最新中考几何专项复习专题06 半角模型巩固练习（基础）

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
半角模型巩固练习(基础)
1.在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90º，O为AB的中点，∠EOF＝45º，交CA于F，交BC的延长线于E.
(1)求证：EF＝CE＋AF；
(2)如图2，当E在BC上，F在CA的反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.
【解答】(1)见解析；(2)AF－EF＝CE.
【解析】(1)连接CO，过点O作OG⊥OF交BE于点G，如图所示：
由题意可得△AOF≌△COG，∴OF＝OG，∴△EOF≌△EOG，∴EF＝EG，
∴EF＝EG＝EC＋CG＝EC＋AF；
(2)AF－EF＝CE.
2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180º，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，求证：EF＝BE＋FD.
【解答】见解析
【解析】如图，将△ADF顺时针旋转得到△ABG，使得AD与AB重合.
∵旋转，∴△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，
∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，
又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF，∴GE＝EF，
∵GE＝GB＋BE＝DF＋BE，∴EF＝BE＋FD.
3.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120º，以D为顶点作一个60º的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则△AMN的周长是多少？
【解答】6
【解析】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120º，∴∠BCD＝∠DBC＝30º，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60º，∠DBA＝∠DCA＝90º，
如图，延长AB至点F，使BF＝CN.
连接DF，在△BDF与△CND中，，
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，
∵∠MDN＝60º，∴∠BDM＋∠CDN＝60º，∴∠BDM＋∠BDF＝60º，
在△DMN与△DMF中，，
∴MN＝MF，∴△AMN的周长是：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6.
4.如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，点E、F分别在线段AB、BC上，连接EO、FO，满足∠EOF＝60º，连接EF.
(1)①求证：OB＝OC；
②求∠BOC的度数；
(2)求证：CF＝BE＋EF.
【解答】(1)①见解析；②120º；(2)见解析.
【解析】(1)①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60º，
∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB＝30º，∴OB＝OC；
②∵∠OBC＝∠OCB＝30º，∴∠BOC＝180º－∠OBC－∠OCB＝120º.
(2)如图，以点O为顶点，OF为一边，作∠FOG＝60º交BC于点G.
∵∠BOC＝120º，∴∠BOF＋∠COG＝60º，
∵∠EOF＝60º，∴∠EOB＋∠BOF＝60º，∴∠COG＝∠EOB，
∵∠ABO＝∠ABC＝30º，∴∠EBO＝∠OCG，∴△BOE≌△COG，∴OG＝OE，BE＝CG，
又∵△OEF≌△OGF，∴EF＝FG，∴CF＝FG＋CG，∴CF＝EF＋BE.
5.如图，在平面直角坐标系中，且.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足∠MON＝45º，试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.
【解答】(1)见解析；(2)
【解析】(1)，
且，∴，，
∴OA＝OB＝OC＝4，
∵∠AOB＝∠BOC＝90º，∴∠BCA＝∠CBO＝∠OBA＝∠BAC＝45º，
∴BA＝BC且∠CBA＝90º，即△ABC是等腰直角三角形；
(2)猜想：.
∵OA＝OB＝4，∴∠AOB＝90º，
如图，将△BOM绕点O顺时针旋转90º得到△AOD，
∴AD＝BM，DO＝MO，∠OAD＝∠OBM＝45º，且∠DOM＝∠AOB＝90º，∴∠AOD＝∠BOM，
∵∠MON＝45º，∠AOB＝90º，∴∠BOM＋∠AON＝45º，
∴∠AOD＋∠AON＝45º，即∠DON＝∠MON＝45º，∴△DON≌△MON，∴DN＝MN，
∵∠OAD＝∠OBM＝∠BAO＝45º，即∠NAD＝90º，
.
6.在四边形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60º，∠CDB＝120º，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE＝BF.
(1)试说明：DE＝DF；
(2)在图1中，若G在AB上且∠EDG＝60º，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明；
(3)若题中条件“∠CAB＝60º，∠CDB＝120º”改为“∠CAB＝，∠CDB＝，G在AB上，那么∠EDG满足什么条件时，(2)中的结论仍然成立？”(直接写结果，不需证明).
【解答】(1)见解析；(2)CE＋BG＝EG；(3)当∠EDG＝时，CE＋BG＝EC仍然成立.
【解析】(1)在四边形ADBC中，有∠C＋∠CAB＋∠ABD＋∠CDB＝360º，
∵∠CAB＝60º，∠CDB＝120º，∴∠C＋∠ABD＝180º，
又∵∠ABD＋∠DBF＝180º，∴∠C＝∠BDF，
在△CDE与△BDF中，，∴△CDE≌△BDF(SAS)，∴DE＝DF；
(2)如图，连接AD.
在△ABD与△ACD中，，
∴∠BDA＝∠CDA＝∠CDB＝60º，
∵∠EDG＝60º，∴∠CDE＝∠ADG，∠ADE＝∠BDG，
由(1)可知△CDE≌△BDF，∴∠CDE＝∠BDF，∴∠BDG＋∠BDF＝60º，即∠FDG＝60º，
∴∠EDG＝∠FDG，在△DEG和△DFG中，，
∴EG＝FG，又∵CE＝BF，FG＝BF＋BG，∴CE＋BG＝EG；
(3)要使CE＋BG＝EG仍然成立，则∠EDG＝∠BDA＝∠CDB，即∠EDG＝，
∴当∠EDG＝时，CE＋BG＝EC仍然成立.