最新中考几何专项复习专题30 三角形综合练习（提优）

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
专题30 三角形综合练习(提优)
一．选择题
1．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝AF；②DF＝DN；③△DMN为等腰三角形；④DM平分∠BMN；⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAD＝30°，AC＝BC＝AD，CE⊥CD，且CE＝CD，连接BD、DE、BE，则下列结论：①∠ECA＝165°，②BE＝BC；③AD＝BE；④CD＝BD．其中正确的是( )
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
3．已知，等腰Rt△ABC中AC＝BC，点D在BC上，且∠ADB＝105°，ED⊥AB，G是AF延长线上一点，BE交AG于F，且DE＝2FG，连GE、GB．则下列结论：
①AG⊥BE；②∠DGE＝60°；③BF＝2FG；④AD+2DC＝AB．
其中正确的结论有( )
A．①②B．①②④C．①③④D．②③④
4．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，AE平分∠DAC，AE交CD于点F，CE⊥AE，垂足为点E，EG⊥CD，垂足为点G．则以下结论：①△EFC∽△ECA；②△ABC≌△AEC；③CE＝AF；(4)S△ACF＝5−5；(5)EG2＝FG•DG．其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝42−4；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是( )
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
6．如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD与点N．下列结论：①BD＝CE；②∠BPE＝180°﹣2α；③AP平分∠BPE；④若α＝60°，则PE＝AP+PD．其中一定正确的结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点H，连接EH交BD于点G，在AE上截取EF＝BE，连接DF．下列说法中正确的有( )
(1)GH：FD＝1：2；(2)BD2＝BF•BC；(3)四边形EBHD是菱形；(4)S△ADF=29S△ABC．
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，△ABC为等腰直角三角形，D为三角形外一点，连接CD，过D作DE⊥DC交AB于点E，F为DE上一点且DF＝DC，连接BF，N为BF中点，延长DN至点M，交BC于点G，使得∠ABM＝∠ACD，连接AM，AF，BM，下列结论：①MN＝ND；②DM=2AM；③∠BAM＞∠CGD；④2AF+BF＝DM；⑤若BM＝2，AB=10，AF=2，则S四边形ACDF＝4．其中正确的个数为( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
9．如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AD＝CE，连接AE、BD交于点F，∠CBD、∠AEC的平分线交于AC边上的点G，BG与AE交于点H，连接FG．下列说法：①△ABD≌△CAE；②∠BGE＝30°；③∠ABG＝∠BGF；④AB＝AH+FG；⑤S△AGE：S△BGC＝DG：GC，其中正确的说法有( )
A．5个B．4个C．3个D．2个
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延长线于M，连接CD，给出四个结论：①∠ADC＝45°；②BD=12AE；③AC+CE＝AB；④AB﹣BC＝2MC；⑤AC+ABAM为定值，其中正确的结论有( )个
A．2B．3C．4D．5
11．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论，①△AEF∽△CAB②S△DFC＝4S△FDE③DF＝DC④AD=2AB，其中正确的结论是( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
12．如图，等腰直角三角形△ABC中，∠BAC＝90°、AD＝AE，BE和CD交于点N，AF⊥BE、FG⊥CD交BE的延长线于点G．下列说法：①∠ABE＝∠FAC；②AN垂直平分BC；③GE＝GM；④BG＝AF+FG．其中正确的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
二．填空题
13．如图，在平面直角坐标中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点A在x轴的正半轴上滑动，点B在y轴的正半轴上滑动，点A，点B在滑动过程中可与原点O重合，下列结论：
①若C、O两点关于AB对称，则OA＝23；
②C，O两点之间的最大距离为4；
③当BO＝BC时，则AB⊥CO；
④AB的中点D运动路径的长为12π．
其中正确的是 (写出所有正确结论的序号)．
14．如图，△ABC中，AD为BC上的中线，∠EBC＝∠ACB，∠BEC＝120°，点F在AC的延长线上，连接DF，DF＝AD，AC﹣BE＝5，CF＝1，则AB＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC中点，点E在边AB上，连接DE，过点D作DF⊥DE交AC于点F．连接EF．下列结论：①BE+CF=22BC；②AD≥EF；③S四边形AEDF=12AD2；④S△AEF≤14S△ABC，其中正确的是 (填写所有正确结论的序号)．
16．如图，等边△ABC外一点P，连接AP、BP、CP，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D，连接BD，有以下结论：①DP＝DB；②DA+DB＝DC；③DA⊥BP；④若连接BH，当△BDH为等边三角形时，则CP＝3DP，其中正确的有 ．(只需要填写序号)
17．将一张圆形纸片，进行了如下连续操作
(1)将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图(2)所示
(2)将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图(3)所示
(3)将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图(4)所示
(4)连接AE、AF，如图(5)所示，则S△AEF：12S圆= ．
18．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC=2+1，P是△ABC内一个动点，过P作PD⊥AB、PE⊥AC、PF⊥BC，垂足分别为D、E、F，且PD+PE＝PF．则P运动所形成的图形的长度是 ．
19．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG＝BD，连接EG，FG，若AE＝DE，AB＝2，则EG＝ ．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点P(10，10)，P′(﹣10，﹣10)，直线MN过点P′与x轴平行，与y轴交于点D，等腰直角△ABC的直角顶点A与P′重合，边AB在直线MN上，且AB＝4，若△ABC的直角边AB以1个单位长度/秒的速度在射线DM上移动．
(1)若△ABC向右平移，当点B与点D重合时，△ABC停止移动，在△ABC向右移动的过程中，设运动时间为x秒，S△PBC的面积为y，y与x的函数关系式是 ．
(2)在平移的过程中，若△PBC为直角三角形，点C的坐标是 ．
三．解答题
21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为AB上一点(不与A，B重合)
(1)如图1，若BC＝BE，求证：CE平分∠ACD；
(2)如图2，若AC＝BC，过点B作BF⊥CE于点F，交CD于G．
①求证：AE＝CG；
②当BC＝BE时，BG与CF的数量关系是 ．
22．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．
(1)如图1，若∠BAC＝100°，求∠ABD和∠BDF的度数；
(2)如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．
①补全图2；
②若BN＝DN，求证：MB＝MN．
23．如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC．分别交AB、AC于M、N．
(1)求证：BM+CN＝MN．
(2)如图2，若△ABC是等边三角形，请从以下两个问题任选一题作答．
问题①：BC＝6，求MN的长．
问题②：求证：O是MN的中点．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB，∠EDF＝60°，其两边分别交AB，AC于点E，F．
(1)求证：△ABD是等边三角形；
(2)若DG＝2，求AC的长；
(3)求证：AB＝AE+AF．
25．小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．
(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
(2)拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为 ；线段BE与AD之间的数量关系是 ；
(3)解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．
26．顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB＝AC，且∠A＝36°．DE是AB的垂直平分线，交AC于D，并连接BD．
(1)△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
(2)设AB＝1，BC＝x，试求x的值；
(3)如图2，在△ABC中将BC延长至点F，使CF＝AC＝1，求BCAF的值．
27．在△ABC中，∠BAC＝60°．
(1)如图1，若AB＝AC，点P在△ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连接DP，补完全图，直接写出PB的长．
(2)如图2，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度数；
(3)如图3，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA=3，PB＝5，∠APC＝120°，直接写出PC的长．
28．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点D是直线BC上的一动点(点D不与B，C重合)，连接CE．
(1)在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC＝CE+CD；
(2)在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC＝CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)在图3中，当点D在边BC的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系．
29．在平面直角坐标系，点A(a，0)，点B(0，b)，已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32＝0．
(1)求点A、B的坐标；
(2)如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF＝AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为(﹣2，c)，求c的值及OE的长；
(3)在(2)的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC∥x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由．
30．【背景】在△ABC中，分别以边AB、AC为底，向△ABC外侧作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°．
【研究】点M为BC的中点，连接DM，EM，研究线段DM与EM的位置关系与数量关系．
(1)如图(1)，当∠BAC＝90°时，延长EM到点F，使得MF＝ME，连接BF．此时易证△EMC≌△FMB，D、B、F三点在一条直线上．进一步分析可以得到△DEF是等腰直角三角形，因此得到线段DM与EM的位置关系是 ，数量关系是 ；
(2)如图(2)，当∠BAC≠90°时，请继续探究线段DM与EM的位置关系与数量关系，并证明你的结论；
(3)【应用】如图(3)，当点C，B，D在同一直线上时，连接DE，若AB＝22，AC＝4，求DE的长．