第12讲 反比例函数的图象、性质及应用（21题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第12讲 反比例函数的图象、性质及应用
目 录
TOC \ "1-2" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc154958006" 题型01 用反比例函数描述数量关系
\l "_Tc154958007" 题型02 判断反比例函数
\l "_Tc154958008" 题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
\l "_Tc154958009" 题型04 判断反比例函数图象
\l "_Tc154958010" 题型05 反比例函数点的坐标特征
\l "_Tc154958011" 题型06 已知反比例函数图象，判断其解析式
\l "_Tc154958012" 题型07 由反比例函数解析式判断其性质
\l "_Tc154958013" 题型08 由反比例函数图象分布象限，求k值
\l "_Tc154958014" 题型09 判断反比例函数经过象限
\l "_Tc154958015" 题型10 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
\l "_Tc154958016" 题型11 已知反比例函数增减性，求k值
\l "_Tc154958017" 题型12 由反比例函数的性质比较大小
\l "_Tc154958018" 题型13 求反比例函数解析式
\l "_Tc154958019" 题型14 与反比例函数有关的规律探究问题
\l "_Tc154958020" 题型15 已知比例系数求特殊图形面积
\l "_Tc154958021" 题型16 已知图形面积求比例系数
\l "_Tc154958022" 题型17 一次函数图象与反比例函数图象综合
\l "_Tc154958023" 题型18 一次函数与反比例函数交点问题
\l "_Tc154958024" 题型19 一次函数与反比例函数综合应用
\l "_Tc154958025" 题型20 反比例函数的实际应用
\l "_Tc154958026" 题型21 反比例函数与几何综合
题型01 用反比例函数描述数量关系
1．（2022·北京昌平·统考二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：千帕）随气球内气体的体积V（单位：立方米）的变化而变化，P随V的变化情况如下表所示，那么在这个温度下，气球内气体的气压P与气球内气体的体积V的函数关系最可能是
A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．反比例函数
2．（2023·北京西城·统考二模）下面的三个问题中都有两个变量：
①京沪铁路全程为1463km，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)；
②已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积y(单位：km2/人)与全市总人口x(单位：人)；
③某油箱容量是50L的汽车，加满汽油后开了200km时，油箱中汽油大约消耗了14．油箱中的剩油量yL与加满汽油后汽车行驶的路程xkm．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是( )

A．①②B．①③C．②③D．①②③
题型02 判断反比例函数
1．（2020·浙江杭州·模拟预测）下列函数y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=3xB．y=axC．y=1x2D．y=13x
2．（2022·河南焦作·统考模拟预测）在下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=2x+1B．y=x2C．y=−5xD．yx=2
题型03 根据反比例函数的定义求字母的值
1．（2023·云南楚雄·统考二模）已知反比例函数y=−2x的图象过点Pa,b，则代数式ab的值为（ ）
A．−2B．2C．−12D．12
2．（2023·山西阳泉·统考二模）若点A2,6,B−3,m在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（ ）
A．1B．−1C．4D．−4
3．（2023·浙江台州·统考一模）若反比例函数y=kxk≠0的图象经过点2,k−n2−2，则k的取值范围为（ ）．
A．k≤−2B．k≤−4C．k≥2D．k≥4
4．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数y=3x的图象经过a，m+33，b，m两点，则代数式2ab2a−2b+7ab的值是（ ）
A．23B．−23C．2D．−2
5．（2021·云南昭通·统考一模）若函数y=a+3x是关于x的反比例函数，则a满足的条件是 ．
6．（2021·云南红河·统考一模）已知关于x的反比例函数y=2axa经过点(1,b)，则b= ．
7．（2019·湖南益阳·统考一模）若函数y=(k−1)x|k|−2是反比例函数，则k= ．
题型04 判断反比例函数图象
1．（2022·河北保定·校考一模）函数y=−1x的图象所在的象限是（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第二象限D．第四象限
2（2023·河北廊坊·校考三模）若函数y=5xx>0和函数y=−3xx<0在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则坐标系的纵轴是（ ）

A．y1B．y2C．y3D．y4
3．（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）下列四个函数图象中，y=x+1x的大致图象（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·山东潍坊·统考二模）定义新运算：a⊕b=abb>0−abb<0，例如：3⊕5=35，3⊕(−5)=−3−5，则y=3⊕xx≠0的图象是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·河北沧州·统考二模）如图，把函数y=1x(x<0)和函数y=−2x(x<0)的图象画在同一平面直角坐标系中，则坐标系的原点可能是（ ）

A．点MB．点NC．点PD．点Q
6．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，反比例函数y=1x，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 ．

题型05 反比例函数点的坐标特征
1．（2023·安徽滁州·校考一模）已知正比例函数y=ax与反比例函数y=bx的图象交于点Am,n，则这个函数图象的另一个交点为（ ）
A．b,aB．−a,bC．m,−nD．−m,−n
2．（2022·山东滨州·阳信县实验中学校考模拟预测）互不重合的两点Ax1,y1，Bx2,y2皆落于反比例函数y=7x图象上，当直线AB与第二象限角平分线垂直时，x1⋅x2的值等于（ ）
A．−1B．1C．−7D．7
3．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）若点P(m+1,7)与点Q(4,n)是正比例函数y=ax(a≠0)图象与反比例西数y=kx(k≠0)图象的两个不同的交点，则m+n= ．
4．（2022·北京·北京市第五中学分校校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y=2x的交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1•y2的值为 ．
5．（2021·贵州遵义·统考二模）已知点Am,n在双曲线y=kx上，点B−m,n在直线y=2x−3k上，则2n+1m的值为 ．
题型06 已知反比例函数图象，判断其解析式
1．（2023·山东济南·统考一模）反比例函数y=kx在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．9B．18C．25D．36
2．（2022·河南省直辖县级单位·统考一模）若反比例函数y=4−kx的图象经过点−5,−2，则下列各点在该函数y=kx图象上的为（ ）
A．2,5B．−1,6C．6,2D．−2,−3
3．（2021·陕西汉中·统考一模）如图，正比例函数y＝x和反比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第一象限交于点A，且OA＝2，则k的值为 ．
题型07 由反比例函数解析式判断其性质
1．（2022·福建龙岩·校联考一模）已知反比例函数y＝6x，下列结论正确的是（ ）
A．图象在第二、四象限
B．图象与y轴的交点为（0，6）
C．图象经过点（3，2）
D．函数值y随x的增大而减小
2．（2021·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考一模）已知，反比例函数y=kx的图像上有两点A−3,y1和B3,y2，则下列叙述正确的是（ ）
A．y1=y2
B．当y1=3时，y2=−3
C．k>0时，y1>y2
D．过点B作x轴的垂线，垂足为点H，连AH，若SΔABH=6，则k=6
3．（2021上·江西南昌·九年级统考期末）下列关于反比例函数y=kx（k<0）的说法中，正确的是（ ）
A．双曲线在第一、第三象限B．当x>0时，函数值y>0
C．当x>0时，y随x的增大而增大D．当x<0时，y随x的增大而减小
4．在平面直角坐标系xOy中，P为反比例函数y=2x（x＞0）的图象上的动点，则线段OP长度的最小值是 ．
题型08 由反比例函数图象分布象限，求k值
1．（2023·河北保定·保定市第十七中学校考三模）如图，函数y=kx在第一象限的图象将所标三整点分隔开，则整数k的值可能是（ ）

A．10B．8C．7D．6
2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）反比例函数y=1−2mx图象位于一、三象限，则m的取值范围是（ ）
A．m≥12B．m≤12C．m<12D．m>12
3．（2022上·浙江台州·九年级统考期末）如图，为反比例函数y=k1x，y=k2x，y=k3x在同一坐标系的图象，则k1，k2，k3的大小关系为（ ）
A．k1>k2>k3B．k2>k1>k3C．k3>k1>k2D．k3>k2>k1
题型09 判断反比例函数经过象限
1．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）反比例函数y=−2022x的图象在（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限
2．（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）已知点M(1，−m2−1)在双曲线y=kx上，则双曲线y=kx一定分布在（ ）象限
A．一、二B．一、三C．二、三D．二、四
题型10 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围
1．（2023·陕西咸阳·校考三模）在平面直角坐标系中，点A−1,y1,B2,y2在反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象上，且y1>y2，则k的取值范围是 ．
2．（2023·四川成都·校考三模）在平面直角坐标系xOy中，对于每一象限内的反比例函数y=m+3x图像，y的值都随x值的增大而增大，则m的取值范围是 ．
3．（2023·陕西西安·统考二模）已知点−2,a和3,b在反比例函数y=4−mx的图像上，若a>b，则m的取值范围是 ．
题型11 已知反比例函数增减性，求k值
1．（2023·河南周口·校联考三模）若反比例函数y=kx（k为无理数）的图象在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以为
2．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）A2,y1,B3,y2为反比例函数y=kxk≠0上的两个点，若y13．（2023·湖南永州·统考二模）在反比例函数y=kxk≠0的图象的每一支上，y都随x的增大而减小，且整式x2−kx+9是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
题型12 由反比例函数的性质比较大小
1．（2022·广东江门·校考模拟预测）已知点−4,y1，−1,y2，6,y3都在反比例函数y=m2+1x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 （从小到大）．
2．（2023·广东广州·统考一模）物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则下表中压强P1与P2的大小关系为：P1 P2．（填“>”，“=”或“<”）
题型13 求反比例函数解析式
1．（2023上·河南许昌·九年级许昌市第一中学校考期末）已知：y是x的反比例函数，当x=−4时，y=3，当22．（2023·福建宁德·校考模拟预测）在如图所示的网格中（每个小正方形的边长为1），以点O为原点作平面直角坐标系，则与点P不在同一反比例函数y=kxk≠0上的点为 ．
3．（2023·陕西商洛·统考二模）已知A−1,p与B2,p−3是反比例函数y=kx图象上的两个点，则k的值为 ．
4．（2023·云南玉溪·统考三模）反比例函数y=kxk≠0的图象位于第二、四象限，函数图象上一点P到x轴，y轴的距离分别为3和4，则k的值为 ．
5．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，反比例函数y=kx的图象与△ABC的两边AB、BC分别交于点E(3,m)、F(n,2)，已知AB∥x轴，点A在y轴上，点C在x轴上，F为BC的中点，则m+n= ．

题型14 与反比例函数有关的规律探究问题
1．（2019·辽宁·统考一模）如图，点B11,33在直线l2:y=33x上，过点B1作A1B1⊥l1交直线l:y=3x于点A1，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，过C1的反比例函数为y=k1x；再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2,B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，过C2的反比例函数为y=k2x，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的kn= ．（用含n的代数式表示）

2．（2021·山东威海·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A,B分别在x轴，y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x>0)图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数y=kx图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数y=kx图象上，…，依此规律，作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数y=kx图象上的顶点P19的坐标为 ．
3．（2019·安徽合肥·校联考一模）如图，点B 在反比例函数y=2xx>0的图像上，过点B分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为C0和A，点C0的坐标为1,0，取x轴上一点C1 32,0，过点C1作x轴的垂线交反比例函数图像于点B1，过点B1作线段B1A1⊥BC0交于点A1，得到矩形A1B1C1C0，依次在x轴上取点C22,0,C352,0⋯，按此规律作矩形，则矩形AnBnCnCn−1（n 为正整数） 的面积为 .
4．（2023·湖北恩施·统考一模）如图，直线y=34x与曲线y=1x,y=2x,y=3x,y=4x,y=5x,y=6x,…分别交于点A1,A2,A3,A4,A5,A6,⋅⋅⋅，过点A1,A2,A3,A4,A5,A6,⋅⋅⋅作x轴和y轴的垂线，围成如图所示的“7字形”阴影部分，分别记作S1,S2,S3,⋅⋅⋅，则S1+S2+S3+⋅⋅⋅+S2023= ．
5．（2023·山东聊城·统考一模）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1=A1A2=A2A3=……，过点A1，A2，A3，……分别作x轴的垂线与反比例函数y=2xx≠0的图像相交于点P1，P2，P3，……，得直角三角形OP1A1，A1P2A2，A2P3A3，……，并设其面积分别为S1，S2，S3，……，则S2023的值为 ．
题型15 已知比例系数求特殊图形面积
1．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图，A为双曲线y=6x上的一点，AB⊥x轴，垂足为B，AB交双曲线y=2x于E，AC⊥y轴，垂足为C，AC交双曲线y=2x于D，连接DE，则△ADE的面积是 ．

2．（2022·山西大同·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A、D分别在x轴，y轴上，AB⊥x轴，与y1=2xx>0交于点B，与y2=4xx>0交于点C，四边形OBCD为平行四边形，平行四边形OBCD的面积是 ；

3．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A、B分别在反比例函数y=−2xx<0与y=4xx>0的图象上，则OAOB的值为 ．

4．（2022·湖南郴州·校考模拟预测）如图，在反比例函数y=2xx>0的图象上，有点P1,P2,P3,P4它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴y=2x的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3，则S1+S2+S3= ．

5．（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数y=4x的图像交于A，B两点，点C在x轴上，且AC=OA，则△ABC的面积为 ．

6．（2023·广东佛山·佛山市汾江中学校考三模）如图，A是函数y=16xx>0图象上的一点，过点A作y轴的垂线，垂足为C，过点A作x轴的垂线，垂足为B，则四边形ABOC的面积是 ．

7．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=5x的图像交于A,B两点．若AC∥x轴，BC∥y轴，则S△ABC= ．

8．（2023·江苏徐州·校考三模）如图，点A、点D分别在反比例函数y=−12x、y=4x的图象上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 ．

9．（2023·陕西西安·校考三模）如图，点A是反比例函数y=−12x(x<0)图象上一点，连接OA．过点A作AB⊥y轴于点B，C为AB的中点，连接OC并延长交反比例函数的图象于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则四边形BCDE的面积为 ．
10．（2023·河北·统考二模）如图，A，B是双曲线y=kx上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，连接OA，过点B作BE⊥x轴，垂足为E.若△ADO的面积为1，D为OB的中点.

（1）四边形DCEB的面积为 ；
（2）k的值为 ；
（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程x2−3x+2=0的两个不同实根，则点E到直线OA的距离为 .
11．（2023·湖南长沙·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在反比例函数y=1x（x>0）的图像上，且四边形OACB为矩形，则下列说法正确的是 ．（填序号）
①当点B，C不动，点A在x轴上运动时，△ABC的面积不变；
②当点A，C不动，点B在y轴上运动时，△ABC的面积不变：
③当点A，B不动，点C在反比例函数的图像上运动时，△ABC的面积不变．
题型16 已知图形面积求比例系数
1．（2023·河北沧州·校考三模）如图，矩形OABC与反比例函数y1=k1x（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2=k2x（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1−k2的值为 ．

2．（2023·广东东莞·校联考一模）如图，点A是反比例函数y=kx图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则k= ．
3．（2023·安徽亳州·统考三模）如图，点A是函数y=kxk<0，x<0图象上一点，点B是函数y=5xx>0图象上一点，点C在x轴上，连接AB，CA，CB．若AB∥x轴，S△ACB=4，则k= ．

4．（2023·河北石家庄·统考二模）如图，A，B是双曲线y=kx上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C，连接OA，过点B作BE⊥x轴，垂足为E．若△ADO的面积为1，D为OB的中点．

（1）四边形DCEB的面积为 ；
（2）k的值为 ；
（3）若A，B两点的横坐标恰好是方程x2−3x+2=0的两个不同实根，则点E到直线OA的距离为 ．
5．（2023·山西大同·统考模拟预测）如图在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对角线交于原点O，顶点A,B在反比例函数y=kx的图象上，若CD垂直x轴于点D，平行四边形的面积为8，则k= ．

6．（2023·安徽合肥·校考三模）已知反比例函数y1=3x,y2=kx在第一象限的图象如图，过y1=3x图象上的任意一点A，作x轴的平行线交y2=kx图象于点B，交y轴于点C，若S△ABO=3，则k的值为 ．

7（2023·陕西商洛·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OB在x轴的负半轴上，顶点A在反比例函数y=kx（x<0）的图象上，若△ABC的面积为4，则k的值是 ．

8（2023·内蒙古·二模）如图，反比例函数y=kx（k≠0）与矩形OABC一边交于点E，且点E为线段AB中点，若△ODE的面积为3，则k的值为 ．

9．（2023·广东深圳·校考三模）在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=2xx>0图象上的一点，如图，将线段OA向左平移，平移后的对应线段为O'A'，点A'落在反比例函数y=kx的图象上，已知线段OA扫过的面积为5，则k= ．

10．（2023·江苏南通·统考二模）如图，已知反比例函数y=−6xx<0和y=kxx>0的图象分别经过点A、B，线段AB交x轴于点C，交y轴于点D，以AB为斜边在AB上方作Rt△AEB，使AE∥x轴，BE交x轴于点F．若EFFB=32,ADCB=12，则k的值为 ．

11．（2023·内蒙古包头·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A,B在反比例函数y=kx(k>0)第一象限的图象上（点B在点A的右侧），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接AB，若OC=CD，四边形ABDC的面积为6，则k的值为 ．

题型17 一次函数图象与反比例函数图象综合
1．（2023·湖南邵阳·统考一模）在同一坐标系中，函数y=kx和y=kx+2的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东广州·统考二模）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，则反比例函数y=axa≠0和一次函数y=bx+c在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）．
A．B．C．D．
题型18 一次函数与反比例函数交点问题
1．（2023·浙江·模拟预测）若函数y=kxk>0与函数y=1x的图象相交于A,C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．kD．k2
2．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）如图，在平面直角坐标系，一次函数y1=kx+b与y2=mxm>0的函数图象交于A−2，a和B1，b两点，当y1
A．x<−2或x>1B．−2C．x<−2或01
3．（2023·湖南娄底·统考一模）已知函数y=x−2与y=2023x的图象交于点Pa,b，则代数a3−a2+b2−2023a−ab的值是（ ）
A．−2018B．2027C．6070D．−6062
4．（2023·湖北鄂州·统考二模）数形结合是数学中的一种重要思想方法，在解题中运用数形结合常常可以优化解题思路，简化解题过程．如图，直线y=x+1与双曲线y=kxk≠0相交于点A1,2,B−2,−1．根据图象可知关于x的方程x+1=kx的解是（ ）

A．−2或1B．−1或2C．1或2D．−2或−1
5．（2023·广西梧州·统考二模）如图，直线y=a（a是常数，a>0）与双曲线y=−4xx<0交于点A，与直线y=2x+4交于点B，当△OAB面积最小时，a的值是（ ）

A．1B．2C．3D．4
6．（2020·四川巴中·统考二模）如图，直线y=−x+b与反比例函数y=kx的图象相交于A(1,4)，B(4,n)两点，延长AO交反比例函数的图象于点C，连接OB．
(1)求k和b的值；
(2)根据图象直接写出kx−(−x+b)>0的解集；
(3)在y轴上是否存在一点P，使得S△PAC=25S△AOB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
7．（2023·广东东莞·一模）如图，已知直线y=−x+4与反比例函数y=kx的图象相交于点A(−2，a)，并且与x轴相交于点B．

(1)求a的值；求反比例函数的表达式；
(2)求△AOB的面积；
(3)求不等式−x+4−kx<0的解集（直接写出答案）．
题型19 一次函数与反比例函数综合应用
1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考一模）如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与函数y2=mx (x>0)的图象交于A(6，−12 )，B( 12，n)两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线E，DE与y轴交于点F．

(1)求y1与y2的解析式；
(2)观察图象，直接写出y1(3)连接AD，CD，若△ACD的面积为4，则t的值为 ．
2．（2023·湖南怀化·统考三模）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．例如，点1,1是函数y=12x+12的图象的“等值点”．
(1)分别判断函数y=x+2，y=x2−x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；
(2)设函数y=3x（x>0），y=−x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值：
(3)若函数y=x2−2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）如图，已知A0,2，B1,0，连接AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD与反比例函数y=kxk≠0相交于D，E两点，连接CE，交x轴于点F．

(1)求k的值及直线DE的解析式；
(2)求△DEC的面积．
4．（2023·湖北鄂州·统考二模）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点Ax1,y1和Bx2,y2，用以下方式定义两点间的“折线距离”：dA,B=x1−x2+y1−y2．

【数学理解】
(1)①已知点A−3,1，则dO,A=___________；
②函数y=−2x+60≤x≤3的图象如图（1），B是图象上一点，若dO,B=5，则点B的坐标为________；
(2)函数y=3x(x>0)的图象如图（2），该函数图象上是否存在点C，使dO,C=2？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由；
【拓展运用】
(3)函数y=x2−4x+6x≥0的图象如图（3），D是图象上一点，求dO,D的最小值及对应的点D的坐标．
题型20 反比例函数的实际应用
1．（2023·河北保定·统考一模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积v（单位：m3)变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3)随之变化．已知密度ρ与体积v是反比例函数关系，它的图象如图所示．则正确的是（ ）

A．函数解析式为ρ=7vB．容器内气体的质量是5v
C．当ρ≤8kg/m3时，v≥1.25m3D．当ρ=4kg/m3时，v=3m3
2．（2023·山西晋中·校联考模拟预测）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率P（w）与做功所用的时间t（s）成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）

A．P与t的函数关系式为P=60000tB．当t=5s时，P=12000w
C．当t>5s时，P>12000wD．p随t的增大而减小
3．（2023·河南新乡·统考三模）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图象如图所示．

则下列说法不正确的是（ ）
A．药物燃烧时，y关于x的函数关系式为y=34x0≤x≤8
B．药物燃烧4min时，才开始对杀灭病毒起效
C．从消毒开始，至少需要30min学生才能回到教室
D．本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为16min
4．（2023·山西长治·统考模拟预测）学校科技兴趣小组为探索如图所示的电路中电压UV、电流IA、电阻RΩ三者之间的关系，测得数据如下，根据数据猜想得到三者之间为：I=UR．由此可得，当电阻R=110Ω时，电流I= A．

5．（2023·广东江门·江门市怡福中学校考一模）如图是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线y= 10x的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CE为2米．

(1)求滑道BCD所在抛物线的解析式；
(2)求甲同学从点A滑到地面上D点时，所经过的水平距离；
(3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，OPOD ≥ 12，请直接写出OD长度的取值范围．
6．（2022·湖北咸宁·校考模拟预测）崇阳县白霓镇回头岭村近年大力打造乡村旅游文化品牌，农村特色美食、农家乐、采摘园、观光养殖场等初具规模，2021年仅桑葚采摘园收入6万元，2022年桑葚产量比2021年增加了1000千克，且每千克价格比2021年上涨了3元，故收入比2021年提高了50%．已知2021年每千克价格不低于14元
(1)求2022年桑葚每千克的价格；
(2)村委会计划扩大桑葚采摘园的规模，将今年收入的30%投入扩建，已知新建采摘园每亩资金不低于1200元，那么最多可以将桑葚采摘园的面积扩大多少？
7．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）由物理学知识知道，在力F（单位：N）的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s（单位：m），力F所做的功W（单位：J）满足W=Fs，当W为定值时，F与s之间的函数图象如图所示，点P2,7.5为图象上一点．

(1)试确定F与s之间的函数关系式．
(2)当F=5时，s是多少？
8．（2023·辽宁抚顺·统考三模）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时：气球内气体的气压PKPa是气体体积Vm3的反比例函数，其图象如图所示．

(1)请写出这一函数的解析式；
(2)当气球内气体的体积为1m3时，气体的气压是多少？
(3)当气球内气体的气压为40KPa，气体的体积是多少？
(4)当气球内的气压大于150KPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球内气体的体积应不小于多少？
9．（2023·甘肃平凉·校考三模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图像如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图像是线段；当20≤x≤40时，图像是双曲线的一部分，根据函数图像回答下列问题：

(1)当20≤x<40时，注意力指标数y与时间x之间的函数关系为______．
(2)当0≤x<10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．
10．（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间xmin成反比例关系，直至水温降至20℃时热水壶又自动开机加热，重复上述程序（如图所示）．

(1)求反比例图像CD段的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
(2)小明治疗肠胃病需服用地衣芽狍杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水（水温不能高于40℃）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热水壶的水送服活菌片？
11．（2023·贵州贵阳·统考三模）山西地处黄河中游，是世界上最早最大的农业起源中心之一，是中国面食文化的发祥地，其中的面条文化至今已有两千多年的历史（面条在东汉称之为“煮饼”）．厨师将一定质量的面团做成拉面时，面条的总长度ym是面条横截面面积xmm2的反比例函数，其图象经过A4,32，Ba,80两点（如图）．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求a的值，并解释它的实际意义．
题型21 反比例函数与几何综合
1．如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD=3，∠BDC=120°，S△BCD=923，若反比例函数y=kxx<0的图像经过C，D两点，则k的值是（ ）
A．−63B．−6C．−123D．−12
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(5,0)，点B是函数y=6xx>0图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=−2xx<0的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
3．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y=k1x和y=k2x的图象上，若∠BCD=60°，则k1k2的值为（ ）
A．3B．23C．−33D．−13
4．如图，点A在双曲线y=kx（k>0，x>0）上，点B在直线l：y=mx−2b（m>0，b>0）上，A与B关于x轴对称，直线l与y轴交于点C，当四边形AOCB是菱形时，有以下结论：①Ab,3b②当b=2时，k=43③m=33④S四边形AOCB=2b2则所有正确结论的序号是 ．
5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO=3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是y=1x，则图像经过点D的反比例函数的解析式是 ．
6．如图，A，C是双曲线y=1x上关于原点对称的点，B，D是双曲线y=−3x上关于原点对称的点，圆弧BAD与BCD围成了一个封闭图形，当线段AC与BD都最短时，图中阴影部分的面积为 ．
7．如图，直线AD：y=3x+3与坐标轴交于A、D两点，以AD为边在AD右侧作正方形ABCD，过C作CG⊥y轴于G点．过点C的反比例函数y=kxk≠0与直线AD交于E、F两点．

(1)求证：△AOD≌△DGC；
(2)求E、F两点坐标；
(3)填空：不等式3x+3>kx的取值范围是______．
8．阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下：
①建立直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；
②在直角坐标系中，绘制函数y=1x的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；
③以P为圆心、以2OP为半径作弧，交函数y=1x的图象于点R；
④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q；
⑤连接OM，得到∠MOB．则∠MOB=13∠AOB．
思考问题：
(1)设Pa,1a，Rb,1b，求直线OM的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线OM上；
(2)证明：∠MOB=13∠AOB．
(3)如图2，若直线y=x与反比例函数y=4xx≠0交于点C，D为反比例函数y=4xx≠0第一象限上的一个动点，使得∠COD=30°．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标．
9．如图，点B是反比例函数y=8x（x>0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C，反比例函数y=kx（x>0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k=_________；
（2）求ΔBDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
10．已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y=1x(x>0)图象上的一个动点，连结AO,AO的延长线交反比例函数y=kx(k>0,x<0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．
①若k=1，求证：四边形AEFO是平行四边形；
②连结BE，若k=4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP//AB，交反比例函数y=kx(k>0,x<0)的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．
1．（2022·海南·统考中考真题）若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(2,−3)，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A．(−2,−3)B．(−3,−2)C．(1,−6)D．(6,1)
2．（2022·湖北宜昌·统考中考真题）已知经过闭合电路的电流I（单位：A）与电路的电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系．根据下表判断a和b的大小关系为（ ）
A．a>bB．a≥bC．a3．（2022·山东潍坊·中考真题）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同，观察图中数据，你发现，正确的是（ ）
A．海拔越高，大气压越大
B．图中曲线是反比例函数的图象
C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕
D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
4．（2022·河北·统考中考真题）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对m,n，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·山东济南·统考中考真题）已知点A−4,y1，B−2,y2，C3,y3都在反比例函数y=kxk<0的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3C．y36．（2023·山东泰安·统考中考真题）一次函数y=ax+b与反比例函数y=abx（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=3x和y=nx的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）

A．−3B．−13C．13D．3
8．（2023·广西·统考中考真题）如图，过y=kx(x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=−1x的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=52，则k的值为（ ）

A．4B．3C．2D．1
9．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，点A在函数y=2x(x>0)的图象上，点B在函数y=3x(x>0)的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）

A．1B．2C．3D．4
10．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，一次函数y1=k1x+bk1>0的图像与反比例函数y2=k2xk2>0的图像相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为−2，当y1
A．x<−2或x>1B．x<−2或0C．−21D．−211．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
12．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连结AB，AB=32，则k的值为（ ）
A．3B．32C．4D．6
13．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，若函数y=kxk≠0的图象经过点A−3,2和Bm,−2，则m的值为 ．
14．（2023·河北·统考中考真题）如图，已知点A(3,3),B(3,1)，反比例函数y=kx(k≠0)图像的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的数值： ．

15．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边BC上，BC=2CD，AB=3．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
16．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图像上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cs∠OAC=23，则k= ．

17．（2023·江苏无锡·统考中考真题）已知曲线C1、C2分别是函数y=−2x(x<0),y=kx(k>0,x>0)的图像，边长为6的正△ABC的顶点A在y轴正半轴上，顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），现将△ABC绕原点O顺时针旋转，当点B在曲线C1上时，点A恰好在曲线C2上，则k的值为 ．
18．（2023·浙江衢州·统考中考真题）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF．反比例函数y=kxk>0的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．

19．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，点Aa,5a和Bb,5b在反比例函数y=kxk>0的图象上，其中a>b>0．过点A作AC⊥x轴于点C，则△AOC的面积为 ；若△AOB的面积为154，则ab= ．

20．（2023·广东·统考中考真题）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)的函数表达式为I=48R，当R=12Ω时，I的值为 A．
21．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数y=8x(x>0)的图象上有P1,P2,P3,⋯P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3,⋯,S2023，则S1+S2+S3+⋯+S2023= ．

22．（2022·湖南长沙·统考中考真题）若关于x的函数y，当t−12≤x≤t+12时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数ℎ=M−N2，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
(1)①若函数y=4044x，当t=1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y=kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
(2)若函数y=2x （x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
(3)若函数y=−x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
23．（2023·湖北十堰·统考中考真题）函数y=kx+a的图象可以由函数y=kx的图象左右平移得到．
(1)将函数y=1x的图象向右平移4个单位得到函数y=1x+a的图象，则a=____；
(2)下列关于函数y=1x+a的性质：①图象关于点−a,0对称；②y随x的增大而减小；③图象关于直线y=−x+a对称；④y的取值范围为y≠0．其中说法正确的是________（填写序号）；
(3)根据（1）中a的值，写出不等式1x+a>1x的解集：_________．
24．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y=6|x|−|x|的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝ ．
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
(2)探究函数性质，请写出函数y＝6|x|-|x|的一条性质： ；
(3)运用函数图象及性质
①写出方程6|x|-|x|＝5的解 ；
②写出不等式6|x|-|x|≤1的解集 ．
25．（2023·四川达州·统考中考真题）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL=2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为I=UR+RL，通过实验得出如下数据：
(1)a=_______，b=_______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2x≥0，结合表格信息，探究函数y=12x+2x≥0的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2x≥0的图象；

②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，12x+2≥−32x+6的解集为________．
26．（2022·浙江温州·统考中考真题）已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象的一支如图所示，它经过点(3,−2)．
(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
(2)求当y≤5，且y≠0时自变量x的取值范围．
27．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，反比例函数y=kxx>0的图象分别与AB,BC交于点D4,1和点E，且点D为AB的中点．

(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标；
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y=kxx>0的图象相交于点M，当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时（点M可与点D,E重合），直接写出m的取值范围．
28．（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线y=x+b与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(2,3)，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点C．

(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式；
(2)求△ABC的面积．
29．（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：gcm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，ℎ=20cm．

(1)求h关于ρ的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，ℎ=25cm，求该液体的密度ρ．
30．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A−1，6，B3a,a−3，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)点M在x轴上，若S△OAM=S△OAB，求点M的坐标．
31．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于Aa,4和B4,2两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；
(3)过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．
32．（2023·山东济南·统考中考真题）综合与实践
如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为am．
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为xm，BC为ym．由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的x,y可看成是反比例函数y=8x的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到2x+y=10，满足条件的x,y可看成一次函数y=−2x+10的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的x,y就可以看成两个函数图象交点的坐标．
如图2，反比例函数y=8xx>0的图象与直线l1：y=−2x+10的交点坐标为1,8和_________，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或AB=___________m，BC=__________m．
（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．
【类比探究】
（2）若a=6，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
当木栏总长为am时，小颖建立了一次函数y=−2x+a．发现直线y=−2x+a可以看成是直线y=−2x通过平移得到的，在平移过程中，当过点2,4时，直线y=−2x+a与反比例函数y=8xx>0的图象有唯一交点．
（3）请在图2中画出直线y=−2x+a过点2,4时的图象，并求出a的值．
【拓展应用】
小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“y=−2x+a与y=8x图象在第一象限内交点的存在问题”．
（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB和BC的长均不小于1m，请直接写出a的取值范围．
33．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l:y=kx+2与x，y轴分别相交于点A，B，与反比例函数y=mxx>0的图象相交于点C，已知OA=1，点C的横坐标为2．
(1)求k，m的值；
(2)平行于y轴的动直线与l和反比例函数的图象分别交于点D，E，若以B，D，E，O为顶点的四边形为平行四边形，求点D的坐标．
34．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点C3，0，顶点A、B6，m恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．

(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
35．（2023·吉林·统考中考真题）笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长λ（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：MHz）的变化而变化．已知波长λ与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：
(1)求波长λ关于频率f的函数解析式．
(2)当f=75MHz时，求此电磁波的波长λ．
36．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．
37．（2023·河南·统考中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=kx图象上的点A3,1和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF．
(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和．
38．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+5与y轴交于点A，与反比例函数y=kx的图象的一个交点为B(a,4)，过点B作AB的垂线l．

(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点C在直线l上，且△ABC的面积为5，求点C的坐标；
(3)P是直线l上一点，连接PA，以P为位似中心画△PDE，使它与△PAB位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标及m的值．
39．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点Pm,n在函数y=−2xx<0的图象上．
(1)若m=−2，求n的值；
(2)抛物线y=x−mx−n与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023·四川凉山·统考中考真题）阅读理解题：
阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=12，则tanβ=13．

证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，
易证△AEB≌△EFCAAS
∴EC=2k,CF=k，
∴FD=k,AD=3k
∴tanβ=DFAD=k3k=13，
若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．
同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y=3x−9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
(3)求直线AE的解析式．
V（单位：立方米）
64
48
38.4
32
24
…
P（单位：千帕）
1.5
2
2.5
3
4
…
S/m2
1
2
3
P/Pa
P1
300
P2
RΩ
100
200
220
400
IA
2.2
1.1
1
0.55
IA
5
…
a
…
…
…
b
…
1
RΩ
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
RΩ
…
1
a
3
4
6
…
IA
…
4
3
2.4
2
b
…
频率f（MHz）
10
15
50
波长λ（m）
30
20
6