最新中考几何专项复习专题30 三角形综合练习（基础）

这是一份最新中考几何专项复习专题30 三角形综合练习（基础），文件包含中考几何专项复习专题30三角形综合练习基础教师版含解析docx、中考几何专项复习专题30三角形综合练习基础学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共74页， 欢迎下载使用。
高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
专题30 三角形综合练习(基础)
一．选择题
1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，AC＝13，AD＝12，BC＝14，则AE的长等于( )
A．5B．6C．7D．152
【分析】利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG＝ED，证明Rt△BDE≌Rt△BGE(HL)，可得BG＝BD＝9，设AE＝x，则ED＝12﹣x，根据勾股定理列方程可得结论．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵AD＝12，AC＝13，
∴DC=AC2−AD2=132−122=5，
∵BC＝14，
∴BD＝14﹣5＝9，
由勾股定理得：AB=92+122=15，
过点E作EG⊥AB于G，
∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，
∴EG＝ED，
在Rt△BDE和Rt△BGE中，
∵EG=EDBE=BE，
∴Rt△BDE≌Rt△BGE(HL)，
∴BG＝BD＝9，
∴AG＝15﹣9＝6，
设AE＝x，则ED＝12﹣x，
∴EG＝12﹣x，
Rt△AGE中，x2＝62+(12﹣x)2，
x=152，
∴AE=152．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③AF+BE＝EF；④MG•MH=12，其中正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH=22AE×22BF=12AE•BF=12AC•BC=12，依此即可作出判断．
【解答】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC2+BC2=2，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH＝MB＝CG，
∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，
∴CF＝AF＝BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=12AC＝MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠5＝45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，
∴∠DCE＝∠2．
在△ECF和△ECD中，
CF=CD∠2=∠DCECE=CE，
∴△ECF≌△ECD(SAS)，
∴EF＝DE．
∵∠5＝45°，
∴∠DBE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，
∵∠A＝∠5＝45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴AEBC=ACBF，
∴AE•BF＝AC•BC＝1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH＝CG，
MG＝CH，MH∥AC，
∴CHBC=AEAB；CGAC=BFAB，
即MG1=AE2；MH1=BF2，
∴MG=22AE；MH=22BF，
∴MG•MH=22AE×22BF=12AE•BF=12AC•BC=12，故④正确；
故选：C．
【点评】此题考查了三角形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
3．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中，正确的结论有( )
①CE＝BD；
②△ADC是等腰直角三角形；
③∠ADB＝∠AEB；
④S四边形BCDE=12BD•CE；
⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AD＝AE，然后求出∠BAD＝∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD＝∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°，再求出∠BGC＝90°，从而得到BD⊥CE，根据四边形的面积判断出④正确；根据勾股定理表示出BC2+DE2，BE2+CD2，得到⑤正确；再求出AE∥CD时，∠ADC＝90°，判断出②错误；∠AEC与∠BAE不一定相等判断出③错误．
【解答】解：∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90°+∠CAD，
∠CAE＝∠DAE+∠CAD＝90°+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴CE＝BD，故①正确；
∠ABD＝∠ACE，
∴∠BCG+∠CBG＝∠ACB+∠ABC＝90°，
在△BCG中，∠BGC＝180°﹣(∠BCG+∠CBG)＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥CE，
∴S四边形BCDE=12BD•CE，故④正确；
由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2＝BG2+CG2，
在Rt△DEG中，DE2＝DG2+EG2，
∴BC2+DE2＝BG2+CG2+DG2+EG2，
在Rt△BGE中，BE2＝BG2+EG2，
在Rt△CDG中，CD2＝CG2+DG2，
∴BE2+CD2＝BG2+CG2+DG2+EG2，
∴BC2+DE2＝BE2+CD2，故⑤正确；
只有AE∥CD时，∠AEC＝∠DCE，
∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝90°，
无法说明AE∥CD，故②错误；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠AEC与∠AEB相等无法证明，
∴∠ADB＝∠AEB不一定成立，故③错误；
综上所述，正确的结论有①④⑤共3个．
故选：C．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
4．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，下列结论正确的有( )个．
①BF＝AC；②AE=12BF；③∠A＝67.5°；④△DGF是等腰三角形；⑤S四边形ADGE＝S四边形GHCE．
A．5个B．2个C．4个D．3个
【分析】只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF＝∠DFG＝67.5°，即可判断①②③④正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断⑤错误．
【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠ABE+∠DFB＝90°，
∴∠A＝∠DFB，
∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°＝∠DBC，
∴BD＝DC，
在△BDF和△CDA中
∠BDF=∠CDA∠A=∠DFBBD=CD，
∴△BDF≌△CDA(AAS)，
∴BF＝AC，故①正确．
∵∠ABE＝∠EBC＝22.5°，BE⊥AC，
∴∠A＝∠BCA＝67.5°，故③正确，
∴BA＝BC，
∵BE⊥AC，
∴AE＝EC=12AC=12BF，故②正确，
∵BE平分∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠ABE＝∠CBE＝22.5°，
∵∠BDC＝90°，BH＝HC，
∴∠BHG＝90°，
∴∠BDF＝∠BHG＝90°，
∴∠BGH＝∠BFD＝67.5°，
∴∠DGF＝∠DFG＝67.5°，
∴DG＝DF，故④正确．
作GM⊥AB于M．
∵∠GBM＝∠GBH，GH⊥BC，
∴GH＝GM＜DG，
∴S△DGB＞S△GHB，
∵S△ABE＝S△BCE，
∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故⑤错误，
∴①②③④正确，
故选：C．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．
5．如图，射线AB∥射线CD，∠CAB与∠ACD的平分线交于点E，AC＝4，点P是射线AB上的一动点，连接PE并延长交射线CD于点Q．给出下列结论：①△ACE是直角三角形；②S四边形APQC＝2S△ACE；③设AP＝x，CQ＝y，则y关于x的函数表达式是y＝﹣x+4(0≤x≤4)，其中正确的是( )
A．①②③B．①②C．①③D．②③
【分析】①正确．由AB∥CD，推出∠BAC+∠DCA＝180°，由∠ACE=12∠DCA，∠CAE=12∠BAC，即可推出∠ACE+∠CAE=12(∠DCA+∠BAC)＝90°，延长即可解决问题．
②正确．首先证明AC＝AK，再证明△QCE≌△PKE，即可解决问题．
③正确．只要证明AP+CQ＝AC即可解决问题．
【解答】解：如图延长CE交AB于K．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA＝180°，
∵∠ACE=12∠DCA，∠CAE=12∠BAC，
∴∠ACE+∠CAE=12(∠DCA+∠BAC)＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥CK，△AEC是直角三角形，故①正确，
∵∠QCK＝∠AKC＝∠ACK，
∴AC＝AK，
∵AE⊥CK，
∴CE＝EK，
在△QCE和△PKE中，
∠QCE=∠PKEEC=EK∠CEQ=∠PEK，
∴△QCE≌△PKE，
∴CQ＝PK，S△QCE＝S△PEK，
∴S四边形APQC＝S△ACK＝2S△ACE，故②正确，
∵AP＝x，CQ＝y，AC＝4，
∴AP+CQ＝AP+PK＝AK＝AC，
∴x+y＝4，
∴y＝﹣x+4(0≤x≤4)，故③正确，
故选：A．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
6．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠DOE＝60°，其中正确的结论数是( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】首先证明△ADC≌△BEC可得AD＝BE；证明△CDP≌△CEQ可得CP＝CQ，然后可得∠QPC＝∠BCA，进而可证明PQ∥AE；根据全等三角形的性质可得DP＝QE，AD＝BE，进而可得AP＝BQ；根据三角形大角对大边可得DE＞QE，进而可得DE＞DP；根据角之间的关系可得∠AOB＝∠DCE＝60°，再由对顶角相等可得∠DOE＝60°．
【解答】解：①∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ADC和△BEC中BC=AC∠ACD=∠BCEDC=CE，
∴△ADC≌△BEC(SAS)，
∴AD＝BE(故①正确)；
②∵∠BCA＝∠∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∵△ADC≌△BEC，
∴∠ADC＝∠BEC，
在△CDP和△CEQ中∠DCE=∠DCPCD=CE∠CEQ=∠CDP，
∴△CDP≌△CEQ(ASA)．
∴CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠QPC＝∠BCA，
∴PQ∥AE，(故②正确)；
③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP＝QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD＝BE，
∴AD﹣DP＝BE﹣QE，
∴AP＝BQ，(故③正确)；
④∵DE＞QE，且DP＝QE，
∴DE＞DP，(故④错误)；
⑤∵∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴∠DOE＝60°，(故⑤正确)．
∴正确的有：①②③⑤．
故选：C．
【点评】本题考查三角形综合，同学们要熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质；得到三角形全等是正确解答本题的关键．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，连接EF交AP于点G，给出以下五个结论：
①∠B＝∠C＝45°；
②AE＝CF，
③AP＝EF，
④△EPF是等腰直角三角形，
⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半．
其中正确的结论是( )
A．只有①B．①②④C．①②③④D．①②④⑤
【分析】根据等腰直角三角形的性质得：∠B＝∠C＝45°，AP⊥BC，AP=12BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C＝∠EAP；∠FPC＝∠EPA；AP＝PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴①∠B＝∠C=12×(180°﹣90°)＝45°，AP⊥BC，AP=12BC＝PC，∠BAP＝∠CAP＝45°＝∠C，
∵∠APF+∠FPC＝90°，∠APF+∠APE＝90°，
∴∠FPC＝∠EPA．
∴△APE≌△CPF(ASA)，
∴②AE＝CF；④EP＝PF，即△EPF是等腰直角三角形；同理可证得△APF≌△BPE，
∴⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的一半，
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=12BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故③错误；
④∵∠AGF＝∠EGP＝180°﹣∠APE﹣∠PEF＝180°﹣∠APE﹣45°，
∠AEP＝180°﹣∠APE﹣∠EAP＝180°﹣∠APE﹣45°，
∴∠AEP＝∠AGF．
故正确的有①、②、④、⑤，共四个．
因此选D．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，中位线的性质的运用，等腰直角三角形的判定定理的运用，三角形面积公式的运用，解答时灵活运用等腰直角三角形的性质求解是关键．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动(点E不与点A、C重合)，且保持AE＝CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C、E、D、F四点在同一个圆上，且该圆的面积最小为4π．其中错误结论的个数是( )个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】①正确．连接CD．只要证明△ADE≌△CDF(SAS)，即可解决问题．
②错误．当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CEDF为正方形．
③错误．四边形CEDF的面积=12S△ABC=12×12×4×4＝4，为定值．
④错误．以EF为直径的圆的面积的最小值＝π•( 12•2 2)2＝2π．
【解答】解：连接CD，如图1，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠A＝∠DCF，
在△ADE和△CDF中
AE=CF∠A=∠DCFAD=CD，
∴△ADE≌△CDF(SAS)，
∴ED＝DF，∠CDF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠EDC+∠CDF＝90°，即∠EDF＝90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正确；
当E、F分别为AC、BC中点时，如图2，则AE＝CE＝CF＝BF，DE＝AE＝CE，
∴CE＝CF＝DE＝DF，
而∠ECF＝90°，
∴四边形CDFE是正方形，所以②错误；
∵△ADE≌△CDF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形CEDF＝S△CDE+S△CDF＝S△CDE+S△ADE＝S△ADC=12S△ABC=12×12×4×4＝4，所以③错误；
∵△CEF和△DEF都为直角三角形，
∴点C、D在以EF为直径的圆上，即点C、E、D、F四点在同一个圆上，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=2DE，
当DE⊥AC时，DE最短，此时DE=12AC＝2，
∴EF的最小值为2 2，
∴以EF为直径的圆的面积的最小值＝π•( 12•2 2)2＝2π，所以④错误；
故选：C．
【点评】本题考查三角形的综合题、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
9．如图，C为线段AE上一动点(不与A、E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④BO＝OE；⑤∠AOB＝60°，恒成立的结论有( )
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
【分析】①根据全等三角形的判定方法，证出△ACD≌△BCE，即可得出AD＝BE．
③先证明△ACP≌△BCQ，即可判断出CP＝CQ，③正确；
②根据∠PCQ＝60°，可得△PCQ为等边三角形，证出∠PQC＝∠DCE＝60°，得出PQ∥AE，②正确．
④没有条件证出BO＝OE，得出④错误；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，⑤正确；即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD＝BE，结论①正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
又∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中，∠ACP=∠BCQ∠CAP=∠CBQAC=BC，
∴△ACP≌△BCQ(AAS)，
∴AP＝BQ，CP＝CQ，结论③正确；
又∵∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，结论②正确．
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴结论⑤正确．
没有条件证出BO＝OE，④错误；
综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤．
故选：C．
【点评】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB上有一动点D以每秒4个单位的速度从点A向点B运动，当点D运动到点B时停止运动．过点D作DE⊥AB，垂足为点D，过点E作EF∥AB交BC于点F，连接BE交DF于点G，设点D运动的时间为t，当S△BDG＝4S△EFG时，t的值为( )
A．t=1417B．t=1210C．t=1017D．t=817
【分析】首先求出AB，由△ADE∽△ACB，求出AE＝5t，DE＝3t，EC＝4﹣5t，再根据EF∥AB，得ECAC=EFAB，求出EF，由EF∥DB，推出△EGF∽△BGD，得S△EGFS△BDG=(EFDB)2=14，推出DB＝2EF，列出方程即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB=AC2+BC2=42+32=5，
∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=DECB=AEBC，
∵AD＝4t，
∴AE＝5t，DE＝3t，
∴EC＝4﹣5t，
∵EF∥AB，
∴ECAC=EFAB，
∴4−5t4=EF5，
∴EF=54(4﹣5t)，
∵EF∥DB，
∴△EGF∽△BGD，
∴S△EGFS△BDG=(EFDB)2=14，
∴BD＝2EF，
∴5﹣4t=54(4﹣5t)，
∴t=1017．
故选：C．
【点评】本题考查三角形综合题﹣动点问题、相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质，解决问题，学会利用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
11．如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AC的中点，E为BC边上一动点，连接ED并延长交BA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AB于G，交CB的延长线于H，则以下结论：①DE＝DG；②BE＝DG；③DF＝DH；④BG＝CE．其中正确的是( )
A．②③B．③④C．①③④D．①③
【分析】欲证线段相等，就证它们所在的三角形全等．证明△DCE≌△DBG，△DBH≌△DAF．
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，且D点是斜边AB的中点，
∴CD＝AD＝DB，BD⊥AC，
∴∠CDE＝∠BDG，∠DCE＝∠DBG＝45°，
∴在△DCE与△DBG中，∠CDE=∠BDGCD=BD∠DCE=∠DBG=45°，
∴△DCE≌△DBG(ASA)，
∴DE＝DG，CE＝BG．
故①④正确；
当DE≠BE时，BE＝DG不成立，故②错误；
同理可证△DBH≌△DAF，∴DF＝DH．
故③正确；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形综合题，重点对三角形全等的判定定理和等腰直角三角形的理解和掌握，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．
12．在等腰 Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB＝2，D是BC边上的点且BD=13CD，连接AD．AD⊥AE，AE＝AD，连接BE．下列结论：
①△ADC≌△AEB；
②BE⊥CB；
③点B到直线AD的距离为105；
④四边形AEBC的周长是72+102+2；
⑤S四边形ADBE＝2．
其中正确的有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】用同角的余角相等即可得出∠BAE＝∠CAD，进而判断出△ADC≌△AEB，得出①正确；用全等三角形的性质得出∠ABE＝∠ACD，再利用等腰直角三角形的性质得出∠ABE＝∠ABC＝∠ACB＝45°即可得出②正确；先求出BD，AD，再用等面积法求出BM即可得出③正确；用四边形的周长的计算方法即可得出④正确；用全等三角形的面积相等转化即可得出⑤正确．
【解答】解：∵AD⊥AE，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ADC和△AEB中，AD=AE∠CAD=∠BAEAC=AB，
∴△ADC≌△AEB故①正确；
∵△ADC≌△AEB，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB＝2，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
∴BE⊥BC，故②正确；
如图，作AN⊥BC于N，BM⊥AD于M．
∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝22，AN＝BN＝NC=2，
∵BD=13CD，
∴BD＝DN=22，AD=AN2+DN2=102，
∵12BD•AN=12AD•BM，
∴22•2=102•BM，
∴BM=105，故③正确；
∵△ADC≌△AEB，
∴AE＝AD=102，BE＝CD＝3BD=322，
∴四边形AEBC的周长是AE+EB+BC+AC=102+322+22+2=72+102+2，故④正确；
∵△ADC≌△AEB，
∴S△ADC＝S△AEB，
∴S四边形ADBE＝S△ABD+S△ABE＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC＝2，故⑤正确；
即：正确的有①②③④⑤共五个，
故选：D．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四边形的面积计算和周长的计算；解本题的关键是求出BM的长度．
二．填空题
13．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，BN平分∠ABC，AE平分∠BAC，AE交BN于G，EF⊥AC于F，连接GF．①△AEB≌△AEF；②∠EFG＝∠AFG；③图中有3对全等三角形；④EF＝GF；⑤S△AEF＝2S△AGN．上述结论正确的序号有 ①②④⑤ ．
【分析】首先证明△ABE≌△AFE，再证明∠BGE＝∠BEG＝67.5°，推出四边形BGFE是菱形，由此即可判断①②③④正确，由NG∥EF，得到△ANG∽△AFE，所以S△ANGS△AEF=(GNEF)2=12，即可判断⑤正确．
【解答】解：∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠AFE＝90°，
∵AE平分∠BAF，
∴∠EAB＝∠EAF，
在△AEB和△AEF中，
∠ABE=∠AFE∠BAE=∠FAEAE=AE，
∴△ABE≌△AFE，故①正确，
∴BE＝EF，
∵∠BGE＝∠GAB+∠ABG＝22.5°+45°＝67.5°，
∠BEA＝∠C+∠EAC＝45°+22.5°＝67.5°，
∴∠BGE﹣∠BEG，
∴BG＝BE＝EF，
∵BN⊥AC，EF⊥AC，
∴BG∥EF，
∴四边形BGFE是平行四边形，
∵BG＝BE，
∴四边形BGFE是菱形，
∴EF＝EG，故④正确，∠EFG＝∠EBG＝45°，
∵∠EFA＝90°，
∴∠GFE＝∠GFN＝45°，故②正确，
∵△ABE≌△AFE，△AGB≌△AGF，△EGB≌△EGF，△ABN≌△CBN，故③错误，
∵∠NGF＝∠NFG＝45°，
∴NG＝NF，
∴EF＝GF=2NG，
∵NG∥EF，
∴△ANG∽△AFE，
∴S△ANGS△AEF=(GNEF)2=12，
∴S△AEF＝2S△ANG．故⑤正确，
∴①②④⑤正确，
故答案为①②④⑤．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用直线知识问题，最后有关结论的判断有点难度，用了相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考填空题中的压轴题．
14．如图，△ABC的内部有一点P，且点D，E，F是点P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠BAC＝70°，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，PD、PE恰好分别为边AB、BC的中垂线，则下列命题中正确的是 (1)(2)(3)(4) ．
(1)A，C两点关于直线PF对称；
(2)PF＝BE；
(3)∠ADB+∠BEC+∠CFA＝360°；
(4)∠DBA+∠FAC＝∠BAC．
【分析】根据线段垂直平分线的性质定理和判定定理判断(1)；根据等边三角形的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质判断(2)；根据轴对称的性质和周角的概念判断(3)；根据线段垂直平分线的性质、轴对称的性质判断(4)．
【解答】解：连接PA、PB、PC，
∵PD、PE分别为边AB、BC的中垂线，
∴PA＝PB，PC＝PB，
∴PA＝PC，
∴PE为AC的垂直平分线，
∴A，C两点关于直线PF对称，A命题正确；
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∵PA＝PB，PB＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PCB＝∠PBC，
∴∠PAB+∠PCB＝∠PBA+∠PBC＝60°，
∴∠PAC+∠PCA＝60°，
∵PA＝PC，
∴∠PCA＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∵CF＝PC，
∴△PCF为等边三角形，
∴PF＝PC，
∵PC＝PB＝BE，
∴BE＝PF，B命题正确；
∵点P、D关于AB对称，
∴∠ADB＝∠APB，
同理可得，∠BEC＝∠BPC，∠AFC＝∠APC，
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA＝∠APB+∠BPC+∠CPA＝360°，C命题正确；
∵PD是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠DBA＝∠DAB，
∵点P、D关于AB对称，
∴∠DAB＝∠PAB，
同理，∠FAC＝∠PAC，
∴∠DBA+∠FAC＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC，D命题正确；
故答案为：(1)(2)(3)(4)．
【点评】本题考查的是轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
15．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，AC＝20cm，点P是△ABC边上的一个动点，点P从点A开始沿A→B→C→A方向运动，且速度为每秒4cm，设出发的时间为t(s)，当点P在边CA上运动时，若△ABP为等腰三角形，则运动时间t＝ 425或9或192 ．
【分析】分三种情形：AB＝AP，AB＝BP，PA＝PB，画出图形分别求解即可．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H．
∵∠ABC＝90°，AC＝20，BC＝16，
∴AB=AC2−BC2=202−162=12，
∵BH⊥AC，
∴S△ABC=12•AC•BH=12•AB•BC，
∴BH=12×1620=485，
∴AH=AB2−BH2=122−(485)2=365，
当BA＝BP1时，AH＝HP1=365，
∴AB+BC+AP1＝20+16+12−725=1685，
此时t=425，
当AB＝AP2时，AB+BC+CP2＝20+16+12﹣12＝36，
此时t＝9，
当AP3＝BP3时，AB+BC+CP3＝20+16+12﹣10＝38，
此时t=192，
综上所述，满足条件的t的值为425或9或192．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．如图，∠ABC＝90°，P为射线BC上任意一点(点P和点B不重合)，分别以AB，AP为边在∠ABC内部作等边△ABE和等边△APQ，连接QE并延长交BP于点F，连接EP，若FQ＝11，AE＝43，则EP＝ 13 ．
【分析】连接EP，过点E作EM⊥BC，由题意可得△AEQ≌△ABP，可得QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°，可求∠EBF＝∠BEF＝30°，根据勾股定理可求BE＝2EM＝43，BM=3EM，EF＝BF＝2FM，EM=3FM，可求BF＝EF＝4，EM＝23，FM＝2，由QF＝11，EF＝4，可得BP＝EQ＝7，可求MP的长，根据勾股定理可求EP的长．
【解答】解：如图：连接EP，过点E作EM⊥BC
∵△AEB，△APQ是等边三角形
∴AB＝AE＝BE＝43，AQ＝AP，∠ABE＝∠BAE＝∠QAP＝60°＝∠AEB
∴∠BAP＝∠QAE且AQ＝AP，AB＝AE
∴△ABP≌△AEQ
∴QE＝BP，∠AEQ＝∠ABC＝90°
∵∠AEQ＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠AEB＝60°
∴∠BEF＝∠EBF＝30°
∴BF＝EF，∠EFM＝60°
∵EM⊥BC
∴∠FEM＝30°
∴EF＝2FM＝BF，EM=3FM
∵∠EBM＝30°，EM⊥BC
∴BE＝2EM，BM=3EM
∵EB＝43
∴EM＝23，BM＝6
∵BF+FM＝BM
∴FM＝2，BF＝EF＝4
∵QF＝EQ+EF
∴EQ＝11﹣4＝7
∴BP＝7
∴MP＝BP﹣BM＝1
在Rt△EMP中，EP=EM2+MP2=13
故答案为13
【点评】本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，构造直角三角形用勾股定理求线段的长度是本题的关键．
17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE．下列结论：
①△ACE≌△BCD；
②若∠BCD＝25°，则∠AED＝65°；
③DE2＝2CF•CA；
④若AB＝32，AD＝2BD，则AF=53．
其中正确的结论是 ①②③ ．(填写所有正确结论的序号)
【分析】先判断出∠BCD＝∠ACE，即可判断出①正确；
先求出∠BDC＝110°，进而得出∠AEC＝110°，即可判断出②正确；
先判断出∠CAE＝∠CEF，进而得出△CEF∽△CAE，即可得出CE2＝CF•AC，最后用勾股定理即可得出③正确；
先求出BC＝AC＝3，再求出BD=2，进而求出CE＝CD=5，求出CF=53，即可判断出④错误．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
由旋转知，CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACE，故①正确；
∵∠ACB＝90°，BC＝AC，
∴∠B＝45°
∵∠BCD＝25°，
∴∠BDC＝180°﹣45°﹣25°＝110°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠BDC＝110°，
∵∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴∠CED＝45°，
则∠AED＝∠AEC﹣∠CED＝65°，故②正确；
∵△BCD≌△ACE，
∴∠CAE＝∠CBD＝45°＝∠CEF，
∵∠ECF＝∠ACE，
∴△CEF∽△CAE，
∴CEAC=CFCE，
∴CE2＝CF•AC，
在等腰直角三角形CDE中，DE2＝2CE2＝2CF•AC，故③正确；
如图，过点D作DG⊥BC于G，
∵AB＝32，
∴AC＝BC＝3，
∵AD＝2BD，
∴BD=13AB=2，
∴DG＝BG＝1，
∴CG＝BC﹣BG＝3﹣1＝2，
在Rt△CDG中，根据勾股定理得，CD=CG2+DG2=5，
∵△BCD≌△ACE，
∴CE=5，
∵CE2＝CF•AC，
∴CF=CE2AC=53，
∴AF＝AC﹣CF＝3−53=43，故④错误，
故答案为：①②③．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△BCD≌△ACE是解本题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM、ON上滑动，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则OA＝23；
②C、O两点距离的最大值为4；
③若AB平分CO，则AB⊥CO；
④斜边AB的中点D运动路径的长为π2；
其中正确的是 ①② (把你认为正确结论的序号都填上)．
【分析】①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求AC和AB，由对称的性质可知：AB是OC的垂直平分线，所以OA＝AC；
②当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为4；
③如图2，当∠ABO＝30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直，或者根据四点共圆可知：A、C、B、O四点共圆，则AB为直径，由垂径定理相关推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，但当这条弦也是直径时，即OC是直径时，AB与OC互相平分，但AB与OC不一定垂直；
④如图3，半径为2，圆心角为90°，根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，
∴AB＝4，AC=42−22=23，
①若C、O两点关于AB对称，如图1，
∴AB是OC的垂直平分线，
则OA＝AC＝23；
所以①正确；
②如图1，取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴OE＝CE=12AB＝2，
当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为4；
所以②正确；
③如图2，当∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴四边形AOBC是矩形，
∴AB与OC互相平分，
但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，
所以③不正确；
④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的14，
则：90π×2180=π，
所以④不正确；
综上所述，本题正确的有：①②；
故答案为：①②．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了直角三角形30°的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键，难度适中．
19．如图，△ABC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，BC上，AC＝AD，∠CDE＝45°，CD与
AE交于点F，若∠AEC＝∠DEB，CE=7104，则CF＝ 5 ．
【分析】作辅助线，构建特殊的四边形ACGH，设∠AEC＝α，则∠DEB＝α，
①根据SAS证明△AEC≌△DEB，得AC＝CH，∠ACE＝∠EGH＝90°，证明四边形ACGH是矩形；
②设∠ACD＝∠ADC＝β，根据三角形的内角和表示∠CAD＝180°﹣2β，根据平角∠ADB＝180°列式：β+45°+∠BDE＝180°，在△BDE中根据三角形的内角和列式为：α+∠BDE+∠ABC＝180°，两式综合可得：∠BDE＝α；
③证明四边形ACGH是正方形，得出AD＝AC＝4BE＝4BD；
④设BE＝x，则BD＝x，在Rt△ACB中，由勾股定理列方程可求出x的值；
⑤过F作FM⊥BC于M，设EM＝y，则FM＝2y，EF=5y，根据EF的长列方程可求出y的值；
⑥在Rt△CFM中，利用勾股定理可求CF的长．
【解答】解：延长CE至G，使EC＝EG，延长ED至H，使EH＝AE，过D作DT∥BC，交AE于T，连接GH、AH，
设∠AEC＝α，则∠DEB＝α，
∵∠AEC＝∠DEB＝α，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC＝GH，∠ACE＝∠EGH＝90°，
∴AC∥GH，
∴四边形ACGH是矩形，
∴AH∥CG，
∴∠AHE＝∠HEG＝α，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
设∠ACD＝∠ADC＝β，
∵∠CDE＝45°，
∴β+45°+∠BDE＝180°，
∴β＝135°﹣∠BDE①，
∵△ACD是等腰三角形，
∴∠CAD＝180°﹣2β，
∵△ACB是直角三角形，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣(180°﹣2β)＝2β﹣90°，
在△BDE中，由内角和得：α+∠BDE+∠ABC＝180°，
α+∠BDE+2β﹣90°＝180°②，
把①代入②得：α+∠BDE+2(135°﹣∠BDE)﹣90°＝180°，
∠BDE＝α，
∴∠ADH＝∠BDE＝α，
∴AD＝AH＝AC，
∴四边形ACGH是正方形，
∴AH＝AC＝2CE=7102，
∴AD＝AC=7102，
∵∠BED＝∠BDE＝α，
∴BE＝BD，
设BE＝x，则BD＝x，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
∴(7102)2+(7104+x)2=(7102+x)2，
解得：x=7108，
∴BE＝BD=7108，
∴CE＝2BE＝2BD，
∴AD＝4BD，
∴ADAB=45，
∵DT∥BC，
∴△ADT∽△ABE，
∴DTEB=ADAB=ATAE=45，
∵CE＝2BE，
∴DTCE=25，
∵DT∥CE，
∴TFEF=DTCE=25，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE=AC2+CE2=(7102)2+(7104)2=3524，
∴ET=15AE=15×3524=724，
∴EF=57ET=57×724=542，
过F作FM⊥BC于M，
tanα=ACCE=FMEM=71027104=21，
设EM＝y，则FM＝2y，EF=5y，
∴5y=542，
y=104，
∴FM＝2y=102，EM＝y=104，
∴CM＝CE﹣EM=7104−104=3102，
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=CM2+FM2=(3102)2+(102)2=5；
故答案为：5．
【点评】本题是三角形和四边形的综合题，考查了矩形、正方形的性质和判定，平行相似及平行线分线段成比例定理，三角函数，勾股定理等知识，比较麻烦，计算量较大；注意线段的比的关系，利用线段的比和未知数，根据勾股定理计算边的长，从而使问题得以解决．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①图中只有2对全等三角形
②AE＝CF；
③△EPF是等腰直角三角形；
④S四边形AEPF=12S△ABC；
⑤EF的最小值为2．
上述结论始终正确的有 ②③④⑤ (填序号)．
【分析】根据全等三角形的判定定理、等腰直角三角形的判定定理、全等三角形的性质定理判断即可．
【解答】解：∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵点P是BC的中点，
∴∠BAP＝∠CAP＝45°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠BPE+∠EPA＝90°，
∴∠BPE＝∠APF，∠EPA＝∠FPC，
在△BPE和△APF中，
∠BPE=∠APF∠B=∠PAFBP=AP，
∴△BPE≌△APF，
∴△EPA≌△FPC，△APC≌△APB，有3对全等三角形，①错误；
∵△EPA≌△FPC，
∴AE＝CF，②；
∵△BPE≌△APF，
∴PE＝PF，又∠EPF＝90°，
∴△EPF是等腰直角三角形，③正确；
∵△BPE≌△APF，
∴S四边形AEPF＝S△ABP=12S△ABC，④正确；
由②知，△EPF是等腰直角三角形，则EF=2EP．当EP⊥AB时，EP取最小值，此时EP=12AB，则EF最小值=22AB=2．故⑤正确，
故答案为：②③④⑤．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．如图，D、E分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长相等，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，给出以下几个结论：
①如果AD是BC边中线，那么CE是AB边中线；
②AE的长度为c+a−b2；
③BD的长度为b+a−c2；
④若∠BAC＝90°，△ABC的面积为S，则S＝AE•BD．
其中正确的结论是 ②③④ (将正确结论的序号都填上)
【分析】由中线的定义，可得到AB＝AC，但AB＝AC时未必有AC＝BC，可判断①；△ABD与△ACD的周长相等，我们可得出：AB+BD＝AC+CD，等式的左右边正好是三角形ABC周长的一半，有AB，AC的值，那么就能求出BD的长了，同理可求出AE的长，可判断②③；把AE和BD代入计算，结合勾股定理可求得S，可判断④；则可得出答案．
【解答】解：
当AD是BC边中线时，则BD＝CD，
∵△ABD与△ACD的周长相等，
∴AB＝AC，
但此时，不能得出AC＝BC，即不能得出CE是AB的中线，
故①不正确；
∵△ABD与△ACD的周长相等，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
∴AB+BD+AD＝AC+CD+AD，
∴AB+BD＝AC+CD，
∵AB+BD+CD+AC＝a+b+c，
∴AB+BD＝AC+CD=a+b+c2．
∴BD=a+b+c2−c=a+b−c2，
同理AE=a+c−b2，
故②③都正确；
当∠BAC＝90°时，则b2+c2＝a2，
∴AE•BE=a+c−b2×a+b−c2=14[a+(c﹣b)][a﹣(c﹣b)]=14[a2﹣(c﹣b)2]=14[a2﹣(c2+b2﹣2bc)]=14×2bc=12bc＝S，
故④正确；
综上可知正确的结论②③④，
故答案为：②③④．
【点评】本题为三角形的综合应用，主要考查了三角形各边之间的关系问题及三角形的面积，在列式子的时候要注意找出等量关系，难度适中．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=2；②当点E与点B重合时，MH=12；③AF+BE＝EF；④MG•MH=12，其中正确结论为 ①②④ ．
【分析】①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF＝AC•BC＝1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH=22AE×22BF=12AE•BF=12AC•BC=12，依此即可作出判断
【解答】解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC2+BC2=2，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC＝90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC＝90°＝∠C＝∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH＝MB＝CG，
∵∠FCE＝45°＝∠ABC，∠A＝∠ACF＝45°，
∴CF＝AF＝BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=12AC＝MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠5＝45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，
则CF＝CD，∠1＝∠4，∠A＝∠6＝45°；BD＝AF；
∵∠2＝45°，
∴∠1+∠3＝∠3+∠4＝45°，
∴∠DCE＝∠2．
在△ECF和△ECD中，CF=CD∠2=∠DCECE=CE
∴△ECF≌△ECD(SAS)，
∴EF＝DE．
∵∠5＝45°，
∴∠BDE＝90°，
∴DE2＝BD2+BE2，即EF2＝AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7＝∠1+∠A＝∠1+45°＝∠1+∠2＝∠ACE，
∵∠A＝∠5＝45°，
∴△ACE∽△BFC，
∴AEBC=ACBF，
∴AE•BF＝AC•BC＝1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH＝CG，
MG∥BC，MH∥AC，
∴CHBC=AEAB；CGAC=BFAB，
即MG1=AE2；MH1=BF2，
∴MG=22AE；MH=22BF，
∴MG•MH=22AE×22BF=12AE•BF=12AC•BC=12，
故④正确．
故答案为①②④．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
三．解答题
23．如图，等腰Rt△AOB在平面直角坐标系xOy上，∠B＝90°，OA＝4．点C从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向运动，过点C作直线l⊥OA，直线l与射线OB相交于点N．
(1)点B的坐标为 (2，2) ；
(2)点C的运动时间是t秒．
①当2≤t≤4时，△AOB在直线l右侧部分的图形的面积为S，求S(用含t的式子表示)；
②当t＞0时，点M在直线l上且△ABM是以AB为底的等腰三角形，若CN=32CM，求t的值．
【分析】(1)过B点作BD⊥OA于点D，根据等腰直角三角形的性质求得OD与BD的长度，便可写出B点的坐标；
(2)①证明△ACM为等腰直角三角形，再由三角形的面积公式求得结果；
②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，求出直线OB与DE的解析式，再用t表示C、M、N的坐标，进而用t表示CN与CM，根据已知条件CN=32CM，列出t的方程进行解答便可．
【解答】解：(1)过B点作BD⊥OA于点D，如图1，
∵∠OBA＝90°，OB＝AB，OA＝4．
∴BD＝OD＝AD=12OA＝2，
∴B(2，2)，
故答案为(2，2)；
(2)①当2≤t≤4时，如图2，则AC＝OA﹣OC＝4﹣t，
∵∠OBA＝90°，OB＝AB，
∴∠OAB＝45°，
∵直线l⊥OA，
∴∠ACM＝90°，
∴∠AMC＝45°＝∠CAM，
∴AC＝CM＝4﹣t，
∴S=S△ACM=12(4−t)2；
②过AB的中点D，作线段AB的垂直平分线DE，如图3，
∵△ABM是以AB为底的等腰三角形，
∴MA＝MB，
∴点M在直线DE上，
∵点M在直线l上，
∴点M为直线l与直线DE的交点，
设直线OB的解析式为y＝kx(k≠0)，
由(1)知，B(2，2)，
∴2＝2k，
∴k＝1，
∴直线OB的解析式为：y＝x，
∵∠ABO＝∠ADM＝90°，
∴DE∥OB，
∴设直线DE的解析式为y＝x+n，
∵A(4，0)，B(2，2)，D为AB的中点，
∴D(3，1)，
把D(3，1)代入y＝x+n中，得1＝3+n，
∴n＝﹣2，
∴直线DE的解析式为：y＝x﹣2，
∵OC＝t，
∴C(t，0)，N(t，t)，M(t，t﹣2)，
∵CN=32CM，t＞0
∴t=32|t﹣2|，
∴t=32(t﹣2)，或t=32(2﹣t)，
解得，t＝6，或t=65．
【点评】本题主要考查了点的坐标，待定系数法，求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，难度不大，第(3)题关键是求出AB的垂直平分线的解析式和正确列出t的方程．
24．如图1，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE．
(1)若D为AC的中点，求BDCE的值；
(2)将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转，使点D落任AB上，如图2，F为DB的中点．
①画出△DEF关于点F成中心对称的图形，
②求EFCE的值；
(3)如图3，将△ADE绕点A顺时针旋转，F为BD的中点，当AC＝6，AD＝4时，则CF的最大值为 32+2 (直接写出结果)．
【分析】(1)如图1中，作EQ⊥AC于Q．设EQ＝QA＝QD＝a，利用勾股定理求出BD、CE即可解决问题；
(2)①如图2中，△DEF关于点F对称的△FBH如图所示；②只要证明△CAE≌△CBH，推出△ECH是等腰直角三角形即可解决问题；
(3)如图3中，延长EF到H，使得EF＝FH．连接CF、CH，延长ED交BC于K．想办法证明△ECH是等腰直角三角形，可得EC=2CF，由此可知，CE最大时，CF的值最大；
【解答】解：(1)如图1中，作EQ⊥AC于Q．
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴EQ＝QA＝QD，设EQ＝QA＝QD＝a，
∵AD＝DC，
∴AD＝DC＝2a，BC＝AC＝4a，
∴在Rt△CDB中，BD=CD2+BC2=25a，
在Rt△CQE中，EC=CQ2+EQ2=10a，
∴BDCE=25a10a=2．
(2)①如图2中，△DEF关于点F对称的△FBH如图所示；
②连接CF、CH．
∵△FDE≌△FBH，
∴DE＝BH＝AE，∠EDF＝∠FBH＝135°，EF＝FH，
∵∠ABC＝45°，
∴∠CBH＝90°＝∠CAE，
∵CA＝CB，
∴△CAE≌△CBH，
∴EC＝CH，∠ACE＝∠BCH，
∴∠ECH＝∠ACB＝90°，
∴△ECH是等腰直角三角形．
∵EF＝FH，
∴CF⊥EH，CF＝EF＝FH，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EC=2EF，
∴EFEC=22．
(3)如图3中，延长EF到H，使得EF＝FH．连接CF、CH，延长ED交BC于K．
∵∠ACK＝∠AEK＝90°，
∴∠CAE+∠EKC＝180°，
∵∠EKC+∠EKB＝180°，
∴∠CAE＝∠EKB，
∵DF＝FB，∠DFE＝∠BFH，FE＝FH，
∴△DFE≌△BFH，
∴DE＝BH＝QE，∠DEF＝∠FHB，
∴EK∥BH，
∴∠EKB＝∠CBH，
∴∠CAE＝∠CBH，
∵CA＝CB，
∴△CAE≌△CBH，
∴EC＝CH，∠ACE＝∠BCH，
∴∠ECH＝∠ACB＝90°，
∴△ECH是等腰直角三角形．
∵EF＝FH，
∴CF⊥EH，CF＝EF＝FH，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EC=2CF，
∴当EC的值最大时，CF的值也最大，
∵EC的最大值＝AC+AE＝6+22，
∴6+22=2CF，
∴CF的最大值＝32+2，
故答案为32+2．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．如图，△ABC中，AB＝AC，tanB=12，作AD⊥AC交BC于E，且AD＝AC，连接CD
(1)若CD＝42，求BE的长度；
(2)如图2，∠BAD的角平分线交BC于F，作CG⊥AF的反向延长线于点G，求证：2BF+AG＝CG；
(3)如图3，将“tanB=12”改为“sinB=12”，作AD⊥AC，且AD＝AC，连接BD，CD，延长DA交BC于E，∠BAD的角平分线的反向延长线交BC于F，作CG⊥AF于G，直接写出BF⋅GCBD⋅BE的值．
【分析】(1)如图1中，过A作AF⊥BC于F，根据Rt△ACD中，AC＝4，可得Rt△ACE中，AE＝2，CE＝25，再根据BC＝2CG，求得BC=1655，最后根据BE＝BC﹣CE进行计算即可；
(2)如图2中，连接DF，延长AF交BD于M．首先证明△BFD是等腰直角三角形，再证明△AMD≌△CGA，推出AG＝DM＝BM＝FM，CG＝AM，由△BFD是等腰直角三角形，FM⊥BD，推出∠BFM＝∠AFN＝45°，推出2BF=2AN＝AF，由此即可证明；
(3)如图3中，作AM⊥BC于M，连接DF，FA的延长线交BD于N．首先证明BD=2BF，由sin∠ABC=12，推出∠ABC＝∠ACB＝∠EAM＝30°，设EM＝m，则AE＝2m＝BE，EC＝2AE＝4m，AM＝FM=3m，CF＝CM﹣FM＝3m−3m，CG=3m−3m2，由此即可解决问题．
【解答】解：(1)如图1，过A作AF⊥BC于H，
∵AD⊥AC，AD＝AC，CD＝42，
∴等腰直角三角形ACD中，AC＝4，BC＝2CH，
∵AB＝AC，tanB=12，
∴tan∠ACB=12，
∴Rt△ACE中，AE＝2，
∴CE=22+42=25，
∵tan∠ACH=12，
∴AH=455，CH=855，
∴BC＝2×855=1655，
∴BE＝BC﹣CE=1655−25=655；
(2)证明：如图2，连接DF，延长AF交BD于M．
∵AB＝AD＝AC，
∴点B、D、C在以A为圆心的圆上，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DBC=12∠DAC＝45°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠FAB＝∠FAD，
在△FAB和△FAD中，
AB=AD∠FAB=∠FADAF=AF，
∴△FAB≌△FAD(SAS)，
∴BF＝DF，
∴∠DBF＝∠FDB＝45°，
∴DF⊥BC，
∵AB＝AD，MA平分∠BAD，
∴BM＝DM，AM⊥BD，
∵∠DAM+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACG＝90°，
∴∠MAD＝∠ACG，
在△AMD和△CGA中，
∠AMD=∠G=90°∠MAD=∠ACGAD=AC，
∴△AMD≌△CGA(AAS)，
∴AG＝DM＝BM＝FM，CG＝AM，
∵△BFD是等腰直角三角形，FM⊥BD，
∴∠BFM＝∠AFH＝45°，
∴AH＝FH=12BH，
∴BF＝FH＝AH，
∴2BF=2AH＝AF，
∴CG＝AM＝FM+AF＝AG+2BF，
即2BF+AG＝CG；
(3)如图3，作AM⊥BC于M，连接DF，延长FA交BD于N．
∵AB＝AD，AN平分∠BAD，
∴AN⊥BD，BN＝DN，
∴FB＝FD，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠CBD=12∠CAD＝45°，
∴∠FBD＝∠FDB＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BD=2BF，
∵sin∠ABC=12，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠EAM＝30°，∠BAM＝60°，
∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝150°，
∴∠BAN＝75°，∠MAF＝180°﹣75°﹣60°＝45°＝∠AFM，
∴AM＝FM，∠GFC＝∠GCF＝45°，
∴FG＝CG，
∵∠AEC＝60°，∠ABE＝30°，
∴∠ABE＝∠BAE＝30°，
∴AE＝BE，
设EM＝m，则AE＝2m＝BE，EC＝2AE＝4m，AM＝FM=3m，CF＝CM﹣FM＝3m−3m，CG=3m−3m2，
∴BF⋅GCBD⋅BE=BF2BF•3m−3m22m=3−34．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识的综合应用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形和直角三角形，利用含30°角的直角三角形以及等腰直角三角形的边角关系来解决问题．
26．(1)问题探究
①如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC边上一动点，连接AP，则AP的最小值为 6013 ．
②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求边AB的长度(用含a的代数式表示)．
(2)问题解决
如图3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是边BC的中点，若P是AB边上一动点，E是AC边上一动点，试求PD+PE的最小值．
【分析】(1)①过A作AE⊥CB于E，依据三角形面积相等可求出AE=6013，再根据垂线段最短可知当AP与AE重合时AP的值最小，故可得结果；
②根据勾股定理求解即可；
(2)作AH⊥AC，PE′⊥AH，DF′⊥AH交AB于T，可得PD+PE的最小值为DF′的长，由勾股定理求出DT和TF′的长即可得到结论．
【解答】解：(1)①如图1，过A作AE⊥CB于E，
在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，
∴AC=BC2−AB2=132−52=12，
∵S△ABC=12×AB×AC=12×BC×AE，
∴AE=AB⋅ACBC=5×1213=6013，
根据垂线段最短可知当AP与AE重合时AP的值最小，最小值为6013．
故答案为6013．
②如图2，
∵∠ABC＝90°，AB＝AC，
∴AB2+BC2＝AC2，
∵AC＝a，
∴AB2=12a2，
∴AB=22a或−22a(舍去)，
∴AB=22a．
(2)作AH⊥AC，PE′⊥AH于E′，DF′⊥AH交AB于T，作TQ⊥AC于点Q，如图3，
∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，
∴AB＝BC=22，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD=2，
∵DF′⊥AH，AC⊥AH，
∴DF′∥AC，
∴∠BTD＝∠BAC＝45°，∠BDT＝∠BCA＝45°，
∴∠BTD＝∠BDT＝45°，
∴BT＝BD＝AT=2，DT＝2，
∵AH⊥AC，∠BAC＝45°，
∴AF′＝TF′＝1，
易证四边形AQTF′是正方形，得TQ＝1，
根据垂线段最短可得，当点E与点Q重合，点P与点T重合时PD+PE的值最小，最小值为DF′＝DT+TF′＝2+1＝3．
【点评】此题考查了勾股定理以及运用垂线段最短求线段和最小值，知道线段最短时点的位置并能确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．
27．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝105°，∠BOC＝α，点D是等边△ABC外一点，∠OCD＝60°，OC＝OD，连接OD、AD．
(1)求∠AOD的度数(用含α的式子表示)；
(2)求证：△BOC≌△ADC；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【分析】(1)由等边三角形的判定可证△OCD是等边三角形，可得∠COD＝∠CDO＝60°，由周角的性质可求解；
(2)由“SAS”可证△BOC≌△ADC；
(3)先求出∠OAD，∠ADO的度数，分三种情况讨论，根据等腰三角形的判定定理计算即可．
【解答】解：(1)∵∠OCD＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠CDO＝60°，
∴∠AOD＝360°﹣∠BOC﹣∠AOB﹣∠COD＝195°﹣α；
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠BCA＝60°，
∴∠BCA＝∠OCD，
∴∠BCO＝∠ACD，且CD＝OC，BC＝AC，
∴△BOC≌△ADC(SAS)；
(3)∵△BOC≌△ADC，
∴∠ADC＝∠BOC＝α，∠CBO＝∠CAD，
∴∠ADO＝α﹣60°，
∵∠ABO+∠BAO＝180°﹣∠AOB＝75°，且∠ABC+∠BAC＝120°
∴∠OBC+∠OAC＝45°，
∴∠OAC+∠CAD＝45°，即∠OAD＝45°，
当AD＝OD时，
∴∠OAD＝∠AOD，
∴45°＝195°﹣α
∴α＝150°
当AO＝AD时，
∴∠AOD＝∠ADO，
∴195°﹣α＝α﹣60°
∴α＝127.5°，
当AO＝OD时，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴45°＝α﹣60°
∴α＝105°
综上所述：α＝150°或127.5°或105°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
28．如图，△ABC是等边三角形．
(1)如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；
(2)如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；
(3)在(1)的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．
【分析】(1)只要证明△ACP≌△BCQ，即可推出∠CBQ＝∠CAP＝30°；
(2)如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．可以证明DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形(图中△BDQ)；
(3)作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．PA+2PC＝2(12PA+PC)＝2(PE+PC)，根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF，由此即可解决问题；
【解答】(1)解：如图1中
∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，
∴∠CAP=12∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵△PCQ是等边三角形，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ，
∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．
(2)证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．
∵△ACD≌△ABQ，
∴AQ＝AD，CD＝BQ，
∵∠DAQ＝60°，
∴△ADQ是等边三角形，
∴AD＝DQ，
∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形(图中△BDQ)．
(3)如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．
∵PE=12PA，
∴PA+2PC＝2(12PA+PC)＝2(PE+PC)，
根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF．
由(1)可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，
∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y，FG=12y，
∴x＝2(y+12y)，
∴y=13x．
【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、旋转变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最短问题，属于中考压轴题．
29．如图，已知A(a，0)、B(0，b)，且a、b满足a2﹣6a+9+a−b=0
(1)求A、B两点的坐标；
(2)如图1，若C(5，0)，连CB，过B点作BD⊥BC，且BD＝BC，求点D的坐标；
(3)如图2，若点M是AB的中点，E为线段AO上一动点，F点在y轴负半轴上，当∠EMF＝45°时，试判断线段AE、OF、EF具有怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】(1)理由非负数的性质即可解决问题；
(2)如图作DE⊥y轴于E．只要证明△DBE≌△BCO，可得DE＝BO＝3，BE＝OC＝5，推出OE＝2，即可解决问题；
(3)结论：EF＝AE+OF．如图2中，连接OM，将△MOF绕点M逆时针旋转90°得到△MAH．只要证明点H在x轴上，△EMF≌△EMH即可解决问题；
【解答】解：(1)∵a2﹣6a+9+a−b=0，
∴(a﹣3)2+a−b=0，
∵(a﹣3)2≥0，a−b≥0，
∴a＝b＝3，
∴A(3，0)，B(0，3)．
(2)如图作DE⊥y轴于E．
∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝∠DEB＝∠BOC＝90°，
∴∠DBE+∠D＝90°，∠DBE+∠CBO＝90°，
∴∠D＝∠CBO，
∵BD＝BC，
∴△DBE≌△BCO(AAS)，
∴DE＝BO＝3，BE＝OC＝5，
∴OE＝2，
∴D(﹣3，﹣2)．
(3)结论：EF＝AE+OF．
理由：如图2中，连接OM，将△MOF绕点M逆时针旋转90°得到△MAH．
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，BM＝AM，
∴OM＝BM＝AM，∠MAO＝∠MOA＝45°，
∴∠MOF＝45°+90°＝135°，
∴∠MAO+∠MAH＝180°，
∴点H在x轴上，
∵∠FME＝45°
∴∠OMF+∠AME＝45°，
∴∠EMH＝∠AME+∠AMH＝45°，
∴∠EMF＝∠EMH，
∵EM＝EM，MF＝MH，
∴△EMF≌△EMH(SAS)，
∴EF＝EH＝AE+AH＝AE+OF．
【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
30．在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，延长DE交BC于点F，连接DC，BE．
(1)如图1，当点B，A，D在同一直线上时，且∠ABE＝30°，AE＝2，求BF的长．
(2)如图2，当∠BEA＝90°时，求证：BF＝CF．
(3)如图3，当点E在∠ABC的平分线上时，BE交DC于点G，请直接写出EG、DG、CG之间的数量关系．
【分析】(1)先根据直角三角形30°角的性质得：BE＝2AE＝4，由△ADE是等腰直角三角形，计算DE的长，同时得
△BDF也是等腰三角形，设BF＝x，Rt△BEF中，由勾股定理列方程解出x的值即可；
(2)如图2，连接AF，先证明△ADC≌△AEB，得∠ADC＝∠AEB＝90°，证明∠ADE＝∠ACB＝45°，可知A、F、C、D四点共圆，根据四点共圆的性质：圆内接四边形的对角互补得：∠ADC+∠AFC＝180°，则∠AFC＝90°，由等腰三角形三线合一得：BF＝CF；
(3)结论：DG+EG=2CG，作辅助线，构建直角三角形和正方形，首先证明四边形ANGM是正方形，由A、G、C、B四点共圆，推出∠AGO＝∠ACB＝45°，再利用四点共圆的性质推出CG＝AG，由△AMD≌△ANE，推出NG＝MG，可得EG+DG=2CG．
【解答】(1)解：∵∠BAC＝90°，∠ABE＝30°，AE＝2，
∴BE＝2AE＝4，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=2AE＝22，
∵△ABC也是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠ADE＝45°，
∴∠DFB＝90°，BF＝DF，
设BF＝x，则EF＝DF﹣DE＝x﹣22，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：42=x2+(x−22)2，
解得：x1=2+6，x2=2−6(舍)，
∴BF=2+6；
(2)证明：如图2，连接AF，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC∠BAE=∠CADAE=AD，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
∵△AED和△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠ACB＝45°，
∴A、F、C、D四点共圆，
∴∠ADC+∠AFC＝180°，
∴∠AFC＝90°，
∴AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF；
(3)解：如图3，DG+EG=2CG，理由是：
过A作AN⊥BG于G，作AM⊥CD于M，连接AG，
同理得：△ABE≌△ACD，
∴∠ABO＝∠ACD，
∴A、B、C、G四点共圆，
∴∠AGB＝∠ACB＝45°，∠OGC＝∠BAO＝90°，
∴∠BGD＝90°，
∴∠NGA＝∠AGD＝45°，
∴AN＝AM，
∵AD＝AE，
∴Rt△ANE≌Rt△AMD(HL)，
∴EN＝DM，
∵∠ANG＝∠NGD＝∠AMG＝90°，
AN＝AM，
∴四边形ANGM是正方形，
∴NG＝GM，
∵A、B、C、G四点共圆，
∴∠GAC＝∠GBC，∠ACG＝∠ABG，
∵∠ABG＝∠GBC，
∴∠GAC＝∠ACG，
∴AG＝CG，
∵△ANG是等腰直角三角形，
∴AG=2NG，
∴CG＝AG=2NG，
∵EG+DG＝EN+NG+MG﹣DM＝NG+MG＝2NG＝2×CG2=2CG．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，本题的难点是，四点共圆的应用，属于中考压轴题．