江西省五省九校2024届高三下学期2月开学联考数学试卷(含答案)

这是一份江西省五省九校2024届高三下学期2月开学联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．( )
A.B.C.D.
2．集合,,,则( )
A.B.1C.D.或
3．已知,则( )
A.0B.1C.D.
4．函数的图象大致为( )
A.B.
C.D.
5．已知F为椭圆的右焦点,A,B分别为椭圆C的上顶点和右顶点,若的周长为3a,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
6．某班级举行“变废为宝”手工活动,某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后,制成了简易笔筒(如图2)的侧面,在它的轴截面ABCD中,,,则原扇形纸壳中扇形的圆心角为( )
A.B.C.D.
7．过原点O的直线与圆交于A,B两点,且,则( )
A.1B.2C.D.
8．如图,已知圆O的半径为2,弦长,C为圆O上一动点,则的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.的最小正周期为
B.的图象关于y轴对称
C.的值域为
D.将函数的图象向上平移一个单位长度可以得到的图象
10．国家统计局发布的2018年至2022年我国居民消费水平情况如图所示,则下列说法正确的是( )
(居民消费水平)
A.2018年至2022年我国居民消费水平逐年提高
B.2018年至2022年我国农村居民消费水平逐年提高
C.2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为27504元
D.2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多
11．已知定义在R上的函数满足,当时,.下列结论正确的是( )
A.B.
C.是奇函数D.在R上单调递增
三、填空题
12．已知抛物线的焦点为F,,P为抛物线C上一点,则的最小值为______.
13．小王一次买了两串冰糖葫芦,其中一串有两颗冰糖葫芦,另一串有三颗冰糖葫芦.若小王每次随机从其中一串吃一颗,则只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为______.
14．如图,将正四棱柱斜立在平面上,顶点在平面内,平面,.点P在平面内,且.若将该正四棱柱绕旋转,则PC的最大值为______.
四、解答题
15．已知数列满足,.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
16．如图,在四棱锥中,四边形ABCD是等腰梯形,,,,.
（1）证明:平面平面ABCD.
（2）若,且,求二面角的正弦值.
17．将3个数字1,2,3随机填入如下99个空格中,每个空格中最多填一个数字,且填入的3个数字从左到右依次变大.
（1）求数字2填在第2个空格中的概率;
（2）记数字2填在第个空格中的概率为,求的最大值.
18．已知双曲线的离心率为,右焦点为.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,在x轴上是否存在点P,使得.为定值?若存在,求出该定值;若不存在,请说明理由.
19．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线过点,求a的值;
（2）若恒成立,求a的取值范围.
参考答案
1．答案：C
解析：.
2．答案：B
解析：因为,所以,则,解得,当时,不符合题意,当时,经检验,符合题意.
3．答案：D
解析：因为,所以,.
4．答案：A
解析：,所以为奇函数,排除CD.
当时,,所以,排除B,故选A.
5．答案：D
解析：由题意可得,所以,即,解得或(舍去).
6．答案：B
解析：延长CB,DA交于点O,设圆台两个底面的圆心分别为,.
设,,.因为,所以,则.设所求圆心角为,则,所以.
7．答案：A
解析：圆,即圆,设圆M的半径为r,圆心到直线l的距离为d,AB的中点为C.因为,所以.因为,所以.又因为,所以,解得,所以直线l经过圆心,所以.
8．答案：C
解析：取AB的中点D,连接CD.
.,,,,.故的取值范围为.
9．答案：AD
解析：,的最小正周期为,A正确.的图象不关于轴对称,错误.的值域为,C错误.将函数的图象向上平移一个单位长度可以得到的图象,D正确.
10．答案：BD
解析：2019年的居民消费水平比2020年的居民消费水平高,A错误.2018年至2022年我国农村居民消费水平逐年提高,B正确.2018年至2022年我国居民消费水平数据从小到大排序为25245,27439,27504,31013,31718,,2018年至2022年我国居民消费水平数据的60%分位数为元,C错误.设我国农村人口数为,城镇人口数为,则,化简得,所以2022年我国城镇人口数比农村人口数的1.5倍还要多,D正确.
11．答案：ACD
解析：令,可得,
令,可得.因为当时,,所以.
令,可得.
因为,所以当时,.
又因为当时,,所以当时,.
令,可得①,所以,两式相加可得.
令,可得②.
①-②可得,化简可得,所以是奇函数,C正确.
由,可得,,,…,,B错误.
由,可得,解得,A正确.
令,,可得.
令,则,.
因为当时,,所以,,
所以,即,
所以在上单调递减.
因为为奇函数,所以在R上单调递增,D正确.
12．答案：4
解析：作PB垂直于抛物线C的准线,垂足为B,.
13．答案：
解析：记事件为“小王从有两颗冰糖葫芦的这串吃一颗”,事件B为“小王从有三颗冰糖葫芦的这串吃一颗”.只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的情况有6种:①AA,
②ABA,
③,
④BAA,
⑤BABA,
⑥BBAA.故所求概率为.
14．答案：
解析：过点C作,垂足为E,连接AC.易得平面,所以点C到平面的距离为.,,,.过点C作平面,垂足为.当,,P三点共线,且时,PC取得最大值,最大值为.
15．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设,则,
所以数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
所以,.
（2）,
.
16．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:如图,在等腰梯形ABCD中,作于E,于F.
,
所以,,
所以,则.
因为,平面PBD,平面PBD,,所以平面PBD.
因为平面ABCD,所以平面平面ABCD.
（2）由（1）得平面PBD,所以.
因为,,所以平面ABCD.
以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
,,,.
设平面PAB的法向量为,则有令,可取.
平面PBD的一个法向量为.
设二面角的平面角为,则,,故二面角的正弦值为.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）数字2填在第2个空格中的概率为.
（2）由题意可得,且.
.
当时,取得最大值,最大值为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意可得,解得
则双曲线C的标准方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率不为0,设直线,,,,
联立整理得,
则,.
因为,,
所以
.
将,代入上式,
得.
若为定值,则,解得,
故存在点,使得为定值.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）,,.
曲线在点处的切线方程为.
因为该切线过点,所以,解得.
（2）因为,所以,且.
两边平方可得.
令函数,.
令函数,,所以是增函数.
令,得.
下面比较与的大小.
令函数,,是减函数.
因为,,所以存在,使得当时,,
即.当时,,即.
当时,
当时,,即;
当时,,即.
所以在上单调递减,在上单调递增.
.
令函数,,所以是增函数.
由题意可得,又因为,所以.
当时,,符合题意.
综上,a的取值范围为.