初中数学一轮复习【讲通练透】专题04 实数与二次根式的运算（讲通） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题04 实数与二次根式的运算
1.了解有理数、无理数、实数的概念；
2.了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系；
3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用；
4.了解二次根式的概念；
5.掌握二次根式的运算法则，并能灵活运用。
一、实数的基本概念
1．无理数的概念：
（1）定义：无限不循环小数叫做无理数.
（2）解读：
1）无理数的两个重要特征：①无限小数；②不循环.
2）无理数的常见类型：
①具有特定意义的数。如π等；
②……（每相邻两个1之间依次多一个2）等；
③开方开不尽的数，如，等. 那么，是否所有带根号的数都是无理数呢
3）有理数与无理数的区别：有理数总可以表示为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数和无限循环小数也必定是有理数；而无理数是无限不循环小数，无限不循环小数也必定是无理数.
例1、下列实数、sin60°、、、3.14159、-、、中无理数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C.
【解析】无理数有sin60°、、.
2．实数的概念及分类：
（1）定义：有理数和无理数统称为实数.
（2）分类：
①按定义分：
②按性质分：
（3）实数的性质：
①相反数：与互为相反数.
②绝对值：或或
实数和数轴上的点是一一对应的.
π是一个超越数，用尺规作图的方法是不能在数轴上表示的；可以用物理方法来表示：用一个直径为1的圆形从数轴的零点开始转动，正好转一圈的那个点就是π，因为直径为1的圆的周长为π。
（5）实数的运算顺序：先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里的。
（6）实数中非负数的四种形式及其性质：
形式：①；②；③（）；④中.
性质：①非负数有最小值0；②有限个非负数之和仍然是非负数；③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
（7）实数中无理数的常见类型：
①所有开不尽的方根都是无理数，且不可认为带根号的数都是无理数；
②圆周率π及含有π的数是无理数，例如：等；
③…….
例2、在中，哪些是有理数? 哪些是无理数?
【答案】都是有理数；
都是无理数.
例3、计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．
【答案】
解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．
例4、|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．
【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．
【变式】计算：
【答案】
设n=2001，则原式=
（把n2+3n看作一个整体）
=
=n2+3n+1
=n(n+3)+1
=2001×2004+1
=4010005.
二、二次根式的概念
1. 二次根式的定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式
2. 二次根式应满足两个条件：
第一，有二次根号“”。
第二，被开方数是正数或0。
第三，二次根式（≥0）表示非负数的算术平方根。
例5、当x取何值时，的值最小？最小值是多少？
【答案】
∵
∴，
∴当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3.
3. 性质
(1)=a（a≥0）．
(2) （a≥0） （a＜0）
(3)=·（a≥0，b≥0） ·＝（a≥0，b≥0）
(4)=（a≥0，b>0） =（a≥0，b>0）
例6、计算：；
【答案】
原式
4. 最简二次根式
二次根式（）中的称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简
二次根式：
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
(3)分母中不含二次根式。
二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．
5. 同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫同类二次根式。
合并同类二次根式：．同类二次根式才可加减合并．
1．（2021·山东济宁学院附属中学九年级期末）实数﹣，|﹣|，0，中，最小的数是（ ）
A．﹣B．|﹣|C．0D．
【答案】A
【分析】直接利用实数比较大小的方法得出答案．
【详解】
解：∵-，|-|=，0，=2，
∴实数-，|-|，0，中，只有-是负数，故最小的数是﹣．
故选：A．
2．（2021·福建三明一中九年级开学考试）下列实数中，无理数是（ ）
A．3.14B．C．D．
【答案】D
【分析】根据无理数的三种形式找出无理数的选项．
【详解】
解：A、3.14是分数，是有理数；
B、是分数，是有理数；
C、=2，是有理数；
D、是无理数；
故选D．
3．（2021·四川绵阳·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.
【详解】
解：
故选：D.
4．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）估计的值应在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【答案】B
【分析】利用二次根式的混合运算性质计算出结果后再估算大小即可．
【详解】
解：原式＝2÷−÷
＝2−
＝2−2．
∵2＜＜2.5，
∴4＜2＜5，
∴2＜2−2＜3，
即原式值在2和3之间，
故选：B．
5．（2021·常熟市第一中学九年级开学考试）在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．B．C．0D．－
【答案】A
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
根据实数大小比较的方法，可得，
所以四个实数中，最小的数是．
故选：A．
6．（2021·江苏泰州中学附属初中九年级三模）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．（a－b）（－a＋b）=－a2－2ab－b2D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，二次根式的加减运算进行求解即可.
【详解】
解：A、与不是同类项不能合并，故错误；
B、，故错误；
C、，故错误；
D、，故正确；
故选D.
7．（2021·北京交通大学附属中学）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据零次幂，负整数指数幂，绝对值和0指数幂的性质进行求解即可；
（3）利用二次根式的乘除计算法则求解即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
．
8．（2021·陕西西安市·交大附中分校九年级模拟预测）计算：．
【答案】4
【分析】根据立方根，绝对值的定义，负整数指数幂计算即可．
【详解】
解：原式＝3﹣3+4
＝4．
9．（2021·长沙市雅礼实验中学九年级月考）计算：．
【答案】5﹣2
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质等知识分别化简得出答案．
【详解】
解：原式＝2﹣1＋4﹣2
＝5﹣2．
10．（2021·西宁市教育科学研究院中考真题）计算：．
【答案】
【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案．
【详解】
解：原式
．