重庆市铜梁中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市铜梁中学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知,分别是平面,的法向量,若,则( )
A.B.C.1D.7
2．已知双曲线的虚轴长为4,离心率为,则该双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
3．记为等差数列的前n项和,若,则( )
A.B.C.10D.12
4．已知函数,则( )
A.B.C.1D.7
5．直线与圆相切,则( )
A.或12B.2或C.或D.2或12
6．已知等比数列的前n项和为,且,成等差数列,则为( )
A.244B.243C.242D.241
7．在长方体中,已知与平面ABCD和平面所成的角均为,则( )
A.B.AB与平面所成的角为
C.D.与平面所成的角为
8．如图,抛物线的焦点为F,直线l与C相交于A,B两点,l与y轴相交于E点.已知,,记的面积为,的面积为,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列求导运算正确的是( )
A.B.
C.D.
10．在平面直角坐标系中,某菱形的一组对边所在的直线方程为:,,另一组对边,.则下列命题正确的有( )
A.
B.与,距离相等的点的轨迹方程为
C.该菱形的四个顶点共圆
D.该菱形的面积为定值
11．已知等差数列的前n项和为,p,q,s,t是互不相同的正整数,且,若在平面直角坐标系中有点,,,,则下列选项成立的有( )
A.直线AC与直线BD的斜率相等B.
C.D.
三、填空题
12．已知,,O为原点,则的外接圆方程为________.
13．已知四面体是棱AB的中点,设,,,则________(用向量,,表示).
14．设双曲线(,)的左,右焦点分别为,,过坐标原点的直线与C交于A,B两点,,,则C的离心率为________.
四、解答题
15．已知等差数列的前项和为,且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若,求数列的前n项和.
16．已知函数(,e为自然对数的底数)
（1）若在点处的切线方程为,求a的值；
（2）讨论的单调性.
17．如图,四棱锥的底面是正方形,平面平面ABCD,,E为BC的中点.
（1）证明:；
（2）若为锐角三角形,求直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围.
18．设椭圆,圆,点,分别为E的左右焦点,点C为圆心,O为原点,线段的垂直平分线为l.已知E的离心率为,点,关于直线l的对称点都在圆C上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l与椭圆E相交于A,B两点,问:是否存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为？若存在,求实数m的值；若不存在,说明理由.
19．已知整数m,,集合,对于中的任意两个元素,,定义A与B之间的距离为.若,,…,且,则称是,,…,是中的一个等距序列.
（1）若,,,,判断,,,是否是中的一个等距序列？
（2）设A,B,C是中的等距序列,求证:为偶数；
（3）设,,…,是中的等距序列,且,,.求m的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析:因为,所以,所以,解得.
故选:D
2．答案：C
解析:由题意,双曲线的虚轴长为4,离心率为,
可得,,即,
因为,即,解得:.
所以曲线的方程为.
故选:C.
3．答案：B
解析:设等差数列的公差为d,由可得,即,
所以,又,所以.
故选:B
4．答案：B
解析:由
得,
令,得,
解得,
故选:B.
5．答案：D
解析:直线与圆心为,半径为1的圆相切,或12,故选D.
6．答案：A
解析:由题意可知,且,
设等比数列的公比为q,
则,得,
.
故选:A
7．答案：D
解析:如图所示:
不妨设,,,依题以及长方体的结构特征可知,与平面ABCD所成角为,与平面所成角为,所以,即,,解得.
对于A,,,,A错误；
对于B,过作于,易知平面,所以AB与平面所成角为,因为,所以,B错误；
对于C,,,,C错误；
对于D,与平面所成角为,,而,所以.D正确.
故选:D.
8．答案：C
解析:抛物线C的准线方程为,分别过点A,B作y轴的垂线,垂足为,,
则,
所以.
故选:C.
9．答案：BC
解析:因为,故A不正确；
因为,故B正确；
因为,故C正确；
因为,故D不正确；
故选:BC.
10．答案：ABD
解析:对于A项,如图,因四边形ABCD是菱形,
则,之间的距离等于,之间的距离,即:,解得:,故A项正确；
对于B项,因,则,距离相等的点的轨迹必是与它们平行的直线,则可设其方程为:,
由,到直线的距离相等可得:,解得:,即与,距离相等的点的轨迹方程为,故B项正确；
对于C项,因的斜率,而的斜率,因,则与不垂直,
即四边形ABCD不是矩形,故其对角线不相等,因此,该菱形的四个顶点不在圆上,即C项错误；
对于D项,由解得:,即:；
又由:解得:,即:.
故,而,之间的距离为,故该菱形的面积为,故D项正确.
故选:ABD.
11．答案：ACD
解析:设等差数列的公差为d,p,q,s,t是互不相同的正整数,且,
则有,,
直线AC的斜率,直线BD的斜率,A选项正确；
,
,
已知条件中不能得到,B选项错误；
,,
,C选项正确；
,D选项正确.
故选:ACD
12．答案：
解析:设外接圆方程为,
因为原点O,,三点都在圆上,所以有
,解得,则圆的方程为,
故的外接圆方程为.
故答案为:
13．答案：
解析:由于D是棱AB的中点,
所以.
故答案为:
14．答案：
解析:由双曲线的对称性可得,,
有四边形为平行四边形,令,则,
由双曲线定义可知,故有,即,
即,,
,
则,即,故,
则有,
即,即,则,
又,故.
故答案为:.
15．答案：（1）；
（2）.
解析:（1）设等差数列的公差为d,由,可得；
由,令,可得,即；
解方程可得:,所以.
（2）因为,由（1）得,所以,又,
故是首项为3,公比为9的等比数列,
所以的前n项和.
16．答案：（1）；
（2）答案见解析.
解析:（1）切线经过点.
,即,解得..
（2）.
时,,可得在上单调递增,在上单调递减..
时,令,解得,
令,解得..
时,,则函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增..
时,,函数在R上单调递增..
时,,则函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增..
综上可得:当时,在上单调递增,在上单调递减.
当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
当时,函数在R上单调递增.
当时,函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析:（1）如图,取线段AB的中点O,连接PO,OD.
因,则,又平面平面ABCD,平面平面=,平面PAB,
故平面ABCD,因平面ABCD,
则①
在正方形ABCD中,E为BC的中点,易证,
故得:,则,即得:②
因,OD,平面POD,
则平面POD,因平面POD,
故.
（2）取CD中点M,连接OM,分别以,,为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.
取正方形边长为2a,高,因为锐角三角形,故必为锐角,
由余弦定理,,解得:.
依题意,,,,,
则,,,
设平面PAD的法向量为,则,可取.
设线AE与平面PAD所成角为,则,
则,
因,故.
即直线AE与平面PAD所成角的余弦值的取值范围为.
18．答案：（1）
（2）不存在,理由见解析
解析:（1）由已知,,则
设点,关于直线l的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线l对称,O为线段的中点,则C为线段的中点,从而线段为圆C的一条直径,所以,即,即.
于是,所以椭圆E的方程是.
（2）因为原点O为线段的中点,圆心C为线段MN的中点,直线l为线段OC的垂直平分线,
所以点O与C也关于直线l对称,
因为点,则线段OC的中点为,直线OC的斜率为2,又直线l为线段OC的垂直平分线,
所以直线l的方程为,即.
将代入,得,即.
设点,,则,.所以
.
由已知,,则,得.
所以,即,即.
因为直线l与椭圆E相交,则,解得,即.
因为,所以不存在实数m,使直线AC与BC的斜率之和为.
19．答案：（1）,,,不是中的一个等距序列
（2）见解析
（3）7
解析:（1）
所以,,,不是中的一个等距序列
（2）设,,
把,,分别称作,,的第一个,第二个,第三个坐标,若,则A,B中有x个对应坐标不相同,
例如当时,说明A,B中有个对应坐标不相同,其中
就是符合的一种情况.
①当得,所以是偶数
②当,
则A,B中有个对应坐标不相同,并且B,C中有1个对应坐标不相同,
所以A,C中有0或2个对应坐标不相同,当有0个对应坐标不相同时,即则,当有2个对应坐标不相同时,,都满足为偶数.
③当
则A,B中有2个对应坐标不相同,并且B,C中有2个对应坐标不相同,
所以A,C中有0或2个对应坐标不相同,当有0个对应坐标不相同时,即则,当有2个对应坐标不相同时,,都满足为偶数.
④当
则A,B中有3个对应坐标不相同,并且B,C中有个对应坐标不相同,
所以中有个对应坐标不相同,即则,满足为偶数.
综上:A,B,C是中的等距序列,则为偶数
（3）根据第二问可得,则说明中有个对应坐标不相同
由变换到需改变5个坐标,保留1个不变,又因为从变成经过奇数次变化,
所以从变到至少经过6次变换,每个坐标变换5次,故m的最小值为7.