最新中考几何专项复习专题20 等腰三角形存在性问题知识精讲

这是一份最新中考几何专项复习专题20 等腰三角形存在性问题知识精讲，共6页。
高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
等腰三角形存在性问题知识点精讲
1.“两圆一线”几何法
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形。
①以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
②以B点为圆心，BA为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
③作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图所示：
PS：上述图中的五个红色点不能与A、B两点组成等腰三角形，要去电，所以此方法又被称为“两圆一线去五点法”，为了更好的观察，下面我们将上述三个图形合并成一个，如图所示：
“两圆一线去五点”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中都会对C点都有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。
2.两点间距离公式代数法
代数法解题步骤：
(1)列出三边长的平方；
(2)分类列方程；
(3)解方程；
(4)检验。
注：若△ABC是等腰三角形，那么可以分为①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况.
例1、如图所示，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为(3，4)，点P是轴正半轴上的一动点，如果是等腰三角形，求点P的坐标？
【解答】、、
【解析】方法一、几何法
①当时，以D为圆心，DO为半径画圆，与轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，此时，如图1所示；
②当时，以O为圆心，OD为半径画圆，与轴的正半轴交于点，如图2所示；
③当时，画OD的垂直平分线与轴的正半轴交于点P，设垂足为点E，如图3所示，
在中，此时；
方法二：代数法
设，由题意可得，
①当时，，解得，
当时，既不满足点P在轴的正半轴 ，也不存在；
②当时，，解得，如图4所示，
当时，存在，但点P不在轴的正半轴上，故舍去；
③当时，，解得.
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，AC＝4cm，点D从点B出发，以每秒cm的速度在射线BC上匀速运动，当点D运动多少秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形？(结果可含根号)．
【解答】当点D运动8秒或秒或秒时，△ABD为等腰三角形
【解析】在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AB＝8 cm，AC＝4 cm，
，
∵点D从点B出发，以每秒cm的速度在射线BC上匀速运动，
则BD＝tcm，
以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形时，分三种情况：
①当 BD＝AD 时，如图1，过D作DE⊥AB于E，则AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△ACB中，∵AC＝4，AB＝8，
∴∠B＝30°，
cs∠B＝cs30°＝，
，
；
②当AB＝BD时，如图2，
∵AB＝8，BD＝t，
则t＝8，
t＝；
③当AD＝AB时，如图3，
∵∠ACB＝90°，
∴DC＝BC＝，
则t＝，
t＝8；
综上，当点D运动8秒或秒或秒时，△ABD为等腰三角形．
总结：几何法只要图画的够好，就能快速找到目标，需要注意三点共线的特殊情况；代数法不需要画图，但有时计算量会比较大，在计算过程要细心点，而且算出来的结果要进行检验，这类存在性的问题。
要能够把几何法与代数法相结合，才能使得解题又快又准。