初中数学一轮复习【讲通练透】专题14 角平分线（讲通） （全国通用）

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从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题14 角平分线
1、能够证明角平分线的性质定理、判定定理
2、能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题
1、角平分线的性质
（1）点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
（2）角平分线性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
（3）符号语言
∵ 点P在∠AOB的角平分线上，PE⊥OA，PD⊥OB
∴ PD = PE
2、角平分线的判定
（1）定理
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
（2）符号语言
∵ PE⊥OA，PD⊥OB，且PD = PE
∴ 点P在∠AOB的角平分线上
1．（2021·浙江九年级专题练习）如图，O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE于点O，若∠BOC＝80°，则∠AOD的度数是（ ）
A．70°B．50°C．40°D．35°
【答案】B
【分析】
根据垂线的性质，可知∠AOD、∠BOE互余，再由角平分线的性质及已知条件，计算∠BOE的度数，据此解题即可．
【详解】
解：∵OD⊥OE于点O，
∴∠DOE＝90°，
∴∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OE平分∠BOC，∠BOC＝80°，
∴∠BOE＝40°，
∴∠AOD＝50°．
故选：B．
2．（2021·广西九年级期末）如图，点在直线上，平分，是直角．若∠1=25°，那么的度数是（ ）．
A．65°B．25°
C．90°D．115°
【答案】B
【分析】
根据题意，得，再由是直角，∠1=25°，得；最后通过计算，即可得到答案．
【详解】
∵平分
∴
∵
∴
∴
故选：B．
3．（2021·重庆市求精中学校）如图，直线相交于点，平分，，则度数为（ ）
A．125°B．130°C．135°D．145°
【答案】D
【分析】
先根据邻补角定义求出∠BOD=70°，再根据角平分线定义得出∠DOE=∠BOD=35°，最后根据邻补角定义即可求出∠COE的度数．
【详解】
解：∵直线AB，CD相交于点O，∠AOD=110°，
∴∠BOD=180°-∠AOD=70°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=35°，
∴∠COE=180°-∠DOE=145°．
故选：D．
4．（2021·西安高新一中实验中学）如图，与互余，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先根据余角的定义，求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义∠DOC的度数，即可求得∠BOD的度数．
【详解】
解：∵∠AOC与∠COB互余，∠COB=15°，
∴∠AOC=90°﹣∠BOC=90°﹣15°=75°，
∵OC平分∠AOD，
∴∠DOC=∠AOC=75°，
∴∠BOD=∠DOC﹣∠BOC=75°﹣15°=60°，
故选：B．
5．（2021·全国九年级专题练习）如图所示，是的平分线，是的平分线，若，那么（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据角平分线的定义和角的和差关系进行计算即可．
【详解】
解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，
∴∠BOC=∠AOB=∠AOC，∠COD=∠DOE=∠COE，
又∵∠AOC=70°，∠COE=40°，
∴∠BOC=35°，∠COD=20°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=35°+20°=55°，
故选B．
6．（2021·山东九年级一模）如图，已知是平角，平分，在平面上画射线，使和互余，若，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】D
【分析】
根据角平分线的定义求出∠COD、∠BOD的度数， 分两种情况：射线OA在直线CE的左上方和射线OA在直线CE的右下方一一加以计算即可．
【详解】
∵平分，
∴∠COD=∠BOD=∠BOC=28°
当射线OA在直线CE的左上方时，如左图所示
∵和互余
∴AO⊥OD，即∠AOD=90°
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=90°+28°=118°
当射线OA在直线CE的右下方时，如右图所示
∵和互余
∴∠COD+∠AOC=90°
∴∠AOC=90°-28°=62°
∴∠AOB=∠BOC-∠AOC=62°-56°=6°
故选：D．
7．（2021·哈尔滨市第六十九中学校九年级二模）在中，的角平分线与边所夹的锐角为，则的度数等于__________．
【答案】或
【分析】
根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到，当时，根据三角形外角的性质得到，即可求得；当时，根据三角形内角和定理得到，即可求得．
【详解】
解：设∠B的角平分线交AC于点E，
当时，如图1，
∵AB=AC，
∴，
∴，
∵∠ABE+∠A=∠BEC，
∴，
∴；
当时，如图2，
∵AB=AC，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，的度数为或．
8．（2021·全国九年级专题练习）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，……以此类推，若，则_______．
【答案】
【分析】
根据角平分线的定义可得∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解，同理求出∠A2，∠A3，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
【详解】
∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）=∠ABC+∠A1，
∴∠A1=∠A，
∵∠A=α．
∠A1=∠A=α，同理可得∠A2=∠A1=α，
根据规律推导，
∴，
故答案为．
9．（2021·北京九年级专题练习）（1）如图1，平分，．求的度数．
（2）如图2，点是直线上的一点，与互余，求的度数．
（3）如图3，点是线段的中点，，，求的长．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据角平分线的定义解答即可；
（2）根据互余的定义解答即可；
（3）根据线段的和差，可得AB的长，根据线段中点的性质，可得AC的长，再根据线段的和差，可得答案．
【详解】
解：（1）平分，
，
，
；
（2）与互余，
，
，
；
（3），，
，
点是线段的中点，
，
．
10．（2021·全国九年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．
其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．
解：∵∠EOC＝90°
∠COF＝34°（ ）
∴∠EOF＝ °
∵OF是∠AOE的角平分线
∴∠AOF＝ ＝56°（ ）
∴∠AOC＝ °
∵∠AOC+ ＝90°
∠BOD+∠EOB＝90°
∴∠BOD＝∠AOC＝ °（ ）
【答案】已知；56；∠EOF；角平分线的定义； 22；∠EOB；22；同角的余角相等．
【分析】
根据角平分线的定义、余角的概念解答．
【详解】
∵∠EOC＝90°，
∠COF＝34°（已知），
∴∠EOF＝56°，
∵OF是∠AOE的角平分线，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°（角平分线的定义），
∴∠AOC＝22°，
∵∠AOC+∠EOB＝90°，
∠BOD+∠EOB＝90°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°（同角的余角相等），
故答案为：已知；56；∠EOF；角平分线的定义；∠EOB；22；同角的余角相等．