第04讲 二次根式（9题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第04讲 二次根式
目 录
TOC \ "1-2" \p " " \h \z \u \l "_Tc151378420"
\l "_Tc151378421" 题型01 二次根式有意义的条件
\l "_Tc151378422" 题型02 判断最简二次根式
\l "_Tc151378423" 题型03 判断同类二次根式
\l "_Tc151378424" 题型04 利用二次根式的性质化简
\l "_Tc151378425" 题型05 二次根式的乘除运算
\l "_Tc151378426" 题型06 二次根式的加减运算
\l "_Tc151378427" 题型07 二次根式的混合运算
\l "_Tc151378428" 题型08 二次根式的化简求值
\l "_Tc151378429" 题型09 二次根式的应用
\l "_Tc151378430"
\l "_Tc151378431"
题型01 二次根式有意义的条件
1．（2022·湖南长沙·中考真题）若式子x−19在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
2．（2021·浙江丽水·中考真题）要使式子x−3有意义，则x可取的一个数是 ．
3．（2022·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝x+3x中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≥﹣3C．x≥3且x≠0D．x≥﹣3且x≠0
4．（2023·广东广州·一模）代数式k−1有意义时，直线y=kx+k一定不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
题型02 判断最简二次根式
1．（2023·贵州遵义·校考一模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．0.5B．3C．8D．127
2．下列各式：①32，②2，③18，④0.2，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3（2023·河北沧州·校考模拟预测）关于8，下列说法不正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．是无理数
C．整数部分是2D．一定能够在数轴上找到表示8的点
4．（2022江门市模拟）若最简二次根式3a−b4a+3b和2a−b+6能合并，则a、b的值分别是（ ）
A．2和1B．1和2C．2和2D．1和1
题型03 判断同类二次根式
1．（2023·上海松江·二模）下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（ ）
A．0.2B．0.5C．4D．12
2．（2023·四川攀枝花·二模）下列二次根式中，不能与3合并的是（ ）
A．32B．27C．12D．13
3．（2023衡阳市模拟）若最简二次根式2x+1和4x−3能合并，则x的值为（ ）
A．0.5B．1C．2D．2.5
题型04 利用二次根式的性质化简
1．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ）
A．4+9=2+3B．4×9=2×3C．94=32D．4.9=0.7
2．（2023南皮县模拟）下列二次根式中，化简结果为-5的是（ ）
A．−52B．−52C．−52D．52
3．（2021·湖南娄底·中考真题）2,5,m是某三角形三边的长，则(m−3)2+(m−7)2等于（ ）
A．2m−10B．10−2mC．10D．4
4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简a−ba+ba−b的结果是（ ）
A．a2−b2B．b−aC．−a2−b2D．−b2−a2
5．（2023·广东佛山·一模）若实数m，n满足m−42+n+3=0，则m2+n2的值是 ；
题型05 二次根式的乘除运算
1．（2021·湖南株洲·中考真题）计算：−4×12=（ ）
A．−22B．－2C．−2D．22
2．（2020·江苏泰州·中考真题）下列等式成立的是（ ）
A．3+42=72B．3×2=5C．3÷16=23D．(−3)2=3
3．（2023松原市三模）计算：521×23= ．
4．（2021·天津和平·一模）计算(5+2)(5−2)的结果等于 ．
5．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）计算24÷6的结果是 ．
题型06 二次根式的加减运算
1．（2022·贵州六盘水·中考真题）计算：12−23= ．
2．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算：24+616的结果是 ．
3．（2022·山东青岛·二模）计算：18−22= ．
4．（2023·河北石家庄·三模）12−3的结果在（ ）
A．0.5和1之间B．1和1.5之间
C．1.5和2之间D．2和2.5之间
5．（2021·河北唐山·二模）已知：−50+12=a2+b2=c2，则ab＋c＝ ．
题型07 二次根式的混合运算
1．（2022·山东青岛·中考真题）计算(27−12)×13的结果是（ ）
A．33B．1C．5D．3
2．（2022·山东泰安·中考真题）计算：8⋅6−343= ．
3．（2021·山东威海·中考真题）计算24−65×45的结果是 ．
4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）计算：12−1+3+23−2+3×13
5．计算：52−1−2−−32+12×8．
题型08 二次根式的化简求值
1．（2021·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值：1−a−2a+4÷a2−4a2+8a+16，其中a=2−2．
2．（2023·河北衡水·二模）已知A，B都是关于x的多项式，且A=2x2−5x+4，A−B=2x+1．
(1)求B；
(2)若A−B=2，求B的值．
3．（2022·河南商丘·一模）已知M=(x+1)2+(2x+1)(2x−1),N=4x(x+1)，当x=2时，请比较M与N的大小．
题型09 二次根式的应用
1．（2023下·安徽·九年级专题练习）观察下列各式：
①1×2×3×4+1=5；
②2×3×4×5+1=11；
③3×4×5×6+1=19；
…
(1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ；
(2)根据上述规律，猜测写出n×n+1n+2n+3+1＝ ，并加以证明．
2．（2022·山东济宁·二模）阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵(a−b)2≥0，
∴a−2ab+b≥0，
∴a+b≥2ab，
∴当a=b时，a+b有最小值2ab．
根据上述内容，回答下列问题
(1)若m>0，只有当m=_______时，m+1m有最小值_______；若m>0，只有当m=_______时，2m+8m有最小值_________；
(2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米2）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间隔离房面积S最大？最大面积是多少？
3．（2021·贵州黔西·模拟预测）阅读理解：对于任意正实数a、b，∵(a−b)2≥0，∴a−2ab+b≥0，∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值m，则a+b≥2m，只有当a=b时，a+b有最小值2m．根据上述内容，回答下列问题：
(1)若a>0，只有当a=__________时，a+4a有最小值__________；
(2)若a>0，只有当a=__________时，2a+6a有最小值__________；
(3)若a<0，平面内有Aa,a2−4，Ba,−8a两点，当a为何值时，线段AB最短，最短是多少？
4．（2021·河北唐山·一模）如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数因为被污染看不清楚．
（1）嘉嘉认为污染的数为−3，计算“A+B”的结果；
（2）若a=3+3，淇淇认为存在一个整数，可以使得“A−B”的结果是整数，请你求出满足题意的被污染的这个数．
5．（2023·江苏·二模）问题：已知实数a、b、c满足a≠b，且2023(a−b)+2023(b−c)+(c−a)=0，求证：(c−b)(c−a)(a−b)2−2023=2023．
小明在思考时，感觉无从下手，就去请教学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考：
令2023=x，则2023=x2，原等式可变形为关于x的一元二次方程：
(a−b)x2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b)．
可以发现：(a−b)×12+(b−c)×1+(c−a)=0．
从而可知构造的方程两个根分别是1和2023 ．
利用根与系数的关系得：1+2023= _____；1×2023=_____；…
请你根据小刚的思路完整地解答本题．
1．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法正确的是（ ）
①若二次根式1−x有意义，则x的取值范围是x≥1．
②7＜65＜8．
③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5．
④16的平方根是±4．
⑤一元二次方程x2﹣x﹣4＝0有两个不相等的实数根．
A．①③⑤B．③⑤C．③④⑤D．①②④
3．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−2k−2x+k2−1=0有两个实数根，则(k−1)2−(2−k)2的化简结果是（ ）
A．−1B．1C．−1−2kD．2k−3
4．（2021·湖北恩施·中考真题）从2，−3，−2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
5．（2023·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．20=2B．23+33=56
C．8=42D．323−2=6−23
6．（2023·重庆·中考真题）估计5×6−15的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
7．（2022·四川泸州·中考真题）与2+15最接近的整数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=an个根号时，称a,b为一组完美方根数对．如上面3,6是一组完美方根数对．则下面4个结论：①4,12是完美方根数对；②9,91是完美方根数对；③若a,380是完美方根数对，则a=20；④若x,y是完美方根数对，则点Px,y在抛物线y=x2−x上．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使x−3在实数的范围内没有意义的x值是 ．
10．（2023连云港中考真题）计算：(5)2= ．
11．（2023·四川凉山·中考真题）计算(π−3.14)0+2−12= ．
12．（2023·湖北·中考真题）计算4−1−116+3−20的结果是 ．
13．（2023·山东潍坊·中考真题）从−2、3，6中任意选择两个数，分别填在算式□+○2÷2里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果）
14．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算63−717的结果是 ．
15．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：
S1=1+112+122=1+11×2，S2=1+122+132=1+12×3，S3=1+132+142=1+13×4，…
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+⋯+S50= ．
16．（2022呼伦贝尔市中考）已知x，y是实数，且满足y=x−2＋2−x＋18，则x⋅y的值是 ．
17．（2023·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：m+2+52−m⋅2m−43−m，其中m=16+tan45°．
18．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：x−2y2+x5y−x−4y2，其中x=5+12，y=5−12．
1．（2022·四川达州·中考真题）人们把5−12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5−12，b=5+12，记S1=11+a+11+b，S2=21+a2+21+b2，…，S100=1001+a100+1001+b100，则S1+S2+⋯+S100= ．
2．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读]
用数形结合的方法，可以探究q+q2+q3+...+qn+…的值，其中0例求12+122+123+⋯+12n+⋯的值．
方法1：借助面积为1的正方形，观察图①可知
12+122+123+⋯+12n+⋯的结果等于该正方形的面积，
即12+122+123+⋯+12n+⋯=1．
方法2：借助函数y=12x+12和y=x的图象，观察图②可知
12+122+123+⋯+12n+⋯的结果等于a1，a2，a3，…，an…等各条竖直线段的长度之和，
即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1，
所以，12+122+123+⋯+12n+⋯=1．

【实践应用】
任务一 完善23+232+233+⋯+23n+⋯的求值过程．

方法1：借助面积为2的正方形，观察图③可知23+232+233+⋯+23n+⋯=______．
方法2：借助函数y=23x+23和y=x的图象，观察图④可知
因为两个函数图象的交点的坐标为______，
所以，23+232+233+⋯+23n+⋯=______．
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求34+342+343+⋯+342+⋯的值．
任务三 用方法2，求q+q2+q3+⋯+qn+⋯的值（结果用q表示）．
【迁移拓展】
长宽之比为5+12:1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形．
观察图⑤，直接写出5−122+5−124+5−126+⋯+5−122n+⋯的值．