2024湖北省高中名校联盟高三下学期3月联考数学试题含解析

这是一份2024湖北省高中名校联盟高三下学期3月联考数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，若，则，已知函数，，若有两个零点，则，已知函数为函数的一个极值点，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．
考试时间：2024年3月27日下午15：00—17：00
注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数，则（ ）
A．0B．2C．D．
2．已知集合，，若定义集合运算：，则集合的所有元素之和为（ ）
A．6B．3C．2D．0
3．画条直线，将圆的内部区域最多分割成（ ）
A．部分B．部分
C．部分D．部分
4．某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：
则（ ）
A．运动时长的第30百分位数是30B．运动时长的平均数为60
C．运动时长的极差为120D．运动时长的众数为60
5．已知数列中，，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．是等比数列D．
6．若，则（ ）
A．88B．87C．86D．85
7．已知函数，，若有两个零点，则（ ）
A．B．C．D．
8．以表示数集中的报小值，已知不全为0的实数x，y，二元函数，则的最大值为（ ）
A．0B．C．1D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数为函数的一个极值点，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知抛物线，过的焦点的直线与交于A，B两点，设的中点为，分别过A，B两点作抛物线的切线，相交于点，则（ ）
A．点必在抛物线的准线上
B．
C．面积的最小值为
D．过作直线的平行线交轴于点，则
11．已知函数，则（ ）
A．当时，方程无解
B．当时，存在实数使得函数有两个零点
C．若恒成立，则
D．若方程有3个不等的实数解，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列中，，，，则的前项和__________．
13．已知直线与椭圆交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，若，则实数__________．
14．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，且下底面边长为4，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为2，则该拟柱体的体积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解笞应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且．
（1）判断的形状；
（2）若在边上，且，，以和为边，，向外作两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值．
16．（15分）
如图，已知三棱锥中，平面底面，平面，且，．
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知，求平面与平面所成二面角的正弦值．
17．（15分）
已知函数．
（1）证明：函数有三个不同零点的必要条件是；
（2）由代数基本定理，次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）．
若，证明：方程至多有3个实数根．
18．（17分）
在平面直角坐标系内，以原点为圆心，a，b（，，a，b为定值）为半径分别作同心圆，，设为圆上任一点（不在轴上），作直线，过点作圆的切线与轴交于点，过圆与轴的交点作圆的切线与直线交于点，过点，分别作轴，轴的垂线交于点．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设，点，，过点的直线与轨迹交于A，B两点（两点均在y轴左侧）．
（i）若，的内切圆的圆心的纵坐标为，求的值；
（ii）若点是曲线上（轴左侧）的点，过点作直线与曲线在处的切线平行，交于点，证明：的长为定值．
19．（17分）
设的所有可能取值为，称（）为二维离散随机变量的联合分布列，用表格表示为：
仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义，对于固定的，若，则称为给定条件下的条件分布列．
离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：．
（1）设二维离散随机变量的联合分布列为
求给定条件下的条件分布列；
（2）设为二维离散随机变量，且存在，证明：；
（3）某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫．
2024届高三三月联合测评
数学试卷参考答案与评分细则
1．B【解析】因为，所以，选B．
2．A【解析】因为，所以集合的所有元素之和为6，选A．
3．B【解析】设画条直线，将圆最多分割成部分，有，，所以，选B．
4．D【解析】数据排序为：10，30，60，60，90，120，150．由，得第30百分位数为60，A错；平均数为，B错；极差为140，C错；众数为60，D对．选D．
5．D【解析】由，，得，所以，，故，，ABC正确，选D．
6．A【解析】易知，当时，，
所以，
而，所以，选A．
7．C【解析】由，得或，所以或，由，所以，，A、B错误．，C正确，，D错误，选C．
8．C【解析】易知．当时，；当时，，所以，选C．
9．AC【解析】由，，有，，，A正确，B错误；是函数图象的对称轴，C正确；是函数的对称中心，D错误，选AC．
10．ABC【解析】设，与抛物线方程联立有，设，，有，，，的斜率分别为，，有，，解得，所以A正确；，，经计算，，B正确；
对C，，易知当时取最小值，C正确；
对D，由于轴，所以四边形为平行四边形，所以，而，D错误，选ABC．
11．BCD【解析】对A，，，，令，，易知，，，，所以，方程有解，A错误；
对B，有两个零点0，所以当时，有两个零点，正确；
对C，若恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则，令，则，所以在是增函数，又，，因此，，使得①，
所以当时，，即，则在上是减函数，
当时，，即，则在上式增函数，
则②，
由①得，又设，易知在是增函数，所以③，将③代入②得，因此，正确．
对D，或，即或两个方程有3个解，令，，可知在上递减，在上递增，且当时，从而，从而，正确．选BCD．
12．，所以，，所以，所以．填：
13．将直线方程分别与两个椭圆方程联立，有，，设，，，，有，，所以线段与的中点重合，故，所以．填：1．
14．过上底顶点向下底作垂线，可得该拟柱体的体积为中间正六棱柱的体积与外侧6个四棱雉的体积之和，上底面边长为，正六棱柱的体积，四棱锥的体积为，从而拟柱体的体积为．填：．
15．（1）由及正弦定理可得，．
整理有．
从而，或．而，所以是直角三角形．
（2）由（1）知，，设，，在中，由正弦定理，，．
同理在中，．
所以两个正方形面积和．
当且仅当，即时等号成立，所以两个正方形面积和的最小值为．
16．（1）取中点为，连结，由，平面，所以．
．
又平面底面，所以平面．
所以．所以底面．
从而的体积为．
（2）由（1）以为原点，过点作平行线为轴，，分别为x，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
有，，，．
，，．
设为平面的法向量，，，有．
平面的法向量．
有．
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
17．解：（1），其判别式．
若函数有三个不同零点，则必有极大值点与极小值点．
故，从而其必要条件为．
（3）令．
．
．
．
由，可知．
所以在定义域上单调递增，则其仅有唯一零点，不妨记为，可知在上，在上，故先减后增．
所以至多有两个不同的零点，不妨设为，，从而在上递增，，递减，递增．
从而至多有三个不同零点．
所以方程至多有3个实数根．
18．（1）设，则．
过的切线方程为，所以
由和，得．
设，则即
由，得为所求的方程．
（2）设内切圆圆心为，点G，H，J分别为圆与，，的切点．
（i）由（1）可知，轨迹是以为焦点的双曲线，由双曲线定义可知，，，．
由，有，r为内切圆的半径．
从而，
有．
又，所以切点与重合，设，
有，．
联立有，所以．
（ii）设，过点作的角平分线，交轴于点，设，，，由角平分线定理，，有，解得．
从而．
设切线为，与双曲线方程联立，解得，所以切线即为，从而．
延长至，使得，连结，有，设过原点的与处切线平行的直线与交于点，由于为中点，所以为中点，又，所以．
从而．所以．
19．（1）因为，所以用第一行各元素分别除以0．6，可得给定条件下的条件分布列：
（2）二维离散随机变量的概率为，有由，
．
于是，．
由，有．
（3）由（2）知，对于二维离散随机变量，．
设他需要小时离开迷宫，记表示第一次所选的门，事件表示选第个门，
由题设有．
因为选第一个门后30分钟可离开迷宫，所以．
又因为选第二个门后50分钟回到原处，所以．
又因为选第三个门后70分钟也回到原处，所以．
所以．
解得，即他平均要150分钟才能离开迷宫．星期
一
二
三
四
五
六
日
时长（分钟）
60
150
30
60
10
90
120
Y
X
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1
Y
X
1
2
3
4
1
0.1
0.3
0.2
0.6
2
0．05
0.2
0.15
0.4
0.15
0.5
0.35
1
1
2
3