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初中数学一轮复习【讲通练透】专题28 统计与概率（练透） （全国通用）
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这是一份初中数学一轮复习【讲通练透】专题28 统计与概率（练透） （全国通用），文件包含专题28统计与概率练透-讲通练透2022初中数学一轮全国通用教师版doc、专题28统计与概率练透-讲通练透2022初中数学一轮全国通用学生版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题28 统计与概率
一、单选题
1．（2021·辽宁沈阳·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数
B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则甲组数据更稳定
【答案】C
【分析】
依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；
．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；
．了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；
．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意；
故选：．
2．（2021·全国九年级课时练习）已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】
将一组数据从小到大排列，处于最中间的数字就是中位数，本题有5个数字，则排在第三个的就是中位数．
【详解】
把数据从小到大排列为：2，2，4，5，6，
中间的数是4，
∴中位数是4，
故选：B．
3．（2021·江苏盐城·景山中学九年级月考）截止2021年3月，“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为：29，27，31，31，31，29，29，31，则由年龄组成的这组数据的众数是（ ）
A．27B．29C．30D．31
【答案】D
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数，进行求解即可．
【详解】
解：由题意可知，这组数据中31出现了4次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为31，
故选D．
4．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级）如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
画树状图，共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，
∴两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率为＝，
故选B．
5．（2021·重庆实验外国语学校九年级）为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出每株长度，发现两组秧苗平均长度一样，甲、乙的方差分别是10.9、9.9，则下列说法正确是（ ）
A．甲秧苗出苗更整齐B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐
【答案】B
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵甲、乙的方差的分别为10.9、9.9，
∴甲的方差大于乙的方差，
∴乙秧苗出苗更整齐．
故选：B．
6．（2021·深圳市新华中学九年级期末）一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率．
【详解】
解：画出树状图：
根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，
∴两次都摸到红球的概率是＝；
故选：D．
7．（2021·四川广元·中考真题）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】B
【分析】
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【详解】
解：A、原来数据的平均数是2，添加数字3后平均数为，所以平均数发生了变化，故A不符合题意；
B、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故B与要求相符；
C、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和 3，故C与要求不符；
D、原来数据的方差=，
添加数字3后的方差=，故方差发生了变化，故选项D不符合题意．
故选：B．
8．（2021·湖北随州·）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断．
【详解】
解：∵两个小正方形的面积为和，
∴两个小正方形的边长为和，
∴大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，
故选：A．
9．（2021·山东聊城·）为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：
请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ）
A．样本为40名学生B．众数是11节
C．中位数是6节D．平均数是5.6节
【答案】D
【分析】
根据样本定义可判定A，利用众数定义可判定B，利用中位数定义可判定C，利用加权平均数计算可判定D即可．
【详解】
解：A. 随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A样本为40名学生不正确；
B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B众数是11节不正确，
C. 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为6节与7节的平均数节，故选项C中位数是6节不正确；
D. 根据样本平均数节
故选项D平均数是5.6节正确．
故选择：D．
10．（2021·全国九年级课时练习）现在要选拔一人去参加全国青少年数学竞赛，小明和小刚的三次选拔成绩分别为：小明：96，85，89，小刚：90，91，89，最终决定选择小刚去参加，那么，最终依据是（ ）
A．小刚的平均分高B．小刚的中位数高C．小刚的方差小D．小刚最低分高
【答案】C
【分析】
利用平均数、中位数及方差的定义进行计算，再根据各统计量特点判断即可．
【详解】
解：A.平均数：小明的平均数=，小刚的平均数=，平均数相同，故此项错误；
B.中位数：小明的中位数89，小刚的中位数90，89<90，但中位数不能代表平均水平，故此项错误；
C.方差：小明的方差=，小刚的方差=，>，小刚的波动较小，故小刚的方差较小，故此项正确；
D. 此时不能选择最低分来比较两人的水平，故此项错误．
故选C．
二、填空题
11．（2021·上海宝山区·九年级）如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是_______（只需写出一个满足要求的数）．
【答案】4
【分析】
由于一共5个数，4一定排在第3个才能是中位数，所以a可以在第4个或第5个，从而确定a的取值即可．
【详解】
解：∵这组数据有5个数，且中位数是4，
∴4必须在5个数从小到大排列的正中间，即这组数据的重新排列是0，2，4，a，5或0，2，4，5，a，
∴a≥4或a≥5，
故答案是4（答案不唯一）．
12．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．
【答案】3
【分析】
分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．
【详解】
解：（1）假设袋中红球个数为1，
此时袋中由1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
（2）假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，
（3）假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故答案为：3．
13．（2021·山东九年级期中）一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字-3，1，，2，它们除所标数字外完全相同，摇匀后从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之积是正数的概率为______．
【答案】
【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出两球上所标数字之积是正数的情况，即可求出所求的概率．
【详解】
解：列表如下：
所有等可能的情况有12种，其中两球上所标数字之积是正数的情况有6种，
则两球所标数字之积是正数的概率为6÷12＝，
故答案是：．
14．（2021·山东九年级期末）已知线段a的长度为11，现从1～10这10条整数线段中任取两条，能和线段a组成三角形的概率为 ___．
【答案】
【分析】
由10条线段中任意取2条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有90种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有40个结果．因而就可以求出概率．
【详解】
从1~10这10条整数线段中任意取1条，有10种可能结果；再从剩下9条线段中任意取1条，有9种可能结果；
所以从1~10这10条整数线段中任意取2条有10×9=90种等可能的情况，
三角形两边之和大于第三边，其中能和线段 a 组成三角形，即这2条线段的长度之和大于11的有：(2,10)，(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，
(6,9)，(6,10)，(7,5)，(7,6)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,4)，(8,5)，(8,6)，(8,7)，(8,9)，(8,10)
(9,3)，(9,4)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,10)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)一共有1+2+3+4十4+5+6+7+8=40种等可能的情况；
故能和线段 a 组成三角形的概率为：．
故答案为：．
15．（2021·铜陵市第十五中学九年级期末）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a、b，把a、b作为点A的横、纵坐标;求点A（a，b）的个数为：__________；点A（a，b）在函数的图象上的概率为：______．
【答案】16
【分析】
（1）根据题意采用列表法，即可求得所有点的个数；
（2）求得所有符合条件的情况，求其比值即可求得答案．
【详解】
解：（1）列表得：
点的个数是16；
（2）当时，在函数的图象上，
点在函数的图象上的有4种，分别是：，
点在函数的图象上的概率是；
故答案是：16，．
三、解答题
16．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球个，蓝球个，黄球个．
（1）现从中任意摸出一个球，求摸到黄球的概率；
（2）现规定：摸到红球得分，摸到蓝球得分，摸到黄球得分，甲同学先随机摸出一个小球（不放回），乙同学再随机摸出一个小球为一次游戏．请用画树状图或者列表法，求一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于分的概率．
【答案】（1）；（2）见解析，
【分析】
（1）由概率公式即可得出答案；
（2）画出树状图，共有16个等可能的结果，所得分数之和不低于8分的结果有8个，由概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）任意摸出一个是黄球的概率为=；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，甲、乙摸球所得分数之和不低于8分的结果有8个，
∴一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于8分的概率为=．
17．（2021·云南师范大学实验中学九年级期末）从今年开始，云南将在全省集中开展为期一年半，以“清垃圾、扫厕所、勤洗手、净参观、常消毒、管集市、众参与”为主题的爱国卫生“7个专项行”为了动员广大师生朋友，争做爱国生的参与者，传播者，监督者，自觉投身爱国卫生专项行动．现做如下活动：在一个不透明的盒子中装有4张分别标有A、B、C、D的卡片，A、B、C、D四张卡片的背面分别写有“清垃圾、勤洗手、常消毒、众参与”，它们的形状、大小完全相同，现随机从盒子中摸出两张卡片．
（1）请用树状图或列表法表示摸出的两张卡片可能出现的所有结果；
（2）求摸出的两张卡片中的含有词语“众参与”卡片的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据题意可以画出相应的树状图；
（2）根据（1）中的树状图可以求得摸出的两张卡片中的含有词语“众参与”的概率．
【详解】
解：（1）树状图如下图所示，
（2）由树状图得：共有12个等可能的结果，摸出的两张卡片中含有词语“众参与”的结果有个，
∴摸出的两张卡片中含有词语“众参与”的概率是．
18．（2021·全国九年级专题练习）某学生在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：
（1）请将数据表补充完整．
（2）画出该同学进球次数的频率分布折线图．
（3）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？（结果用小数表示）
【答案】（1）0.6；0.8；0.4；0.8；0.68；0.6；（2）见解析；（3）0.65
【分析】
（1）根据频率计算方法：频率＝每回进球次数÷每回的投球次数，即可求解；
（2）利用描点法画图即可；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【详解】
（1）∵3÷5=0.6；8÷10=0.8；6÷15=0.4；16÷20=0.8；17÷25=0.68；18÷30=0.6；
故将数据表补充如下：
（2）如图：进球次数的频率分布折线图如下：
（3）≈0.65.
答：估计这个概率是0.65．
19．（2021·武汉一初慧泉中学九年级月考）某校为了了解学校女生的身高情况，抽查了部分女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．
请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的女生共有______人，E组人数______；
（2）扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角的大小是______；
（3）该校共有女生550名，请你估计该校女生身高不低于160的人数．
【答案】（1）50，10；（2）72°；（3）308人
【分析】
（1）从扇形统计图中获取D部分的比重，从频数分布直方图中获取D部分的人数，即可求解；求得C组人数，即可求解．
（2）求得E组的所占的百分比，即可求解；
（3）求得女生身高不低于160所占的百分比，即可求解．
【详解】
解：（1）从扇形统计图中获取D部分的比重为
从频数分布直方图中获取D部分的人数为
总人数为人
C组的人数为人
故答案为：50，10
（2）E部分所对应的扇形圆心角的大小是
答：E部分所对应的扇形圆心角的大小是
（3）样本中女生身高不低于160cm的人数有人
答：估计该校女生身高不低于160cm的有308人．
20．（2021·全国九年级课时练习）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔赛，他们的跳高成绩（单位：）如下：
甲：172 168 175 169 174 167 166 169
乙：164 175 174 165 162 173 172 175
（1）甲、乙两名运动员跳高的平均成绩分别是多少？
（2）分别求出甲、乙跳高成绩的方差；
（3）哪个人的成绩更为稳定？为什么？
（4）经预测，跳高以上就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳高方可获得冠军，又应该选哪位运动员参赛？
【答案】（1）都是170cm；（2），；（3）甲运动员的成绩更为稳定，理由见解析；（4）跳高以上就很可能获得冠军的情况下，选甲运动员参加；跳高方可获得冠军的情况下，应选乙运动员参加
【分析】
（1）根据平均数的计算方法，先将数据求和，再除以8即可得到甲乙两人各自的平均成绩；
（2）根据方差的计算公式分别计算即可，
（3）由题（2）的计算结果，根据方差的意义可知，方差越小，即波动越小，数据越稳定即可判断；
（4）根据题意分情况分析数据即可判断．
【详解】
（1）甲的平均成绩为：，
乙的平均成绩为：，
（2）
；
（3）∵，
∴，
∴甲运动员的成绩更为稳定；
（4）若跳过以上就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲8次都跳过了，而乙只有5次，所以应选甲运动员参加；若跳过才能得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次都跳过了，而乙有5次，所以应选乙运动员参加．
21．（2021·湖北黄石八中）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机抽查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图（如图1）．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有______人；扇形统计图中 “篮球”对应的扇形圆心角的度数为______．
（2）请把图2的条形统计图补充完整；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大学生运动会的志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）180，126°；（2）画图见解析；（3）
【分析】
（1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数；然后出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到篮球人数，求出其所占总数的百分比，最后乘以360°即可得到结果；
（2）根据（1）的计算结果补全统计图即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．.
【详解】
（1）54÷30%=180（人）
田径人数：180×20%=36（人），
游泳人数：180×15%=27（人），
篮球人数为：180-54-36-27=63（人）
图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：360°126°，
故答案为：180，126°；
（2）补全统计图如下所示：
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）=．
22．（2021·靖江市靖城中学）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如下表：
（1）计算、直接填表：表中投篮150次、200次相应的命中率．
（2）这个运动员投篮命中的概率约是_____．
（3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？
【答案】（1）；（2）；（3）分
【分析】
（1）由命中次数除以投篮次数即可得到相应的命中率；
（2）由大量实验是前提下，利用频率估计概率即可得到答案；
（3）先计算次投篮的命中数，从而可得答案.
【详解】
解：（1）投篮150次、200次的命中率分别为：
（2）随着投篮次数的增加，这个运动员投篮命中率稳定在附近，
所以这个运动员投篮命中的概率约是
故答案为：
（3）这个运动员3分球投篮15次大约投中次，
所以这个运动员3分球投篮15次的得分大约为：分.
23．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）每年都有很多人因火灾丧失生命，某校为提高学生的逃生意识，开展了“防火灾，爱生命”的防火灾知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
七年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：100，81，84，83，90，89，89，98，97，99；
八年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：100，80，85，83，90，95，92，93，93，99；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）直接写出表格中a，b的值并补全八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图：
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防火安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七年级有800人，八年级有1000人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少．
【答案】（1）89.5；93；见解析；（2）八年级，见解析；（3）1100人
【分析】
（1）根据中位数、众数的意义求解即可，求出“C组”的频数才能补全频数分布直方图；
（2）从中位数、众数、方差的角度比较得出结论；
（3）分别计算七年级、八年级优秀人数即可．
【详解】
解：（1）将七年级10名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为：
，
因此中位数是89.5，即；
八年级10名学生成绩出现次数最多的是93，共出现2次，因此众数是93，即b=93，
八年级10名学生成绩处在“C组”的有10231=4（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）八年级学生掌握防火安全知识较好．因为七、八年级平均分相等，八年级中位数92.5大于七年级中位数89.5，
所以八年级学生掌握防火安全知识较好．
（3）（人）；
答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是1100人．废旧电池数/节
4
5
6
7
8
人数/人
9
11
11
5
4
第一回投球
第二回投球
第三回投球
第四回投球
第五回投球
第六回投球
每回投球次数
5
10
15
20
25
30
每回进球次数
3
8
6
16
17
18
相应频率
第一回投球
第二回投球
第三回投球
第四回投球
第五回投球
第六回投球
每回投球次数
5
10
15
20
25
30
每回进球次数
3
8
6
16
17
18
相应频率
0.6
0.8
0.4
0.8
0.68
0.6
投篮次数n
10
50
100
150
200
命中次数m
4
25
65
90
120
命中率
0.4
0.5
0.65
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
91
a
89
45.2
八年级
91
92.5
b
39.2
从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法
2、学会运用数形结合思想。
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。
一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。
如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:
体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
专题28 统计与概率
一、单选题
1．（2021·辽宁沈阳·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数
B．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
C．了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
D．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则甲组数据更稳定
【答案】C
【分析】
依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；
．“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；
．了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；
．若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意；
故选：．
2．（2021·全国九年级课时练习）已知一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】
将一组数据从小到大排列，处于最中间的数字就是中位数，本题有5个数字，则排在第三个的就是中位数．
【详解】
把数据从小到大排列为：2，2，4，5，6，
中间的数是4，
∴中位数是4，
故选：B．
3．（2021·江苏盐城·景山中学九年级月考）截止2021年3月，“费尔兹奖”得主中最年轻的8位数学家获奖时的年龄分别为：29，27，31，31，31，29，29，31，则由年龄组成的这组数据的众数是（ ）
A．27B．29C．30D．31
【答案】D
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数，进行求解即可．
【详解】
解：由题意可知，这组数据中31出现了4次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为31，
故选D．
4．（2021·东莞市东莞中学初中部九年级）如图，两个转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
画树状图，共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】
解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的结果有2个，
∴两指针所指的两个扇形中的数相加，和为6的概率为＝，
故选B．
5．（2021·重庆实验外国语学校九年级）为了比较甲乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取50株，分别量出每株长度，发现两组秧苗平均长度一样，甲、乙的方差分别是10.9、9.9，则下列说法正确是（ ）
A．甲秧苗出苗更整齐B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐
【答案】B
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵甲、乙的方差的分别为10.9、9.9，
∴甲的方差大于乙的方差，
∴乙秧苗出苗更整齐．
故选：B．
6．（2021·深圳市新华中学九年级期末）一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球的概率．
【详解】
解：画出树状图：
根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种，
∴两次都摸到红球的概率是＝；
故选：D．
7．（2021·四川广元·中考真题）一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【答案】B
【分析】
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【详解】
解：A、原来数据的平均数是2，添加数字3后平均数为，所以平均数发生了变化，故A不符合题意；
B、原来数据的中位数是2，添加数字3后中位数仍为2，故B与要求相符；
C、原来数据的众数是2，添加数字3后众数为2和 3，故C与要求不符；
D、原来数据的方差=，
添加数字3后的方差=，故方差发生了变化，故选项D不符合题意．
故选：B．
8．（2021·湖北随州·）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若随机向大正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求出阴影部分的面积占大正方形的份数即可判断．
【详解】
解：∵两个小正方形的面积为和，
∴两个小正方形的边长为和，
∴大正方形的边长为，
∴大正方形的面积为，
∴阴影部分的面积为，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，
故选：A．
9．（2021·山东聊城·）为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：
请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ ）
A．样本为40名学生B．众数是11节
C．中位数是6节D．平均数是5.6节
【答案】D
【分析】
根据样本定义可判定A，利用众数定义可判定B，利用中位数定义可判定C，利用加权平均数计算可判定D即可．
【详解】
解：A. 随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A样本为40名学生不正确；
B. 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B众数是11节不正确，
C. 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为6节与7节的平均数节，故选项C中位数是6节不正确；
D. 根据样本平均数节
故选项D平均数是5.6节正确．
故选择：D．
10．（2021·全国九年级课时练习）现在要选拔一人去参加全国青少年数学竞赛，小明和小刚的三次选拔成绩分别为：小明：96，85，89，小刚：90，91，89，最终决定选择小刚去参加，那么，最终依据是（ ）
A．小刚的平均分高B．小刚的中位数高C．小刚的方差小D．小刚最低分高
【答案】C
【分析】
利用平均数、中位数及方差的定义进行计算，再根据各统计量特点判断即可．
【详解】
解：A.平均数：小明的平均数=，小刚的平均数=，平均数相同，故此项错误；
B.中位数：小明的中位数89，小刚的中位数90，89<90，但中位数不能代表平均水平，故此项错误；
C.方差：小明的方差=，小刚的方差=，>，小刚的波动较小，故小刚的方差较小，故此项正确；
D. 此时不能选择最低分来比较两人的水平，故此项错误．
故选C．
二、填空题
11．（2021·上海宝山区·九年级）如果一组数a，2，4，0，5的中位数是4，那么a可以是_______（只需写出一个满足要求的数）．
【答案】4
【分析】
由于一共5个数，4一定排在第3个才能是中位数，所以a可以在第4个或第5个，从而确定a的取值即可．
【详解】
解：∵这组数据有5个数，且中位数是4，
∴4必须在5个数从小到大排列的正中间，即这组数据的重新排列是0，2，4，a，5或0，2，4，5，a，
∴a≥4或a≥5，
故答案是4（答案不唯一）．
12．（2021·江苏镇江·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为__．
【答案】3
【分析】
分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．
【详解】
解：（1）假设袋中红球个数为1，
此时袋中由1个黄球、1个红球，
搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．
（2）假设袋中的红球个数为2，
列树状图如下：
由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，
∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，
（3）假设袋中的红球个数为3，
画树状图如下：
由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，
∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，
所以放入的红球个数为3，
故答案为：3．
13．（2021·山东九年级期中）一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标有数字-3，1，，2，它们除所标数字外完全相同，摇匀后从中随机摸出两个小球，则两球所标数字之积是正数的概率为______．
【答案】
【分析】
列表得出所有等可能的情况数，找出两球上所标数字之积是正数的情况，即可求出所求的概率．
【详解】
解：列表如下：
所有等可能的情况有12种，其中两球上所标数字之积是正数的情况有6种，
则两球所标数字之积是正数的概率为6÷12＝，
故答案是：．
14．（2021·山东九年级期末）已知线段a的长度为11，现从1～10这10条整数线段中任取两条，能和线段a组成三角形的概率为 ___．
【答案】
【分析】
由10条线段中任意取2条，是一个列举法求概率问题，是无放回的问题，共有90种可能结果，每种结果出现的机会相同，满足两边之和大于第三边构成三角形的有40个结果．因而就可以求出概率．
【详解】
从1~10这10条整数线段中任意取1条，有10种可能结果；再从剩下9条线段中任意取1条，有9种可能结果；
所以从1~10这10条整数线段中任意取2条有10×9=90种等可能的情况，
三角形两边之和大于第三边，其中能和线段 a 组成三角形，即这2条线段的长度之和大于11的有：(2,10)，(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，
(6,9)，(6,10)，(7,5)，(7,6)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,4)，(8,5)，(8,6)，(8,7)，(8,9)，(8,10)
(9,3)，(9,4)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,10)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)一共有1+2+3+4十4+5+6+7+8=40种等可能的情况；
故能和线段 a 组成三角形的概率为：．
故答案为：．
15．（2021·铜陵市第十五中学九年级期末）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a、b，把a、b作为点A的横、纵坐标;求点A（a，b）的个数为：__________；点A（a，b）在函数的图象上的概率为：______．
【答案】16
【分析】
（1）根据题意采用列表法，即可求得所有点的个数；
（2）求得所有符合条件的情况，求其比值即可求得答案．
【详解】
解：（1）列表得：
点的个数是16；
（2）当时，在函数的图象上，
点在函数的图象上的有4种，分别是：，
点在函数的图象上的概率是；
故答案是：16，．
三、解答题
16．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）一个不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球个，蓝球个，黄球个．
（1）现从中任意摸出一个球，求摸到黄球的概率；
（2）现规定：摸到红球得分，摸到蓝球得分，摸到黄球得分，甲同学先随机摸出一个小球（不放回），乙同学再随机摸出一个小球为一次游戏．请用画树状图或者列表法，求一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于分的概率．
【答案】（1）；（2）见解析，
【分析】
（1）由概率公式即可得出答案；
（2）画出树状图，共有16个等可能的结果，所得分数之和不低于8分的结果有8个，由概率公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）任意摸出一个是黄球的概率为=；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，甲、乙摸球所得分数之和不低于8分的结果有8个，
∴一次游戏甲、乙摸球所得分数之和不低于8分的概率为=．
17．（2021·云南师范大学实验中学九年级期末）从今年开始，云南将在全省集中开展为期一年半，以“清垃圾、扫厕所、勤洗手、净参观、常消毒、管集市、众参与”为主题的爱国卫生“7个专项行”为了动员广大师生朋友，争做爱国生的参与者，传播者，监督者，自觉投身爱国卫生专项行动．现做如下活动：在一个不透明的盒子中装有4张分别标有A、B、C、D的卡片，A、B、C、D四张卡片的背面分别写有“清垃圾、勤洗手、常消毒、众参与”，它们的形状、大小完全相同，现随机从盒子中摸出两张卡片．
（1）请用树状图或列表法表示摸出的两张卡片可能出现的所有结果；
（2）求摸出的两张卡片中的含有词语“众参与”卡片的概率．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据题意可以画出相应的树状图；
（2）根据（1）中的树状图可以求得摸出的两张卡片中的含有词语“众参与”的概率．
【详解】
解：（1）树状图如下图所示，
（2）由树状图得：共有12个等可能的结果，摸出的两张卡片中含有词语“众参与”的结果有个，
∴摸出的两张卡片中含有词语“众参与”的概率是．
18．（2021·全国九年级专题练习）某学生在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：
（1）请将数据表补充完整．
（2）画出该同学进球次数的频率分布折线图．
（3）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？（结果用小数表示）
【答案】（1）0.6；0.8；0.4；0.8；0.68；0.6；（2）见解析；（3）0.65
【分析】
（1）根据频率计算方法：频率＝每回进球次数÷每回的投球次数，即可求解；
（2）利用描点法画图即可；
（3）利用样本估计总体即可求解．
【详解】
（1）∵3÷5=0.6；8÷10=0.8；6÷15=0.4；16÷20=0.8；17÷25=0.68；18÷30=0.6；
故将数据表补充如下：
（2）如图：进球次数的频率分布折线图如下：
（3）≈0.65.
答：估计这个概率是0.65．
19．（2021·武汉一初慧泉中学九年级月考）某校为了了解学校女生的身高情况，抽查了部分女生的身高，并绘制了以下不完整的统计图．
请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）本次调查的女生共有______人，E组人数______；
（2）扇形统计图中E部分所对应的扇形圆心角的大小是______；
（3）该校共有女生550名，请你估计该校女生身高不低于160的人数．
【答案】（1）50，10；（2）72°；（3）308人
【分析】
（1）从扇形统计图中获取D部分的比重，从频数分布直方图中获取D部分的人数，即可求解；求得C组人数，即可求解．
（2）求得E组的所占的百分比，即可求解；
（3）求得女生身高不低于160所占的百分比，即可求解．
【详解】
解：（1）从扇形统计图中获取D部分的比重为
从频数分布直方图中获取D部分的人数为
总人数为人
C组的人数为人
故答案为：50，10
（2）E部分所对应的扇形圆心角的大小是
答：E部分所对应的扇形圆心角的大小是
（3）样本中女生身高不低于160cm的人数有人
答：估计该校女生身高不低于160cm的有308人．
20．（2021·全国九年级课时练习）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔赛，他们的跳高成绩（单位：）如下：
甲：172 168 175 169 174 167 166 169
乙：164 175 174 165 162 173 172 175
（1）甲、乙两名运动员跳高的平均成绩分别是多少？
（2）分别求出甲、乙跳高成绩的方差；
（3）哪个人的成绩更为稳定？为什么？
（4）经预测，跳高以上就很可能获得冠军，该校为了获取跳高比赛冠军，可能选哪位运动员参赛？若预测跳高方可获得冠军，又应该选哪位运动员参赛？
【答案】（1）都是170cm；（2），；（3）甲运动员的成绩更为稳定，理由见解析；（4）跳高以上就很可能获得冠军的情况下，选甲运动员参加；跳高方可获得冠军的情况下，应选乙运动员参加
【分析】
（1）根据平均数的计算方法，先将数据求和，再除以8即可得到甲乙两人各自的平均成绩；
（2）根据方差的计算公式分别计算即可，
（3）由题（2）的计算结果，根据方差的意义可知，方差越小，即波动越小，数据越稳定即可判断；
（4）根据题意分情况分析数据即可判断．
【详解】
（1）甲的平均成绩为：，
乙的平均成绩为：，
（2）
；
（3）∵，
∴，
∴甲运动员的成绩更为稳定；
（4）若跳过以上就很可能获得冠军，则在8次成绩中，甲8次都跳过了，而乙只有5次，所以应选甲运动员参加；若跳过才能得冠军，则在8次成绩中，甲只有3次都跳过了，而乙有5次，所以应选乙运动员参加．
21．（2021·湖北黄石八中）2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，目前，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机抽查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图（如图1）．根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次被调查的同学共有______人；扇形统计图中 “篮球”对应的扇形圆心角的度数为______．
（2）请把图2的条形统计图补充完整；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大学生运动会的志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】（1）180，126°；（2）画图见解析；（3）
【分析】
（1）根据跳水的人数及其百分比求得总人数；然后出田径及游泳的人数，再用总人数减去田径人数、游泳人数、跳水人数即可得到篮球人数，求出其所占总数的百分比，最后乘以360°即可得到结果；
（2）根据（1）的计算结果补全统计图即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两位同学的结果数，然后根据概率公式求解．.
【详解】
（1）54÷30%=180（人）
田径人数：180×20%=36（人），
游泳人数：180×15%=27（人），
篮球人数为：180-54-36-27=63（人）
图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为：360°126°，
故答案为：180，126°；
（2）补全统计图如下所示：
（3）画树状图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有2种．
所以P（恰好选中甲、乙两位同学）=．
22．（2021·靖江市靖城中学）对某篮球运动员进行3分球投篮测试结果如下表：
（1）计算、直接填表：表中投篮150次、200次相应的命中率．
（2）这个运动员投篮命中的概率约是_____．
（3）估计这个运动员3分球投篮15次能得多少分？
【答案】（1）；（2）；（3）分
【分析】
（1）由命中次数除以投篮次数即可得到相应的命中率；
（2）由大量实验是前提下，利用频率估计概率即可得到答案；
（3）先计算次投篮的命中数，从而可得答案.
【详解】
解：（1）投篮150次、200次的命中率分别为：
（2）随着投篮次数的增加，这个运动员投篮命中率稳定在附近，
所以这个运动员投篮命中的概率约是
故答案为：
（3）这个运动员3分球投篮15次大约投中次，
所以这个运动员3分球投篮15次的得分大约为：分.
23．（2021·重庆实验外国语学校九年级月考）每年都有很多人因火灾丧失生命，某校为提高学生的逃生意识，开展了“防火灾，爱生命”的防火灾知识竞赛，现从该校七、八年级中各抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
七年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：100，81，84，83，90，89，89，98，97，99；
八年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：100，80，85，83，90，95，92，93，93，99；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）直接写出表格中a，b的值并补全八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图：
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防火安全知识较好？请说明理由（一条理由即可）；
（3）该校七年级有800人，八年级有1000人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少．
【答案】（1）89.5；93；见解析；（2）八年级，见解析；（3）1100人
【分析】
（1）根据中位数、众数的意义求解即可，求出“C组”的频数才能补全频数分布直方图；
（2）从中位数、众数、方差的角度比较得出结论；
（3）分别计算七年级、八年级优秀人数即可．
【详解】
解：（1）将七年级10名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为：
，
因此中位数是89.5，即；
八年级10名学生成绩出现次数最多的是93，共出现2次，因此众数是93，即b=93，
八年级10名学生成绩处在“C组”的有10231=4（人），
补全频数分布直方图如下：
（2）八年级学生掌握防火安全知识较好．因为七、八年级平均分相等，八年级中位数92.5大于七年级中位数89.5，
所以八年级学生掌握防火安全知识较好．
（3）（人）；
答：参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是1100人．废旧电池数/节
4
5
6
7
8
人数/人
9
11
11
5
4
第一回投球
第二回投球
第三回投球
第四回投球
第五回投球
第六回投球
每回投球次数
5
10
15
20
25
30
每回进球次数
3
8
6
16
17
18
相应频率
第一回投球
第二回投球
第三回投球
第四回投球
第五回投球
第六回投球
每回投球次数
5
10
15
20
25
30
每回进球次数
3
8
6
16
17
18
相应频率
0.6
0.8
0.4
0.8
0.68
0.6
投篮次数n
10
50
100
150
200
命中次数m
4
25
65
90
120
命中率
0.4
0.5
0.65
年级
平均分
中位数
众数
方差
七年级
91
a
89
45.2
八年级
91
92.5
b
39.2
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