最新中考几何专项复习专题07 倍半角模型巩固练习（提优）

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高效的课堂教学模式是保证高效的复习效果的前提，学生在教师的指导和辅导下进行先自学、探究和及时训练，获得知识、发展能力的一种教学模式。
策略二 专题内容的设计应遵循教与学的认知规律和学生心理发展规律，凸显方法规律，由简单到复杂，由特殊到一般，再由一般到特殊
总结规律，推广一般。从一般到特殊：抛砖引玉，解决问题。
策略三 设计专题内容时考虑建立几何模型，体现思想方法，让学生驾轻就熟，化难为易，化繁为简。
几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。题目千变万化，但万变不离其宗。
倍半角模型巩固练习(提优)
1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AB上，且∠FDE＝45º，连接DE、DF、EF，试探究EF、AF、CE之间的数量关系.
【解答】EF＝AF＋CE，证明见解析
【解析】如图，将△DCE绕着点D顺时针旋转90º得到△DGA.
∵∠EDC＋∠ADF＋∠FDE＝90º，∠FDE＝45º，∴∠EDC＋∠ADF＝45º，
又∵旋转，∴DE＝DG，∠GDA＝∠EDC，∴∠GDA＋∠ADF＝∠GDF＝∠FDE＝45º，
在△DGF与△DEF中，DF＝DF，∠GDF＝∠EDF，DG＝DE，∴△DGF≌△DEF，∴EF＝GF＝GA＋AF，
∵旋转，∴GA＝CE，∴EF＝AF＋CE.
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90º，点D在CB的延长线上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE＝∠ABD.
(1)求证：AD＝AE；
(2)点F为CD的中点，AF的延长线交BE于点G，求∠AGE的度数.
【解答】(1)见解析；(2)∠AGE＝90º
【解析】(1)证明：∵EA⊥AD，∴∠DAE＝∠90º，∴∠DAB＋∠BAE＝90º，
∵∠BAC＝90º，∴∠CAE＋∠BAE＝90º，∴∠DAB＝∠CAE，
∵∠ACE＝∠ABD，AB＝AC，∴△ADB≌△ACE，∴AD＝AE；
(2)如图，延长AG至点H，使得FH＝FA.
∵点F为CD的中点，∴DF＝CF，
∵∠DFH＝∠CFA，∴△DFH≌△CFA，∴DH＝AC，∠H＝∠CAF，∴DH∥AC，∴∠ADH＋∠DAC＝180º，
∵∠BAE＋∠DAC＝∠BAE＋∠DAE＋∠EAC＝90º＋90º＝180º，∴∠ADH＝∠BAE，
∵AB＝AC，∴DH＝AB，
∵AD＝AE，∴△ADH≌△EAB，∴∠DAH＝∠AEB，
∵∠DAH＋∠GAE＝90º，∴∠AEB＋∠GAE＝90º，∴∠AGE＝180º－(∠AEB＋∠GAE)＝180º－90º＝90º.
3.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1＝∠2.
(1)若CF＝2，AE＝3，求BE的长；
(2)求证：∠CEG＝∠AGE.
【解答】(1)；(2)见解析
【解析】(1)∵CE＝CD，点F是CE的中点，CF＝2，∴DC＝CE＝2CF＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90º，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得；
(2)如图，过点G作GM⊥AE于点M.
∵AE⊥BC，GM⊥AE，∴GM∥BC∥AD，在△DCF与△ECG中，
∵，∴△DCF≌△ECG，∴CG＝CF，CE＝CD，
∵CE＝2CF，∴CD＝2CG，即点G是CD的中点，
∵AD∥GM∥BC，∴M为AE的中点，∴AM＝EM，
∵GM⊥AE，∴AG＝EG，∴∠AGM＝∠EGM，∴∠AGE＝2∠MGE，
∵GM∥BC，∴∠EGM＝∠CEG，∴∠CEG＝∠AGE.
4.如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AF⊥BE交CD边于点F，M是AD边上一点，且BM＝DM＋CD.
(1)求证：点F是CD边上的中点；
(2)求证：∠MBC＝2∠ABE.
【解答】(1)见解析；(2)见解析
【解析】(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝AB＝BC，∠C＝∠D＝∠BAD＝90º，AB∥CD，
∵AF⊥BE，∴∠AOE＝90º，∴∠EAF＋∠AEB＝90º，∠EAF＋∠BAF＝90º，∴∠AEB＝∠BAF，
∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AFD，∴∠AEB＝∠AFD，
∵∠BAD＝∠D，AB＝AD，∴△BAE≌△ADF，∴AE＝DF，
∵点E是边AD的中点，∴点F是CD边上的中点；
(2)延长AD至点G，使得MG＝MB，连接FG、FB，如图所示：
∵BM＝DM＋CD，∴DG＝DC＝BC，
∵∠GDF＝∠C＝90º，DF＝CF，∴△FDG≌△FCB，∴∠DFG＝∠CFB，∴点B、F、G共线，
∵点E为AD边上的中点，点F是CD边上的中点，AD＝CD，∴AE＝CF，
∵AB＝BC，∠C＝∠BAD＝90º，AE＝CF，∴△ABE≌△CBF，∴∠ABE＝∠CBF，
∵AG∥BC，∴∠AGB＝∠CBF＝∠ABE，∴∠MBC＝∠AMB＝2∠AGB＝2∠GBC＝2∠ABE，∴∠MBC＝2∠ABE.
5.如图，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，，求MF的长.
【解答】MF＝
【解析】【方法一】∵AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，∠B＝90º，∴AB＝AM，BE＝EM＝3，
又∵，∴，
设，在△ADM与△DFM中，
又∵△DMF∽△DCE，，即，
，解得；
【方法二】如图，在AB上取点N并使得∠AEN＝∠EAN，连接EN，
由题意可得AN＝NE，且∠BNE＝2∠BAE，
∵BE＝3，，∴，设，则，
在Rt△EBN中，由勾股定理得，解得，
，，
由和得DM＝1，
由和DM＝1得MF＝.
6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若∠AMD＝∠BMD.求证：∠CDA＝2∠ACD.
【解答】见解析
【解析】证明：过点A作AG∥DC交BM延长线于点H交BC的延长线于点G，连接HC，如图所示：
由题意可得∠BMD＝∠AHB，∠AMD＝∠HAM，∠HAC＝∠ACD，即，
∵CM＝DM，∴HG＝AH，即点H是AG的中点，
∵AC⊥BC，∴，∴∠HCA＝∠HAC＝∠ACD，
∴∠HCM＝∠HCA＋∠ACD＝∠ACD＋∠ACD＝2∠ACD，
∵∠HAM＝∠AMD，∠AMD＝∠BMD，∠BMD＝∠AHB，∠BMD＝∠HMC，∴HM＝AM，
∵MD＝MC，∠AMD＝∠HMC，AM＝HM，∴△AMD≌△HMC，∴∠ADM＝∠HCM＝2∠ACD.
7.如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系，他的结论应是 ．
象上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
拓展
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，则BE，EF，FD之间的数量关系是 ．
请证明你的结论．
实际应用
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离是 海里(直接写出答案)．
【解答】见解析
【解析】如图1，EF＝BE+DF，
理由如下：在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
故答案为 EF＝BE+DF；
如图2，EF＝BE+DF，
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，
BE=DG∠B=∠ADGAB=AD，
∴△ABE≌△ADG(SAS)，
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGF(SAS)，
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF；
如图3，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB＝30°+90°+(90°﹣70°)＝140°，∠EOF＝70°，
∴∠EOF=12∠AOB，
∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝(90°﹣30°)+(70°+50°)＝180°，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论EF＝AE+BF成立，
即EF＝1.2×(60+80)＝168(海里)．
故答案为：168．