云南师范大学实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附答案）

这是一份云南师范大学实验中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（Word版附答案），共20页。试卷主要包含了 椭圆与椭圆的， 已知，则等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 椭圆与椭圆的（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等
2. 在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
3. 各项为正的等比数列中，，则的前4项和（ ）
A. 40B. 121C. 27D. 81
4. 设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
5. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A. 48B. 32C. 24D. 16
6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A. 1B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ）
A. 2720B. 3160C. 3000D. 2940
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分；若只有两个正确选项，每选对一个3分；若只有3个正确选项，选对一个2分，选对两个3分
9. 已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（ ）
A. 奇数项的二项式系数和为256B. 第6项的系数最大
C. 存在常数项D. 有理项共有6项
10. 设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
C. D. 若，则的最大值为2
11. 已知函数的定义域为，、都有，且，则（ ）
A B.
C. 增函数D. 是偶函数
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 已知集合，，则___________
13. 将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为______.
14. 已知实数，满足，，则__________．
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠”．如图，为计算滇池岸边与两点之间的距离，在岸边选取和两点，现测得，，，，．

（1）求的长；
（2）求的长．
16. 已知函数.
（1）若是函数的极值点，求的值；
（2）求函数的单调区间.
17. 如图，在四棱锥中，平面，.
（1）求二面角正弦值；
（2）在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离.
18. 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
（1）求椭圆和双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
19. 设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
（2）若为偶数，证明：数列，2，3，，不“阶平衡数列”，其中
（3）如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．云师大实验中学2025届高二年级3月月考
数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 椭圆与椭圆的（ ）
A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等
【答案】D
【解析】
【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项.
【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，
椭圆的长轴长为，短轴长为，
焦距为，离心率为，
所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等.
故选：D.
2. 在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用中点坐标公式以及向量的坐标表示进行数量积运算.
【详解】由题意，
则，，
.
故选：A
3. 各项为正的等比数列中，，则的前4项和（ ）
A. 40B. 121C. 27D. 81
【答案】A
【解析】
【分析】先根据等比数列通项公式求出，再根据前项和公式求值即可.
【详解】设等比数列公比为,
故选：A.
4. 设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（ ）
A 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间中点线面的位置关系，借助于正方体，逐项分析即可.
【详解】
对于A,如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故A错误；
对于B，因为，，α、β是不同的平面，则必有，
故B正确；
对于C，如上图正方体中，设平面为，
平面为，为，
满足，，此时，故C错误；
对于D，如上图正方体中，设平面为，
为，为，
则满足，，此时，故D错误.
故选:B.
5. 小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A. 48B. 32C. 24D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.
【详解】1与4相邻，共有种排法，
两个2之间插入1个数，
共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，
则总共有种密码．
故选：C
6. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．
【详解】设，函数的定义域为，求导得，
当曲线在点处的切线平行于直线时，，
则，而，解得，于是，
平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，
所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．
故选：D
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用诱导公式及已知有，再由及差角余弦公式得，最后由和角正弦公式有，即可求结果.
【详解】因为，结合题设，
所以，而，
所以，
即，所以，
所以.
故选：D
8. 将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（ ）
A. 2720B. 3160C. 3000D. 2940
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可知：共有两种分配方式，一种是，一种是，结合分堆法运算求解.
【详解】共有两种分配方式，一种是，一种是，
故不同的安排方法有.
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分；若只有两个正确选项，每选对一个3分；若只有3个正确选项，选对一个2分，选对两个3分
9. 已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（ ）
A. 奇数项的二项式系数和为256B. 第6项的系数最大
C. 存在常数项D. 有理项共有6项
【答案】BCD
【解析】
【分析】令即可求出的值，再写出展开式的通项，再一一判断.
【详解】解：令，得，则或（舍去）.
∴的展开式的通项.
对于A，，故A错误；
对于B，由题设展开式共11项，第6项的系数最大，故B正确；
对于C，令，解得，故存在常数项为第三项，故C正确；
对于D，当时，为有理项，故有理项共有项，故D正确.
故选：BCD.
10. 设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限
C. D. 若，则的最大值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用复数的四则运算，复数模的性质逐个选项分析即可.
【详解】对于A，设，故，则，，故成立，故A正确，
对于B，，，显然复平面内对应的点位于第二象限，故B正确，
对于C，易知，，当时，，故C错误，
对于D，若，则，而，易得当时，最大，此时，故D正确.
故选：ABD
11. 已知函数的定义域为，、都有，且，则（ ）
A. B.
C. 是增函数D. 是偶函数
【答案】BC
【解析】
【分析】通过赋值法求出函数解析式，然后逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】令，得，则，
令，则，①
令，则，
即，②
联立①②可得，则，，A错B对，
函数为增函数，且为非奇非偶函数，C对D错.
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的基本性质问题，解题的关键在于对、进行赋值，通过构建方程组求解函数解析式，然后利用函数的基本性质来进行判断.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，则___________
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，，利用集合的交集的定义即可求.
【详解】因，，
所以.
故答案为：
13. 将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间几何体的外接球及球体表面积公式计算即可.
【详解】
如图所示取中点，连接，
根据题意易知，
又为等腰直角三角形，为等边三角形，
所以可知，
易知点在直线上，设，球半径为R，
所以，
故外接球的表面积为.
故答案为：
14. 已知实数，满足，，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】由可变形为，故考虑构造函数，判断函数的单调性，利用单调性化简等式，由此可求.
【详解】因为，化简得．
所以，又，
构造函数，
因为函数，在上都为增函数，
所以函数在上为单调递增函数，
由，∴，
解得，，
∴．
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 滇池久负盛名，位于春城昆明，是我国西南地区最大的淡水湖，被誉为“高原明珠”．如图，为计算滇池岸边与两点之间的距离，在岸边选取和两点，现测得，，，，．

（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）中利用余弦定理可求长；
（2）在中利用正弦定理可求长．
【小问1详解】
在中，有，，．
由余弦定理，可得，
即，
整理可得，解得或（舍去），
故的长为．
【小问2详解】
在中，有，，，
则．
由正弦定理，
可得，即的长为．
16 已知函数.
（1）若是函数的极值点，求的值；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用，解得，再检验可得答案；
（2）求导后，对分和讨论，根据可得增区间，可得递减区间.
【详解】（1）函数定义域为，，
因为是函数的极值点，所以，解得（舍）或
经检验，时，是函数的极值点，
所以.
（2）若，，所以函数的单调递增区间为，无递减区间；
若，令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
综上所述：，函数单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
【点睛】本题考查了根据函数的极值点求参数，考查了分类讨论思想，考查了由导数求单调区间，属于基础题.
17. 如图，在四棱锥中，平面，.
（1）求二面角的正弦值；
（2）在棱上确定一点，使异面直线与所成角的大小为，并求此时点到平面的距离.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角；
（2）设，由空间向量法求异面直线所成的角得出，再由向量法求点面距．
【小问1详解】
以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，
所以，
则.
设平面的法向量，
则，取得，
设平面的法向量，
则，取得，
设二面角的大小为，则
，
所以.
【小问2详解】
设，则
.
因为异面直线与所成角的大小为，
所以，解得或（舍去）.
此时，
所以点到平面的距离.
18. 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
（1）求椭圆和双曲线的离心率；
（2）设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．
【答案】18. 椭圆的离心率为，双曲线的离心率为
19. 证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解；
（2）由（1）可知，联立方程求点的坐标，结合斜率公式分析证明.
【小问1详解】
椭圆的焦距，双曲线的焦距，
则，整理得，
从而，，
故椭圆的离心率，双曲线的离心率．
【小问2详解】
由（1）可知，椭圆，
因为，所以直线的方程为．
联立方程组，整理得，
则，则，
可得，即，
因为，，，
则，，
故．
【点睛】方法点睛：与弦端点相关问题的解法
解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解．
19. 设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
（1）判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
（2）若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中
（3）如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．
【答案】（1）2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；1，5，9，13，17是4阶平衡数列；
（2）证明见解析 （3）12873．
【解析】
【分析】（1）由不为整数，数列1，5，9，13，17为等差数列，结合新定义即可得到结论；
（2）讨论为偶数或奇数，结合新定义即可得证；
（3）在数列中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是的倍数，，讨论数列的项数超过8，推得数列的项数至多7项.讨论数列的项数为7，数列的项数小于或等于6，奇数可得所求最大值.
【小问1详解】
由不为整数，
可得数列2，4，6，8，10不是4阶平衡数列；
数列1，5，9，13，17为首项为1，公差为4的等差数列，
则数列1，5，9，13，17是4阶平衡数列；
【小问2详解】
证明：若为偶数，设，
考虑1，2，3，，这项，其和为.
所以这项的算术平均值为：，此数不是整数；
若为奇数，设，，考虑1，2，3，4，5，，，；
这项，其和为，
所以这项的算术平均数为：，
此数不是整数；
故数列：1，2，3，4，，不是“阶平衡数列”，其中；
【小问3详解】
在数列中任意两项，，，
对于任意，在中任意取两项，，相异的项，
并设这项和为.由题意可得，都是的倍数，
即，，，为整数），可得，
即数列中任意两项之差都是的倍数，，
因此所求数列的任意两项之差都是2，3，，的倍数，
如果数列的项数超过8，
那么，，，均为2，3，4，5，6，7的倍数，
即，，，均为420的倍数，
为2，3，4，5，6，7的最小公倍数），
，
即，这与矛盾，
故数列的项数至多7项.
数列的项数为7，
那么，，，均为2，3，4，5，6的倍数，
即，，，均为60的倍数，
为2，3，4，5，6的最小公倍数），
又，且，
所以，，，，
所以，
当且仅当，，，取得最大值12873；
验证可得此数列为“阶平衡数列”，，
如果数列的项数小于或等于6，由，
可得数列中所有项的之和小于或等于，
综上可得数列中所有元素之和的最大值为12873.
【点睛】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力､推理能力，属于难题.