最新中考几何专项复习专题08 全等模型巩固练习（基础）

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
全等模型巩固练习
1．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合．
(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)求两堵木墙之间的距离．
【解答】(1)见解析；(2)20cm
【解析】(1)证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC
在△ADC和△CEB中∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
(2)由题意得：AD＝2×3＝6cm，BE＝7×2＝14cm，
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20(cm)，
答：两堵木墙之间的距离为20cm．
2．如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇，他想知道这艘游艇距离他多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点，然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来．此时他位于D点．那么C、D两点间的距离就是在A点处小明与游艇的距离，你知道这是为什么吗？
【解答】见解析
【解析】在△ABS与△CBD中，∠A=∠C=90°AB=CB∠ABS=∠CBD，
∴△ABS≌△CBD(ASA)，
∴AS＝CD．
3．如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B点处打开，墙壁厚是35cm，B点与O点的铅直距离AB长是20cm，工人师傅在旁边墙上与AO水平的线上截取OC＝35cm，画CD⊥OC，使CD＝20cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从B点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．
【解答】见解析
【解析】∵OC＝35cm，墙壁厚OA＝35cm，
∴OC＝OA，
∵墙体是垂直的，
∴∠OAB＝90°且CD⊥OC，
∴∠OAB＝∠OCD＝90°，
在Rt△OAB和Rt△OCD中，∠OAB=∠OCD=90°OC=OA∠AOB=∠COD，
∴Rt△OAB≌Rt△OCD(ASA)，
∴DC＝AB，
∵DC＝20cm，
∴AB＝20cm，
∴钻头正好从B点处打出．
4．课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图AD⊥DE，BE⊥DE．
(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)若三角板的一条直角边AC＝25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)．
【解答】(1)见解析；(2)5cm．
【解析】(1)证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
(2)∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由(1)得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴AC=AD2+CD2=5a＝25，
∴a＝5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
5．某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计)，其中凳腿AB和CD的长相等，O是它们的中点．为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30cm，由以上信息能求出CB的长度吗？如果能，请求出BC的长度，如果不能，请你说明理由．
【解答】30cm
【解析】∵O是AB、CD的中点，
∴OA＝OB，OC＝OD，
在△AOD和△BOC中，OA=OB∠AOD=∠BOCOC=OD，
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴CB＝AD，
∵AD＝30cm，
∴CB＝30cm．
6．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，只需测得AB＝a，EF＝b，就可以知道圆形容器的壁厚了．
(1)请你利用所学习的数学知识说明AB＝CD；
(2)求出圆形容器的壁厚．(用含有a，b的代数式表示)
【解答】(1)见解析；(2)12(b﹣a)
【解析】(1)连接AB．
在△AOB和△DOC中，
OA=OD∠AOB=∠DOCBO=OC，
∴△AOB≌△DOC(SAS)，
∴AB＝CD；
(2)∵EF＝b，AB＝CD＝a，
∴圆形容器的壁厚是12(b﹣a)．
7．如图，要测量河两岸相对两点A、B间的距离，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延长线于点E，垂足为点D．(DE≠CD)
(1)线段 的长度就是A、B两点间的距离
(2)请说明(1)成立的理由．
【解答】(1)DE；(2)见解析
【解析】(1)线段DE的长度就是A、B两点间的距离；
故答案为：DE；
(2)∵AB⊥BC，DE⊥BD
∴∠ABC＝∠EDC＝90°
又∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD
∴△ABC≌△CDE(ASA)
∴AB＝DE．
8．某风景区改建中，需测量湖两岸游船码头A、B间的距离，于是工作人员在岸边A、B的垂线AF上取两点E、D，使ED＝AE．再过D点作出AF的垂线OD，并在OD上找一点C，使B、E、C在同一直线上，这时测得CD长就是AB的距离．请说明理由．
【解答】见解析
【解析】证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD
∴∠A＝∠CDE＝90°
又∵ED＝AE，∠AEB＝∠CED
∴△ABE≌△CED(AAS)
所以AB＝CD．
9．课间，王二丁拿着老师的等腰直角三角板的三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE
(1)求证：△ADC≌△CEB；
(2)已知DE＝42cm，请你帮王二丁求出砌墙的厚度a的大小(每块砖的厚度相等)．
【解答】(1)见解析；(2)6
【解析】(1)证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB(AAS)；
(2)由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由(1)得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DC+CE＝BE+AD＝7a＝42，
∴a＝6，
答：砌墙的厚度a为6cm．
10．如图，小明站在乙楼BE前方的点C处，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A和E重合为一点，若B、C相距30米，C、D相距60米，乙楼高BE为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高AD是多少米？
【解答】40米
【解析】∵AD⊥DC，EB⊥BC，
∴AD∥BE，
∴∠AEF＝∠C，
∵B、C相距30米，C、D相距60米，
∴EF＝DB＝BC＝30米，
∵∠AFE＝∠EBC＝90°，
∴△AEF≌△ECB(ASA)，
∴AF＝BE，
∵DF＝BE，
∴AD＝2BE＝2×20＝40(米)．
答：甲楼的高AD是40米．
11．雨伞的中截面如图所示，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AE=13AB，AF=13AC，当O沿AD滑动时，雨伞开闭，问雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由．
【解答】∠BAD＝∠CAD
【解析】雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD＝∠CAD，
理由如下：
∵AB＝AC，AE=13AB，AF=13AC，
∴AE＝AF，
在△AOE与△AOF中，
AE=AFAO=AOOE=OF，
∴△AOE≌△AOF(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD．
12．如图，O为海港码头，A，B是到海港码头O距离相等的两座灯塔，OA，OB为海岸线，一艘渔船离开码头，计划沿∠AOB的平分线方向航行，在航行途中，测得渔船到灯塔A，B的距离始终相等．
(1)渔船是否偏离预定的航线？为什么？(C表示渔船航行途中的某一位置)
(2)已知灯塔A，B距离码头17海里，灯塔A，B相距16海里，若渔船航行到距离灯塔17海里的E处，渔船离开海港码头多远？
【解答】(1)渔船没偏离预定的航线；(2)30海里
【解析】(1)没有偏离预定航行，
理由如下：连接AC，BC，
在△AOC与△BOC中，OA=OBOC=OCAC=BC，
∴△AOC≌△BOC(SSS)．
∴∠AOC＝∠BOC，
即点C在∠AOB的平分线上，
∴渔船没偏离预定的航线；
(2)连接AE，AB交OC于∵OA＝OB，∠AOC＝∠BOC，
∴OC⊥AB，AC＝BC=12AB＝8，
由题意得，OA＝OB＝AE＝17，AB＝16，
∴OC=OA2−AC2=172−82=15，
∵AO＝AE，AC⊥OE，
∴OE＝2OC＝30，
故渔船离开海港码头30海里．
13．如图，A、B两建筑物位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从B点出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过D作DE∥AB，使E、C、A在同一直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请你说明道理．
【解答】见解析
【解析】
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠CAB，
∠CAB=∠CED∠ACB=∠ECDBC=CD
∴△ABC≌△EDC(AAS)，
∴AB＝ED，
答：DE的长就是A、B之间的距离．
14．如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？
【解答】∠ABC与∠DFE互余
【解析】证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EFAC=DF
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴∠ABC＝∠DEF
又∵∠DEF+∠DFE＝90°
∴∠ABC+∠DFE＝90°
即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余．