最新中考几何专项复习专题18 几何最值之费马点知识精讲

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策略一 建构高效的课堂教学模式-----先学后教，当堂训练。
高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
几何最值之费马点知识精讲
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有"业余数学家之王"的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的"费马小定理"、"费马大定理"等.
今天所讲的问题不是费马提出来的，而是他解决的，因此又叫费马点，问题如下：
问题：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.
解答：若点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.
1.如何作出费马点
第一步：分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，如图所示：
第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC≌△ABE，如图所示：
第三步：此时CD、BE的交点即为点P(费马点)，
第四步：以BC为边，作等边△BCF，连接AF，AF必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º.
注：上述结论成立有个前提条件，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，对应的图如下所示：
此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于120º.
接下来就是要证明，证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的.
如下图所示，在△AEB与△ACD中，
∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60º，
∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC，
在△BPM与△DAM中，
∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60º，∴∠BPC＝120º；
在PD上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示：
由题意可得△BPG为等边三角形，则PB＝BG，
易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120º，
∴∠APC＝120º，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD.
接下来只需证明CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！
如下图所示，在△ABC中任取一个异于点P的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ绕着点A顺时针方向旋转60º得到，则△ABQ与重合，且在线段DQ上或DQ外，易证是等边三角形.
由题意可得
，即CD为最短的线段.