第02讲 整式与因式分解（15题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第02讲 整式与因式分解
目 录
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc150722969" PAGEREF _Tc150722969 \h 2
\l "_Tc150722970" 题型01 列代数式 PAGEREF _Tc150722970 \h 2
\l "_Tc150722971" 题型02 判断单项式系数、次数 PAGEREF _Tc150722971 \h 3
\l "_Tc150722972" 题型03 判断多项式项、项数、次数 PAGEREF _Tc150722972 \h 4
\l "_Tc150722973" 题型04 判断同类项 PAGEREF _Tc150722973 \h 5
\l "_Tc150722974" 题型05 合并同类项 PAGEREF _Tc150722974 \h 6
\l "_Tc150722975" 题型06 添（去）括号 PAGEREF _Tc150722975 \h 7
\l "_Tc150722976" 题型07 整式的加减 PAGEREF _Tc150722976 \h 8
\l "_Tc150722977" 题型08 幂的基本运算 PAGEREF _Tc150722977 \h 10
\l "_Tc150722978" 题型09 幂的混合运算 PAGEREF _Tc150722978 \h 11
\l "_Tc150722979" 题型10 整式的乘法 PAGEREF _Tc150722979 \h 12
\l "_Tc150722980" 题型11 整式的除法 PAGEREF _Tc150722980 \h 13
\l "_Tc150722981" 题型12 利用乘法公式计算 PAGEREF _Tc150722981 \h 14
\l "_Tc150722982" 题型13 整式的化简求值 PAGEREF _Tc150722982 \h 15
\l "_Tc150722983" 题型14 判断因式分解 PAGEREF _Tc150722983 \h 20
\l "_Tc150722984" 题型15 选用合适的方法因式分解 PAGEREF _Tc150722984 \h 21
\l "_Tc150722985" PAGEREF _Tc150722985 \h 22
\l "_Tc150722986" PAGEREF _Tc150722986 \h 31
题型01 列代数式
1．（2023·浙江杭州·一模）苹果的单价为a元/千克，香蕉的单价为b元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ）
A．a+b元B．3a+2b元C．5a+b元D．2a+3b元
【答案】D
【提示】用买2千克苹果的钱数加上3千克香蕉的钱数即可．
【详解】解：∵买2千克苹果需要2a元，买3千克香蕉需要3b元，
∴买2千克苹果和3千克香蕉共需（2a＋3b）元．
故选D．
【点睛】此题考查列代数式，理解题意，明确数量关系是解决问题的关键．
2．（2023·河北唐山·二模）某两位数，十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，新两位数用代数式表示为（ ）
A．baB．a+bC．10a+bD．10b+a
【答案】D
【提示】列代数式的定义是把题目中与数量有关的词语，用含有数字字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式，根据意思代入即可．
【详解】解：∵十位数字为a，个位数字为b，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，
∴新的两位数的十位数字为b，个位数字为a，这个新的两位数用代数式表示为10b+a，
故选：D．
【点睛】本题考查列代数式的定义，实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转换．
3．（2023·安徽合肥·一模）随着国产芯片自主研发的突破，某种型号芯片的价格经过两次降价，由原来每片a元下降到每片b元，已知第一次下降了10％，第二次下降了20％，则a与b满足的数量关系是（ ）
A．b=a1−10％−20％B．b=a1−10％1−20％
C．a=b1+10％+20％D．a=b1+10％1+20％
【答案】B
【提示】根据题意用含a的代数式表示出第一次降价后的价格和第二次降价后的价格，令第二次降价后的价格为b，进而可得答案．
【详解】解：由题意知，第一次降价后的价格为a1−10％，第二次降价后的价格为a1−10％1−20％，
∴b=a1−10％1−20％，
故答案为：B．
【点睛】本题考查了列代数式．解题的关键在于表示降价后的价格．
题型02 判断单项式系数、次数
1．（2022·江苏南京·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A． 3πxy的系数是3B．3πxy的次数是3
C． −23xy2的系数是−23D．−23xy2的次数是2
【答案】C
【提示】提示各选项中的单项式的系数或者次数，即可得出正确选项．
【详解】A．π是数字，3πxy的系数是3π，不符题意；
B． 3πxy的次数是2，x，y指数都为1，不符题意；
C．−23xy2的系数是−23，符合题意；
D． −23xy2的次数是3 ，x，y指数分别为1和2，不符题意．
故选C．
【点睛】本题考查了单项式的系数：单项式的系数是单项式字母前的数字因数，单项式的次数是单项式所有字母指数的和，正确理解和运用该知识是解题的关键．
2．（2023·河北承德·二模）下列各式中，运算结果为六次单项式的是（ ）
A．m2+m4B．m24C．m3⋅m3D．mn6
【答案】C
【提示】根据单项式的次数，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：A．＋m2+m4为多项式，次数为4，故该选项不符合题意；
B．m24=m8，次数为8，故该选项不符合题意；
C．m3⋅m3=m6，次数为6，且为单项式，故该选项符合题意；
D．mn6 =m6n6，次数为12，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了单项式的次数，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
题型03 判断多项式项、项数、次数
1．（2022·安徽·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．3x−2的项是3x，2B．2x2y+xy2−x是二次三项式
C．3x2y与−4yx2是同类项D．单项式−3πx2y的系数是−3
【答案】C
【提示】根据单项式与多项式的特点及性质即可求解．
【详解】A.3x−2的项是3x，-2，故A错误；
B.2x2y+xy2−x是三次三项式，故B错误；
C.3x2y与−4yx2是同类项，故C正确；
D.单项式−3πx2y的系数是−3π，故D错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查单项式与多项式的定义，解题的关键是熟知单项式与多项式的特点及性质．
2．（2022·河北·一模）下列关于4a+2的叙述，错误的是（ ）
A．4a+2的次数是1B．4a+2表示a的4倍与2的和
C．4a+2是多项式D．4a+2可因式分解为4(a+1)
【答案】D
【提示】根据多项式的项、次数及多项式的因式分解的条件即可得出答案．
【详解】解：A.4a+2的次数是1，故答案正确；
B .4a+2表示a的4倍与2的和，故答案正确；
C. 4a+2是多项式，故答案正确；
D. 4a+2进行因式分解为：2(2a+1)，故答案错误；
故选D．
【点睛】本题考查了多项式项、次数及多项式的因式分解，熟知多项式的项和次数，多项式可因式分解的条件是解题的关键．
3．（2023·广东茂名·一模）多项式2x3+3x2−1的二次项系数是 ．
【答案】3
【提示】由多项式知道二次项为3x2，从而得到二次项系数．
【详解】解：多项式2x3+3x2−1的二次项为：3x2，系数为：3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查多项式的项，单项式的系数，牢记相关知识点并能灵活应用是解题关键．
题型04 判断同类项
1．（2023·江苏南京·一模）下列各组代数式中是同类项的是（ ）
A．5和3aB．2a2b和−ab2C．3ab3和−3b3aD．abc和a2b2c2
【答案】C
【提示】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解．
【详解】解：A．5和3a所含字母不同，不是同类项，选项不符合题意；
B．2a2b和−ab2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，选项不符合题意；
C．3ab3和−3b3a所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，选项符合题意；
D．abc和a2b2c2所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类项，掌握同类项的定义是解题的关键．
2．（2023·广西柳州·二模）下列单项式中，与3ab2是同类项的是（ ）
A．3a2bB．4ab2C．3a2b2D．3ab
【答案】B
【提示】同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，据此判断即可．
【详解】解：A．3a2b与3ab2所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
B．4ab2与3ab2所含的字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意；
C．3a2b2与3ab2所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
D．3ab与3ab2所含的字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
题型05 合并同类项
1．（2023·江西上饶·一模）下列计算正确的是( )
A．3ab+2ab=5abB．5y2−2y2=3
C．7a+a=7a2D．m2n−2mn2=−mn2
【答案】A
【提示】运用合并同类项的法则∶1．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变．字母不变，系数相加减．2．同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．即可得出答案．
【详解】解：A、3ab+2ab=5ab，故选项正确，符合题意；
B、5y2−2y2=3y2，故选项错误，不符合题意；
C、7a+a=8a，故选项错误，不符合题意；
D、m2n和2mn2不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了合并同类项，解题的关键是知道如果两个单项式，他们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项，还要掌握合并同类项的运算法则．
2．（2023·内蒙古乌兰察布·校考二模）若等式2a2⋅a+（ ）=3a3成立，则括号中填写单项式可以是（ ）
A．aB．a2C．a3D．a4
【答案】C
【提示】根据同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，即可求解．
【详解】解：∵3a3-2a2⋅a=3a3-2a3=a3，
∴等式2a2⋅a+（ a3 ）=3a3成立，
故选C．
【点睛】本题主要考查整式的加减运算，掌握同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则，是解题的关键．
题型06 添（去）括号
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）去括号：(y2−x2)−(x2−y2)=（ ）
A．y2−x2−x2−y2B．y2+x2+x2−y2
C．y2−x2+x2−y2D．y2−x2−x2+y2
【答案】D
【提示】根据去括号法则（括号的前面是负号时，去括号后括号内各项负号改变）解决此题．
【详解】解：y2−x2−x2−y2
=y2−x2−x2+y2
故选：D．
【点睛】本题主要考查去括号法则，熟练掌握去括号法则是解决本题的关键．
2．（2023·浙江宁波·一模）−[a−(b+c)]去括号后应为（ ）
A．−a−b+cB．−a+b−cC．−a−b−cD．−a+b+c
【答案】D
【提示】根据去括号法则进行去括号即可求解．
【详解】解：−[a−(b+c)]
=−a−b−c
=−a+b+c，
故选：D
【点睛】本题考查了去括号，掌握去括号法则是解题的关键．括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变，括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号，法则的依据实际是乘法分配律．
3．（2023·河北张家口·三模）与−1−12结果相同的是（ ）
A．+−1+12B．+−1−12C．−−1+12D．−−1−12
【答案】B
【提示】分别将选项中的进行化简即可得到答案．
【详解】解：A. +−1+12=−1+12，故不符合；
B. +−1−12=−1−12，故符合；
C. −−1+12=1−12，故不符合；
D. −−1−12=1+12，故不符合；
故选：B．
【点睛】本题考查去括号的运算法则，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则．
4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在多项式a−b−c−x−y−z中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如a−b−c−x−y−z=a−b−c+x+y+z，a−b−c−x−y−z=a−b−c+x+y−z，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（ ）
A．8种B．16种C．24种D．32种
【答案】B
【提示】根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，根据题意，画出示意图，即可求解．
【详解】解：依题意，根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，

共有16种不同结果，
故选：B．
【点睛】本题考查了去括号法则，列举法求所有可能结果，理解题意是解题的关键．
题型07 整式的加减
1．（2023·河北保定·校考模拟预测）化简2a−b−2a+b的结果为（ ）
A．−2bB．−3bC．bD．4a+b
【答案】B
【提示】根据去括号，合并同类项计算即可得到答案．
【详解】解：2a−b−2a+b
=2a−b−2a−2b
=−3b，
故选：B．
【点睛】本题考查整式运算，涉及去括号、合并同类项等，熟记整式运算法则是解决问题的关键．
2．（2023·江苏盐城·校考一模）墨迹覆盖了等式“−(x2+1)=3x”中的多项式，则覆盖的多项式为（ ）
A．x+2B．−x2−1+3xC．3x−x2+1D．3x+x2+1
【答案】D
【提示】根据整式的加减运算法则即可求解．
【详解】解：设被覆盖的多项式为A，
则A−(x2+1)=3x，
∴A=3x+x2+1，
∴覆盖的多项式为3x+x2+1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式减多项式，掌握相关的法则是解题的关键．
3．（2023·安徽合肥·二模）化简：3a2+2ab−2ab−a2
【答案】5a2+4ab
【提示】先去括号，然后合并同类项即可．
【详解】解：3a2+2ab−2ab−a2
=3a2+6ab−2ab+2a2
=5a2+4ab．
【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号，合并同类项法则，准确计算．
题型08 幂的基本运算
1．（2023·湖南湘西·校考二模）下列运算正确的是（ ）
A．a2⋅a3=a5B．a32=a5
C．(ab)2=ab2D．a6a2=a3(a≠0)
【答案】A
【提示】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、a2⋅a3=a5，故本选项正确，符合题意；
B、a32=a6，故本选项错误，不符合题意；
C、(ab)2=a2b2，故本选项错误，不符合题意；
D、a6a2=a4(a≠0)，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2023·湖北襄阳·一模）电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位，其中1GB=210MB,1MB=210KB,1KB=210B，某视频文件的大小约为1GB,1GB等于( )
A．230BB．830BC．8×1010BD．2×1030B
【答案】A
【提示】根据题意及幂的运算法则即可求解．
【详解】依题意得1GB=210MB=210×210KB=210×210×210B=230B
故选A．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．
3．（2023·福建厦门·厦门市湖里中学校考模拟预测）计算2a43的结果是（ ）
A．2a12B．8a12C．6a7D．8a7
【答案】B
【提示】直接运用幂的乘方、积的乘方计算即可．
【详解】解：2a43=23a43=8a12.
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
4．（2023·吉林松原·校联考三模）66是63的（ ）
A．2倍B．36倍C．3倍D．216倍
【答案】D
【提示】把问题转化为同底数幂的除法计算即可．
【详解】∵66÷63=63=216，
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2023·吉林四平·校联考三模）计算：a−b3⋅b−a4= ．（结果用幂的形式表示）
【答案】a−b7/−(b−a)7
【提示】本题首先转化为同底数，然后根据同底数幂的乘法计算法则即可得出答案．
【详解】a−b3⋅b−a4=a−b3⋅a−b4=a−b7
故答案为：a−b7
【点睛】本题主要考查的就是同底数幂的乘法计算法则，属于基础题型．互为相反数的两个数的偶数次幂相等是解决这个问题的关键．
题型09 幂的混合运算
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）计算−a2⋅a23的结果是（ ）
A．a8B．－a8C．a7D．－a7
【答案】B
【提示】先根据幂的乘方运算法则化简，再根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：-a2•（a2）3=-a2•a6=-a8．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
2．（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9n=x，则x的值为（ ）
A．8B．4C．22D．2
【答案】C
【提示】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m−4n=3m÷9n2即可解答．
【详解】∵32m−4n=32m−2n=3m−2n2=3m÷9n2，
依题意得：4x2=2，x>0．
∴4x=2，
∴x=22，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．
题型10 整式的乘法
1．（2022·天津·模拟预测）计算：12xy2⋅−4x2y= ．
【答案】−2x3y3
【提示】根据单项式乘以单项式法则计算，即可求解．
【详解】解：12xy2⋅−4x2y=−2x3y3．
故答案为：−2x3y3
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·校考一模）已知ab2=−3，则−aba2b5−ab3−b= ．
【答案】33
【提示】利用单项式乘以多项式法则计算，变形后将已知的代数式值代入即可
【详解】原式=−a3b6+a2b4+ab2
=−ab23+ab22+ab2
又∵ab2=−3
∴原式=−ab23+ab22+ab2
=−−33+−32+−3
=27+9−3
=33
【点睛】本题考查了整式的混合运算以及代数式的求值，掌握相关法则及概念是关键
3．（2023·浙江舟山·校联考一模）如果x+mx−5=x2−3x+k，那么k、m的值分别是（ ）．
A．k=10，m=2B．k=10，m=−2
C．k=−10，m=2D．k=−10，m=−2
【答案】C
【提示】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出k、m的值即可．
【详解】解：x+mx−5=x2−5−mx−5m，
∴x2−5−mx−5m=x2−3x+k，
∴5−m=3,−5m=k，
解得：m=2,k=−10；
故选C．
【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键．
题型11 整式的除法
1．（2023·天津·模拟预测）计算：12x2y÷−6xy= ．
【答案】−2x
【提示】运用单项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：原式=−2x，
故答案为：−2x．
【点睛】本题考查单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．
2．（2023·陕西西安·模拟预测）计算：
（1）（x2y3）4+（﹣x）8（y6）2；
（2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2．
【答案】（1）2x8y12；（2）y﹣3x．
【提示】（1）原式先计算乘方运算，再合并同类项；
（2）原式先计算积的乘方运算，再计算多项式除以单项式求出结果即可．
【详解】解：（1）原式＝x8y12+x8y12＝2x8y12；
（2）原式＝（9x2y3﹣27x3y2）÷9x2y2 ＝ 9x2y3÷9x2y2﹣27x3y2÷9x2y2 ＝ y﹣3x．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握幂的乘方（am）n＝amn和积的乘方（ab）m＝ambm，多项式除以单项式的运算法则是解题关键．
3．（2023·甘肃陇南·校考一模）计算ab24÷ab2的结果是（ ）
A．a2b2B．a2b3C．a2b6D．a3b3
【答案】C
【提示】先计算积的乘方去括号，然后根据单项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：ab24÷ab2
=a4b8÷a2b2
=a2b6
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，单项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
4（2023·陕西西安·校考模拟预测）计算12x3−18x2−6x÷−6x的结果为（ ）
A．−2x2+3xB．−2x2−3xC．−2x2−3x−1D．−2x2+3x+1
【答案】D
【提示】根据多项式除以单项式的运算法则计算．
【详解】解：12x3−18x2−6x÷−6x=−2x2+3x+1，
故选：D．
【点睛】本题考查了多项式除以单项式，掌握运算法则是解题的关键．
题型12 利用乘法公式计算
1．（2023·湖北荆门·一模）将9.52变形正确的是（ ）
A．9.52=92+0.52B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52D．9.52=92+9×0.5+0.52
【答案】C
【提示】根据完全平方公式进行计算，判断即可．
【详解】9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，
或9.52=（9+0.5）2=92+2×9×0.5+0.52，
观察可知只有C选项符合，
故选C．
【点睛】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
2．（2023·天津河北·三模）计算(19+1)(19−1)的结果等于 ．
【答案】18
【提示】根据平方差公式即可求解．
【详解】解：(19+1)(19−1)=(19)2−12=19−1=18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的展开式是解题的关键．
3．（2023·陕西西安·校考二模）化简：2x+12−4x+1x+1
【答案】−x
【提示】利用乘法公式化简，再合并同类项即可．
【详解】2x+12−4x+1x+1
=4x2+4x+1−4x2+4x+x+1
=4x2+4x+1−4x2−4x−x−1
=−x．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解本题的关键．
4．（2023·甘肃兰州·二模）化简：（2x﹣3）（2x＋3）﹣（2x﹣1）2
【答案】4x﹣10
【提示】用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：(2x−3)(2x+3)−(2x−1)2
=(4x2−9)−(4x2−4x+1)
=4x2−9−4x2+4x−1
=4x−10．
【点睛】本题考查平方差公式和完全平方公式，平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，熟记公式是解题关键．
题型13 整式的化简求值
1．（2023·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则m2+mn+2m的值为（ ）
A．0B．－10C．3D．10
【答案】A
【提示】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，
∴mn=－5，m2+2m-5=0，
∴m2+2m=5，
∴m2+mn+2m=5－5=0，
故选：A．
【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键．
2．（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）已知x2−y2=69，x+y=3，则x−y= ．
【答案】23
【提示】把已知条件利用平方差公式分解因式，然后代入数据计算即可．
【详解】解：∵x2﹣y2＝69，x+y＝3，
∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝69，
解得：x﹣y＝23．
故答案为：23．
【点睛】此题考查对平方差公式的灵活应用能力，分解因式是关键．
3．（2023·陕西·模拟预测）已知m2+n2+10=6m−2n，则m−n= ．
【答案】4
【提示】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得m,n的值，进而代入代数式即可求解．
【详解】解：∵ m2+n2+10=6m−2n，
∴m2+n2+10−6m+2n=0，
即m−32+n+12=0，
∴m=3,n=−1，
∴m−n=3−−1=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·三模）如果x−4+y+62=0，那么2x−y的平方根为 ．
【答案】±14/14或−14/−14或14
【提示】根据算术平方根和平方的非负性，求出x、y的值，然后进行计算即可．
【详解】解：∵x−4+y+62=0，
又∵x−4≥0，y+62≥0，
∴x−4=0，y+62=0，
∴x−4=0，y+6=0，
∴x=4，y=−6，
∴2x−y=2×4−−6=8+6=14，
∴2x−y的平方根为：±14．
故答案为：±14．
【点睛】本题考查了算术平方根和平方式的非负性、代数式求值，解题的关键是利用非负性求出x、y的值．
5．（2023·河北秦皇岛·校联考三模）已知A=x2−2xy，B=y2+3xy，当x=−2，y=−3时，求2A−B的值．
【答案】-43
【提示】方法1 ：根据x，y的值，先求出A，B的值，再代入所求的代数式；方法2 ：先化简2A−B，然后再代入x，y的值．
【详解】解：【方法1】
当x=−2，y=−3时，
A=x2−2xy=(−2)2−2×(−2)×(−3)=−8，
B=y2+3xy=(−3)2+3×(−2)×(−3)=27，
2A−B=2×(−8)−27=−43．
【方法2】
当A=x2−2xy，B=y2+3xy时，
2A−B=2(x2−2xy)−(y2+3xy)
=2x2−4xy−y2−3xy
=2x2−7xy−y2
当x=−2，y=−3时，
2A−B=2×(−2)2−7×(−2)×(−3)−(−3)2=−43．
【关键点拨】求代数式的值时，为了避免重复、多次的有理数混合运算出现，一般先把整式运算做完，即完成合并同类项的工作后再代入求值．在上述方法中，虽然两种方法的步骤都很多，但是方法二要优于方法一，因为在方法二中先做了化简的工作，化简是针对字母进行运算，没有有理数运算中的符号问题，避免运算出错．所以，在求代数式的值时要养成先化简再求值的好习惯．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算的四则运算法则是解题的关键．
6．（2023·湖南岳阳·一模）已知x2+2x−2=0，求代数式x(x+2)+(x+1)2的值．
【答案】５
【提示】先根据x2+2x−2=0，得出x2+2x=2，将x(x+2)+(x+1)2变形为2x2+2x+1，最后代入求值即可．
【详解】解：∵x2+2x−2=0，
∴x2+2x=2，
∴x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1
=2x2+2x+1
=2×2+1
=5
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将x(x+2)+(x+1)2变形为2x2+2x+1，是解题的关键．
7．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知x2﹣3x+1＝0，求x2+1x2的值．
【答案】7
【提示】先将等式两边同时除以x，并整理可得x+1x=3，然后利用完全平方公式的变形即可求出结论．
【详解】解：∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣3+1x=0，
∴x+1x=3，
∴x2+1x2=（x+1x）2﹣2＝32﹣2＝7．
【点睛】此题考查的是等式的变形和完全平方公式的变形，掌握完全平方公式的变形是解题关键．
8．（2023·河北衡水·校联考一模）已知多项A=3x2−x+1，B=kx2−2x2+x−2．
(1)当x=−1时，求A的值；
(2)小华认为无论k取何值，A−B的值都无法确定．小明认为k可以找到适当的数，使代数式A−B的值是常数．你认为谁的说法正确？请说明理由．
【答案】(1)5
(2)小明说法对，理由见解析
【提示】（1）把x=−1，代入A=3x2−x+1计算出结果即可；
（2）直接计算A−B的值，根据结果确定谁的说法正确．
【详解】（1）解：把x=−1，代入A=3x2−x+1得：
A=3x2−x+1=3×−12−−1+1=5，
故A的值为5；
（2）解：小明说法对；
A−B=3x2−x+1−kx2+2x2+x−2=5−kx2−1
当5−k=0，即k=5时，A−B=−1，
故小明说法对．
【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式加减的无关型问题，解题得的关键是熟练掌握运算法则，正确化简即可．
9．（2023·吉林松原·校联考三模）先化简，再求值：(x+2)(3x−2)−2x(x+2)，其中x=3−1．
【答案】x2−4；−23
【提示】利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式运算法则进行化简，然后代入求值即可．
【详解】解：原式=3x2−2x+6x−4−2x2−4x
=x2−4；
当x=3−1时，
原式=(3−1)2−4
=3+1-23−4
=-23．
【点睛】题目主要考查整式的乘法及加减化简求值及二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型14 判断因式分解
1．（2023·江苏徐州·模拟预测）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．x2x+1=2x2+xB．1−a2=1+a1−a
C．x+1x−1=x2−1D．a2−2a+3=a−12+2
【答案】B
【提示】根据因式分解的定义解答即可．
【详解】解：A．x2x+1=2x2+x不是将多项式化成整式乘积的形式，故A选项不符合题意；
B．1−a2=1+a1−a是将多项式化成整式乘积的形式，故B选项符合题意；
C．x+1x−1=x2−1不是将多项式化成整式乘积的形式，故C选项不符合题意；
D．a2−2a+3=a−12+2不是将多项式化成整式乘积的形式，故D选项不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．
2．（2023·甘肃平凉·校考三模）下列因式分解错误的是( )
A．x2－y2＝(x+y)(x－y) B．x2+6x+9＝(x+3)2
C．x2+xy＝x(x+y) D．x2+y2＝(x+y)2
【答案】D
【提示】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【详解】A、是平方差公式，故A选项正确；
B、是完全平方公式，故B选项正确；
C、是提公因式法，故C选项正确；
D、（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2，故D选项错误；
故选D．
【点睛】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．
3．（2023·河北·模拟预测）对于下列两个自左向右的变形：甲：6x2y=2x⋅3xy，乙：x2−2x+1=x(x−2)+1其中说法正确的是（ ）
A．甲、乙均为因式分解B．甲、乙均不是因式分解
C．甲是因式分解，乙是整式乘法D．甲是整式乘法，乙是因式分解
【答案】B
【提示】利用因式分解的定义判定即可．
【详解】解：甲：6x2y=2x⋅3xy，因为6x2y不是多项式，故甲不是因式分解，
乙：x2−2x+1=x(x−2)+1，结果不是乘积式，故乙不是因式分解，
所以甲、乙均不是因式分解，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做因式分解，理解定义是解题的关键．
题型15 选用合适的方法因式分解
1．（2023·辽宁沈阳·三模）分解因式：xy2−x= ．
【答案】xy+1y−1
【提示】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】xy2−x
=xy2−1
=xy+1y−1
故答案为：xy+1y−1．
【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．
2．（2023·广东清远·二模）因式分解：a2+4a+4= ．
【答案】(a+2)2
【提示】原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：a2+4a+4= (a+2)2．
故答案为：(a+2)2．
【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
3．（2023·江苏徐州·一模）把下面各式分解因式：
(1)3x2−27y2
(2)a+b−2aa+b+a2a+b
【答案】(1)3(x+3y)(x−3y)；
(2)(a+b)(1−a)2
【提示】（1）先提取公因式，再套用平方差公式；
（2）先提取公因式，再套用完全平方公式．
【详解】（1）解：原式=3x2−9y2
=3(x+3y)(x−3y)；
（2）解：原式=a+b1−2a+a2
=(a+b)(1−a)2．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，即把一个多项式化成几个整式积的形式；掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
4．（2022·山东淄博·一模）分解因式：2x2−4x−6．
【答案】2x−3x+1
【提示】先提取公因数，再用十字相乘法分解因式即可
【详解】解：2x2−4x−6
=2x2−2x−3
=2x−3x+1
故答案为：2x−3x+1；
【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，能够熟练运用十字相乘法是解题的关键
1．（2022·四川攀枝花·中考真题）下列各式不是单项式的为（ ）
A．3B．aC．baD．12x2y
【答案】C
【提示】数或字母的积组成的式子叫做单项式，根据单项式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、3是单项式，故本选项不符合题意；
B、a是单项式，故本选项不符合题意；
C、ba不是单项式，故本选项符合题意；
D、12x2y是单项式，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．
2．（2022·安徽·中考真题）下列各式中，计算结果等于a9的是（ ）
A．a3+a6B．a3⋅a6C．a10−aD．a18÷a2
【答案】B
【提示】利用整式加减运算和幂的运算对每个选项计算即可．
【详解】A．a3+a6，不是同类项，不能合并在一起，故选项A不合题意；
B．a3⋅a6=a3+6=a9，符合题意；
C．a10−a，不是同类项，不能合并在一起，故选项C不合题意；
D．a18÷a2=a18−2=a16，不符合题意，
故选B
【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算性质是解题的关键．
3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（ ）．
A．左上角的数字为a+1B．左下角的数字为a+7
C．右下角的数字为a+8D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数
【答案】D
【提示】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．
【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，
任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：
左上角的数字为a−1，故选项A错误，不符合题意；
左下角的数字为a+6，故选项B错误，不符合题意；
右下角的数字为a+7，故选项C错误，不符合题意；
把方框中4个位置的数相加，即：a−1+a+a+6+a+7=4a+12=4a+3，结果是4的倍数，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
4．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．a2b32=a4b6 B．3ab−2ab=1 C．(−a)3⋅a=a4D．(a+b)2=a2+b2
【答案】A
【提示】根据幂的运算法则，乘法公式处理．
【详解】A. a2b32=a4b6，正确，符合题意；
B. 3ab−2ab=ab，原计算错误，本选项不合题意；
C. (−a)3⋅a=−a4，原计算错误，本选项不合题意；
D. (a+b)2=a2+b2+2ab，原计算错误，本选项不合题意；
【点睛】本题考查幂的运算法则，整式的运算，完全平方公式，掌握相关法则是解题的关键．
5．（2023·新疆·中考真题）计算4a⋅3a2b÷2ab的结果是（ ）
A．6aB．6abC．6a2D．6a2b2
【答案】C
【提示】先计算单项式乘以单项式，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：4a⋅3a2b÷2ab
=12a3b÷2ab
=6a2，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
6．（2023·山东日照·中考真题）已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b，分别以a,b,c为边作三个正方形，把两个较小的正方形放置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为S1，均重叠部分的面积为S2，则（ ）
A．S1>S2B．S1C．S1=S2D．S1,S2大小无法确定
【答案】C
【提示】根据题意，由勾股定理可得a2+b2=c2，易得c2−a2=b2，然后用a,b,c分别表示S1和S2，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
∵a,b,c为直角三角形的三边，且c>a>b。
∴a2+b2=c2，
∴c2−a2=b2，
∵S1=(c2−a2)−b(c−a)=b2−b(c−a)=b(a+b−c)，
S2=b[b−(c−a)]=b(a+b−c)，
∴S1=S2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出S1和S2是解题关键．
7．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为( )

A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【提示】计算出长为3a+b，宽为2a+2b的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为3a+b，宽为2a+2b的大长方形的面积为：
3a+b2a+2b=6a2+2b2+8ab；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解3a+b2a+2b结果中ab项的系数即为需要C类卡片的张数．
8．（2022·湖北荆门·中考真题）对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是( )
A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）
C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2） D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）
【答案】A
【提示】根据立方差公式即可求解．
【详解】解：∵a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，
将上式中的b用-b替换，整理得：
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），
故选：A．
【点睛】本题考查了运用公式法分解因式，熟练掌握立方差公式是解题的关键．
9．（2023·四川内江·中考真题）已知a、b是方程x2+3x−4=0的两根，则a2+4a+b−3= ．
【答案】−2
【提示】利用一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，可得a+b=−3,a2+3a−4=0，从而得到a2+3a=4，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵a，b是方程x2+3x−4=0的两根，
∴a+b=−3,a2+3a−4=0，
∴a2+3a=4，
∴a2+4a+b−3
=a2+3a+a+b−3
=4+−3−3
=−2．
故答案为：−2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解题的关键．
10．（2023·四川乐山·中考真题）若m、n满足3m−n−4=0，则8m÷2n= ．
【答案】16
【提示】先将已知3m−n−4=0变形为3m−n=4，再将8m÷2n变形为23m−n，然后整体代入即可．
【详解】解：∵3m−n−4=0
∴3m−n=4
∴8m÷2n=23m÷2n=23m÷2n=23m−n=24=16
故答案为：16．
【点睛】本题考查代数式值，幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法法则是解题的关键．
11．（2023·四川凉山·中考真题）已知y2−my+1是完全平方式，则m的值是 ．
【答案】±2
【提示】根据a±b2=a2±2ab+b2，计算求解即可．
【详解】解：∵y2−my+1是完全平方式，
∴−m=±2，
解得m=±2，
故答案为：±2．
【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：a±b2=a2±2ab+b2．
12．（2023·江苏苏州·中考真题）已知一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和−1,2，则k2−b2= ．
【答案】−6
【提示】把点1,3和−1,2代入y=kx+b，可得k+b=3k−b=−2，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过点1,3和−1,2，
∴k+b=3−k+b=2，即k+b=3k−b=−2，
∴k2−b2=k+bk−b=3×−2=−6；
故答案为：−6
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键．
13．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式mx2−16m分解因式的结果是 ．
【答案】mx+4x−4
【提示】先提取公因式m，然后发现还能利用平方差公式继续分解，即可得到结果．
【详解】解：mx2−16m=mx2−16=mx+4x−4
故答案为：mx+4x−4．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法及公式法是解题的关键，注意要分解彻底．
14．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a−b=2，求代数式6a−2b−1的值．”可以这样解：6a−2b−1=23a−b−1=2×2−1=3．根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，则代数式4a2+4ab+b2+4a+2b−1的值是 ．
【答案】14
【提示】先根据x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，得到2a+b=3，再把所求的代数式变形为2a+b2+22a+b−1，把2a+b=3整体代入即可求值．
【详解】解：∵x=2是关于x的一元一次方程ax+b=3的解，
∴2a+b=3，
∴4a2+4ab+b2+4a+2b−1
=2a+b2+22a+b−1
=32+2×3−1
=14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．
15．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2−2x+y2x−y−2yx+y，其中x=122023，y=22022．
【答案】2xy，1
【提示】根据a±b2=a2±2ab+b2，a+ba−b=a2−b2，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可．
【详解】解：原式=4x2+4xy+y2−4x2−y2−2xy−2y2
=4x2+4xy+y2−4x2+y2−2xy−2y2
=2xy．
当x=122023，y=22022时，
原式=2×122023×22022
=1．
【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键．
16．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1,S2．
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2；当a=2时，求S1+S2的值；
(2)比较S1与S2的大小，并说明理由．
【答案】(1)S1=a2+3a+2，S2=5a+1，当a=2时，S1+S2=23
(2)S1>S2，理由见解析
【提示】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到S1,S2，S1+S2，将a=2代入用=a2a表示S1+S2的等式中求值即可；
（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．
【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S甲=a2，S乙=a，S丙=1，
∴S1=S甲+3S乙+2S丙=a2+3a+2，S2=5S乙+S丙=5a+1，
∴S1+S2=a2+3a+2+5a+1=a2+8a+3，
∴当a=2时，S1+S2=22+8×2+3=23；
（2）S1>S2，理由如下：
∵S1=a2+3a+2，S2=5a+1
∴S1−S2=a2+3a+2−5a+1=a2−2a+1=a−12
∵a>1，
∴S1−S2=a−12>0，
∴S1>S2．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．
1．（2023·重庆·中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7−1=6，3−1=2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8−1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记PM=3a+b+c+d，QM=a−5，若PMQM能被10整除，则满足条件的M的最大值为 ．
【答案】 6200 9313
【提示】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到c+d=a+b−8，进而PMQM=4a+b−8a−5，若M最大，只需千位数字a取最大，即a=9，再根据PMQM能被10整除求得b=3，进而可求解．
【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；
根据题意，a−d=6，b−c=2，6≤a≤9，2≤b≤9，则c+d=a+b−8，
∴PM=3a+b+c+d=4a+b−8，
∴PMQM=4a+b−8a−5，
若M最大，只需千位数字a取最大，即a=9，
∴PMQM=49+b−89−5=7+b，
∵PMQM能被10整除，
∴b=3，
∴满足条件的M的最大值为9313，
故答案为：6200，9313．
【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．
2．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.AE=a,DE=b，且a>b．
（1）若a，b是整数，则PQ的长是 ；
（2）若代数式a2−2ab−b2的值为零，则S四边形ABCDS矩形PQMN的值是 ．
【答案】 a−b 3+22
【提示】（1）根据图象表示出PQ即可；
（2）根据a2−2ab−b2=0分解因式可得(a−b+2b)(a−b−2b)=0，继而求得a=b+2b，根据这四个矩形的面积都是5，可得EP=5a,EN=5b，再进行变形化简即可求解．
【详解】（1）∵①和②能够重合，③和④能够重合，AE=a,DE=b，
∴PQ=a−b，
故答案为：a−b；
（2）∵a2−2ab−b2=0，
∴a2−2ab+b2−2b2=(a−b)2−2b2=(a−b+2b)(a−b−2b)=0，
∴a−b+2b=0或a−b−2b=0，即a=b−2b（负舍）或a=b+2b
∵这四个矩形的面积都是5，
∴EP=5a,EN=5b，
∴S四边形ABCDS矩形PQMN=a+b⋅5b+5aa−b5b−5a=a+b⋅5a+baba−b⋅5a−bab=a+b2a−b2，
=a2+b2+2aba2+b2−2ab=a2+b2+a2−b2a2+b2−a2+b2=a2b2，
=(b+2b)2b2=3+22．
【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．
3．（2022·四川凉山·中考真题）阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝−ba，x1x2＝ca
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求1s−1t的值．
【答案】(1)32；−12
(2)−132
(3)17或−17
【提示】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；
（2）根据根与系数的关系先求出m+n=32，mn=−12，然后将nm+mn进行变形求解即可；
（3）根据根与系数的关系先求出s+t=32，st=−12，然后求出s-t的值，然后将1s−1t进行变形求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=−ba=−−32=32，x1⋅x2=ca=−12．
故答案为：32；−12．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴m+n=−ba=−−32=32，mn=ca=−12，
∴nm+mn=m2+n2mn
=m+n2−2mnmn
=322−2×−12−12
=−132
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴s+t=−ba=−−32=32，st=ca=−12，
∵t−s2=t+s2−4st
=322−4×−12
=94+2
=174
∴t−s=172或t−s=−172，
当t−s=172时，1s−1t=t−sst=172−12=−17，
当t−s=−172时，1s−1t=t−sst=−172−12=17，
综上提示可知，1s−1t的值为17或−17．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的关系求出t−s=172或t−s=−172，是解答本题的关键．
4．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将2a−3ab−4+6b因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式=2a−3ab−4−6b=a2−3b−22−3b=2−3ba−2
解法二：原式=2a−4−3ab−6b=2a−2−3ba−2=a−22−3b
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将x2−a2+x+a因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax+a2−2ab−bx+b2因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和ba>b，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4因式分解，再求值．
【答案】(1)x+ax−a+1
(2)a−ba−b+x
(3)a2+b2a−b2，9
【提示】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到a2+b2=9，a−b2=1，整体代入得出答案即可．
【详解】（1）解：x2−a2+x+a
=x2−a2+x+a
=x+ax−a+x+a
=x+ax−a+1；
（2）解：ax+a2−2ab−bx+b2
=a2−2ab+b2+ax−bx
=a−b2+xa−b
=a−ba−b+x；
（3）解：a4−2a3b+2a2b2−2ab3+b4
=a4+2a2b2+b4−2a3b+2ab3
=a2+b22−2aba2+b2
=a2+b2a2−2ab+b2
=a2+b2a−b2，
∴根据题意得a2+b2=9，a−b2=1，
∴原式=9．
【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
5．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：
将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．
则S2−S1=(a+b)2−a2
=(a+b)+a⋅(a+b)−a
=(2a+b)⋅b
=b+2ab
例如：当a=1，b=3时，S2−S1=3+23
根据以上材料解答下列问题：
(1)当a=1，b=3时，S3−S2=______，S4−S3=______；
(2)当a=1，b=3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出Sn+1−Sn等于多少吗？并证明你的猜想；
(3)当a=1，b=3时，令t1=S2−S1，t2=S3−S2，t3=S4−S3，…，tn=Sn+1−Sn，且T=t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值．
【答案】(1)9+23，15+23
(2)猜想结论：Sn+1−Sn=6n−3+23，证明见解析
(3)7500+1003
【提示】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；
（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；
（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．
【详解】（1）解：S3−S2=(a+2b)2−(a+b)2
=a2+4ab+4b−(a2+2ab+b)
=a2+4ab+4b−a2−2ab−b
=2ab+3b
当a=1，b=3时，
原式=23+9；
S4−S3=(a+3b)2−(a+2b)2
=a2+6ab+9b−(a2+4ab+4b)
=a2+6ab+9b−a2−4ab−4b
=2ab+5b
当a=1，b=3时，
原式=23+15；
（2）猜想结论：Sn+1−Sn=6n−3+23
证明：Sn+1−Sn=(1+n3)2−1+(n−1)32
=2+(2n−1)3×3
=3(2n−1)+23
=6n−3+23；
（3）T=t1+t2+t3+⋯+t50
=S2−S1+S3−S2+S4−S3+⋯+S51−S50
=S51−S1
=(1+503)2−1
=7500+1003．
【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31