时为奇函数，
设，
则，
又，，则，，
则，，
故在上是增函数.
【小问2详解】
根据题意，是定义在上的奇函数，且在上单调递增，
，
则有对，恒成立，
则有，则，
即的取值范围为．
【点睛】根据函数的奇偶性求参数，如果函数是定义在上的奇函数，则有，用这个来求参数时，要注意验证是否符合奇函数的定义.利用函数单调性的定义来证明函数的单调性，主要是判断的符号.