第13讲 二次函数图象与性质（24题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数），或利用数量关系来研究几何图形的性质，解决几何问题（以数助形）的一种数学思想。
3、要学会抢得分点。一道中考数学压轴题解不出来，不等于“一点不懂、一点不会”，要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想:体现在数学上也就是要把难的问题转化为简单的问题，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，把未知的问题转化为已知的问题。
第13讲 二次函数图象与性质
目 录
TOC \ "1-2" \n \p " " \h \z \u
\l "_Tc155172883" 题型01 判断函数类型
\l "_Tc155172884" 题型02 已知二次函数的概念求参数值
\l "_Tc155172885" 题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式）
\l "_Tc155172886" 题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式）
\l "_Tc155172887" 题型05 利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式）
\l "_Tc155172888" 题型06 根据二次函数解析式判断其性质
\l "_Tc155172889" 题型07 将二次函数的一般式化为顶点式
\l "_Tc155172890" 题型08 利用五点法绘二次函数图象
\l "_Tc155172891" 题型09 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
\l "_Tc155172892" 题型10 二次函数平移变换问题
\l "_Tc155172893" 题型11 已知抛物线对称的两点求对称轴
\l "_Tc155172894" 题型12 根据二次函数的对称性求字母的取值范围
\l "_Tc155172895" 题型13 根据二次函数的性质求最值
\l "_Tc155172896" 题型14 根据二次函数的最值求字母的取值范围
\l "_Tc155172897" 题型15 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围
\l "_Tc155172898" 题型16 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
\l "_Tc155172899" 题型17 根据二次函数图象判断式子符号
\l "_Tc155172900" 题型18 二次函数图象与各项系数符号
\l "_Tc155172901" 题型19 二次函数、一次函数综合
\l "_Tc155172902" 题型20 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
\l "_Tc155172903" 题型21 抛物线与x轴交点问题
\l "_Tc155172904" 题型22 求x轴与抛物线的截线长
\l "_Tc155172905" 题型23 根据交点确定不等式的解集
\l "_Tc155172906" 题型24 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
题型01 判断函数类型
1．（2022·北京房山·统考一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
【答案】D
【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，根据关系式即可作出选择．
【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，
由题意得：y=16[2x2+4x(x+50)]=96x2+3200x，
这是关于一个二次函数．
故选：D．
【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．
2．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考模拟预测）用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，一次函数关系B．正比例函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，正比例函数关系D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．
【详解】解：由题意可得：2x+2y=10，S=xy，
即：y=5−x，S=x5−x=−x2+5x，
∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．
3．（2023·北京石景山·统考二模）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=10．点P是CB边上一动点（不与C，B重合），过点P作PQ⊥CB交AB于点Q．设CP=x，BQ的长为y，△BPQ的面积为S，则y与x，S与x满足的函数关系分别为（ ）

A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】先求出∠A=∠B=45°，再求出BP=10−x，然后解Rt△BPQ得到PQ=10−x，BQ=210−x，进而得到y=−2x+102，S=1210−x2，由此即可得到答案．
【详解】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CA=CB=10，
∴∠A=∠B=45°，
∵CP=x，
∴BP=BC−CP=10−x，
∵PQ⊥CB，
∴∠QPB=90°，
在Rt△BPQ中，PQ=BP⋅tanB=10−x，BQ=BPcsB=210−x，
∴y=210−x=−2x+102，S=12BP⋅PQ=1210−x2，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边对等角，列函数关系式，正确求出y=−2x+102，S=1210−x2是解题的关键．
题型02 已知二次函数的概念求参数值
1．（2023·四川南充·统考一模）点Pa,9在函数y=4x2−3的图象上，则代数式2a+32a−3的值等于 ．
【答案】3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出4a2=12，将其代入(2a+3)(2a−3)=4a2−9中即可求出结论．
【详解】解：∵点P(a,9)在函数y=4x2−3的图象上，
∴9=4a2−3，
∴4a2=12，
则代数式(2a+3)(2a−3)=4a2−9=12−9=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
2．（2020·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）已知二次函数y=m−1xm2−3的图象开口向下，则m的值为 ．
【答案】−5
【分析】根据二次函数的定义及开口向下时m+1<0即可解答．
【详解】根据题意得：
m−1<0m2−3=2
解得：m=−5．
故答案为：−5．
【点睛】本题考查的是二次函数的定义及性质，易错点是只考虑其次数是2，没有考虑开口向下时的性质．
3．（2021·四川凉山·统考模拟预测）若y＝（m﹣1）x|m|+1+8mx﹣8是关于x的二次函数，则其图象与x轴的交点坐标为 ．
【答案】（﹣2，0）
【分析】首先根据二次函数的定义可知|m|+1＝2且m﹣1≠0，求出m的值并代入，再令y=0求出x的值，即可得出答案．
【详解】∵|m|+1＝2，
∴m＝±1．
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m＝﹣1，
∴y＝﹣2x2﹣8x﹣8．
当y=0时，x1=x2=-2，
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0）．
故答案为：（﹣2，0）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的关系式，求抛物线与x轴的交点坐标，根据二次函数的定义求出m的值是解题的关键．
题型03 利用待定系数法求二次函数的解析式（一般式）
1．（2021·广东广州·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c经过点−1,0、3,0，且与y轴交于点0,−5，则当x=2时，y的值为（ ）
A．−5B．−3C．−1D．5
【答案】A
【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．
解法二：利用二次函数图象的对称性可知：x=2和x=0对应的函数值相等，从而得解．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点−1,0、3,0，且与y轴交于点0,−5，
∴c=−5a−b+c=09a+3b+c=0，
解方程组得c=−5a=53b=−103，
∴抛物线解析式为y=53x2−103x−5，
当x=2时，y=53×4−103×2−5=−5．
故选择A．
解法二：抛物线y=ax2+bx+c经过点−1,0、3,0，
∴抛物线的对称轴为：x=−1+32=1，
又∵0+22=1，
∴x=2和x=0的函数值相等，即均为−5，
故选择A．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果．
2．（2022·山东泰安·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x=12
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为2,0D．函数y=ax2+bx+c的最大值为254
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】解：由题意得4a−2b+c=0a−b+c=4c=6，
解得a=−1b=1c=6，
∴抛物线解析式为y=−x2+x+6=−x−122+254，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=12，该函数的最大值为254，故A、B、D说法正确，不符合题意；
令y=0，则−x2+x+6=0，
解得x=3或x=−2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
3．（2022·浙江绍兴·统考中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．
(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【答案】(1)b＝-6，c=-3
(2)x＝－3时，y有最大值为6
(3)m＝－2或−3−10
【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x2+bx+c，即可求解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；
（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．
【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x2+bx+c，得∶
c=−3−36−6b+c=−3，解得：b=−6c=−3；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝−x2−6x−3＝−(x+3)2+6，
∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），
∵-1＜0
∴抛物线开口向下，
又∵-4≤x≤0，
∴当x＝-3时，y有最大值为6．
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，
①当-3＜m≤0时，
当x＝0时，y有最小值为-3，
当x＝m时，y有最大值为−m2−6m−3，
∴−m2−6m−3+（-3）＝2，
∴m＝-2或m＝-4（舍去）．
②当m≤-3时，
当x＝-3时，y有最大值为6，
∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为-4，
∴−(m+3)2+6=-4，
∴m＝−3−10或m＝−3+10（舍去）．
综上所述，m＝-2或−3−10．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
题型04 利用待定系数法求二次函数的解析式（顶点式）
1．（2023·江苏泰州·校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为4，−3，该图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中点A的横坐标为1．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求tan∠ABC．
【答案】(1)该二次函数解析式为y=13x−42−3；
(2)tan∠ABC=13．
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为：y=ax−42−3，将A1，0代入解析式来求a的值；
（2）由锐角三角函数定义解答．
【详解】（1）解：由题意可设抛物线解析式为：y=ax−42−3，a≠0．
把A1，0代入，得0=a1−42−3，
解得a=13．
故该二次函数解析式为y=13x−42−3；
（2）解：令x=0，则y=130−42−3=73．则OC=73．
因为二次函数图象的顶点坐标为4，−3，A1，0，则点B与点A关于直线x=4对称，
所以B7，0．
所以OB=7．
所以tan∠ABC=OCOB=737=13，即tan∠ABC=13．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法确定函数关系式以及解直角三角形．解题时，充分利用了二次函数图象的对称性质．
2．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，二次函数的图象经过点0,−1，顶点坐标为2,3．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当0≤x≤3时，y的取值范围为 ；
(3)直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点0,−4，且与x轴只有一个公共点．
【答案】(1)y=−x−22+3
(2)−1≤y≤3
(3)该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点0,−4，且与x轴只有一个公共点
【分析】（1）由题意设二次函数的顶点式，代入0，−1进行计算即可得到答案；
（2）由函数表达式可知：二次函数y=−x−22+3的图象有最高点2，3，对称轴是直线x=2，从而可得此时y的取值范围；
（3）该二次函数的图象平移后的顶点在x轴上，设它的表达式为y=−x−ℎ2，再把点0，−4代入，求出ℎ的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点0,−1，顶点坐标为2,3，
设这个二次函数的表达式为：y=ax−22+3a≠0，
把0,−1代入得：
−1=a0−22+3，，
解得：a=−1，
这个二次函数的表达式为：y=−x−22+3；
（2）解：∵a=−1<0，二次函数的表达式为y=−x−22+3，
二次函数y=−x−22+3的图象有最高点2,3，对称轴是直线x=2，
当x=0时，y=−0−22+3=−1，
当x=3时，y=−3−22+3=2，
∴y 的取值范围为：−1≤y≤3，
故答案为：−1≤y≤3；
（3）解：∵该二次函数的图象经过平移后，与x轴只有一个公共点，
该二次函数的图形平移后的顶点在x轴上，设它的表达式为y=−x−ℎ2，
∵该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点0，−4，
∴−4=−0−ℎ2，
解得：ℎ=±2，
即该函数的图象平移后的表达式为：y=−x−22或y=−x+22，
该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点0,−4，且与x轴只有一个公共点．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值的取值范围、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与特征是解题的关键
题型05 利用待定系数法求二次函数的解析式（交点式）
1．（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点−1,0、3,0和0,3，当x=2时，y的值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意可得交点式y=ax−3x+1，然后把0,3代入求出a值，即可求出二次函数表达式．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点−1,0、3,0
∴抛物线的解析式为y=ax−3x+1，
把0,3代入得：−3a=3，解得：a=−1，
∴函数的解析式为y=−x−3x+1，
即y=−x2+2x+3，
∴当x=2时，y=−22+2×2+3=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
2．（2022·山东威海·统考一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点(x，y)的坐标值：
则这条抛物线的解析式为 ．
【答案】y=−x2+2x+3
【分析】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0），设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，将（0，3）代入解析式即可得到a的值，再带回所设解析式化为一般式即可．
【详解】根据表格可得到点（-1,0）、（0，3）、（3,0）
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)
将（0，3）代入解析式得3=−3a
解得a=−1
∴解析式为y=−(x+1)(x−3)=−x2+2x+3
故答案为：y=−x2+2x+3．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式的步骤是解题的关键．
题型06 根据二次函数解析式判断其性质
1．（2022·广东江门·鹤山市沙坪中学校考模拟预测）关于二次函数y=x2+2x−8，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为0，−9
C．图象与x轴的交点坐标为−2,0和4,0
D．y的最小值为−9
【答案】D
【分析】把二次函数的解析式化成顶点式和交点式，再利用二次函数的性质就可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数y=x2+2x−8=x+12−9=x+4x−2，
∴该函数的对称轴是直线x=−1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x=0时，y=−8，即该函数与y轴交于点0，−8，故选项B错误；
当y=0时，x=2或x=−4，即图象与x轴的交点坐标为2,0和−4,0，故选项C错误；
当x=−1时，该函数取得最小值y=−9，故选项D正确．
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数解析式化为顶点式和交点式是解题的关键．
2．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）对于二次函数y=−12x2+2x+1的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．当x>0时，y随x增大而减小B．抛物线与直线y=x+2有两个交点
C．当x=2时，y有最小值3D．与抛物线y=−12x2形状相同
【答案】D
【分析】将该抛物线表达式化为顶点式，记录判断A、C；联立y=x+2和y=−12x2+2x+1，得到方程0=−12x2+x−1，各级一元二次函数根的判别式，即可判断B；根据二次函数平移的性质，即可判断D．
【详解】解：∵y=−12x2+2x+1=−12x−22+3，
∴该二次函数的对称轴为直线x=2，
∵a=−12<0，函数开口向下，
∴当x>2时，y随x增大而减小，故A错误，不符合题意；
B、当y=x+2时，x+2=−12x2+2x+1，
整理得：0=−12x2+x−1
∴Δ=b2−4ac=12−4×−12×−1=−1<0，
∴方程x+2=−12x2+2x+1无实数根，则抛物线与直线y=x+2没有交点，故B错误，不符合题意；
C、∵y=−12x−22+3，a=−12<0，函数开口向下，
∴当x=2时，y有最大值3，故C错误，不符合题意；
D、∵y=−12x−22+3可由y=−12x2向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度得到，
∴y=−12x2+2x+1与抛物线y=−12x2形状相同，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握y=x−ℎ2+k的对称轴为x=ℎ，顶点坐标为ℎ,k；a>0时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，a<0时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
3．（2023·广东深圳·校考三模）关于二次函数y=−2(x−1)2+6，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线x=−1B．图象与x轴没有交点
C．当x=1时，y取得最小值，且最小值为6D．当x>2时，y的值随x值的增大而减小
【答案】D
【分析】对于二次函数y=a(x−ℎ)2+k(a，h，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是(ℎ,k)，对称轴为直线x=ℎ．根据二次函数y=a(x−ℎ)2+k的性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线y=−2(x−1)2+6，
∴该抛物线的图象开口向下，对称轴是直线x=1，故选项A错误，不符合题意；
∵顶点坐标为(1,6)，
∴当x=1时，函数取得最大值6>0，故选项C错误，不符合题意；
又∵抛物线的图象开口向下，
∴图象与x轴有2个交点，
故选项B错误，不符合题意；
当x>2时，y随x的增大而减小，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=a(x−ℎ)2+k的性质是解答本题的关键．
题型07 将二次函数的一般式化为顶点式
1．（2023·浙江·模拟预测）要得到y=−2x2−12x−19图象，只需把抛物线y=−2x2−4x−1图象如何变换得到（ ）
A．向左平移2个单位、向上平移2个单位B．向左平移2个单位、向下平移2个单位
C．向右平移2个单位、向上平移2个单位D．向右平移2个单位、向下平移2个单位
【答案】B
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，再根据图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可．
【详解】解：∵y=−2x2−12x−19=−2x+32−1，y=−2x2−4x−1=−2x+12+1，
∴将抛物线y=−2x+12+1向左平移2个单位、向下平移2个单位y=−2x+1+22+1−2，即y=−2x+32−1，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移的规则是解答的关键．
2．（2023·陕西渭南·统考二模）将抛物线y=ax2+bx−2（a、b是常数，a≠0）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好和抛物线y=12x2+x−4关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A．a=−1，b=−2B．a=−12，b=−1C．a=12，b=−1D．a=1，b=2
【答案】C
【分析】先求出抛物线y=12x2+x−4关于y轴对称的抛物线为y=12x−12−92，再根据抛物线平移的性质得出抛物线y=ax2+bx−2向下平移2个单位长度后为y=ax2+bx−4，即可得出a和b的值．
【详解】解：∵y=12x2+x−4=12x+12−92，
∴抛物线y=12x2+x−4关于y轴对称的抛物线为y=12x−12−92，
∵抛物线y=ax2+bx−2向下平移2个单位长度后为y=ax2+bx−4，
∵y=ax2+bx−4与y=12x2+x−4关于y轴对称，
∴y=ax2+bx−4=12x−12−92，
整理得：y=ax2+bx−4=12x2−x−4，
∴a=12，b=−1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．
3．（2021·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−2mx+m2+2m+1的顶点一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】把函数解析式整理成顶点式形式，再根据m的取值范围，分类讨论，即可判断顶点所在的象限．
【详解】解：（1）∵y=x2−2mx+m2+2m+1=(x−m)2+2m+1，
∴顶点坐标为m,2m+1，
∴当m<−12时，m<0，2m+1<0，顶点在第三象限；
当−120，顶点在第二象限；
当m>0时，m>0，2m+1>0，顶点在第一象限；
综上所述，抛物线y=x2−2mx+m2+2m+1的顶点一定不在第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的转化，坐标轴上点的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
题型08 利用五点法绘二次函数图象
1．（2022·安徽合肥·统考二模）在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图形研究函数性质及其应用的过程，以下是研究三次函数y=ax3+34x2(a≠0)的性质时，列表和描点的部分过程，请按要求完成下列各小题．
(1)表格中m=______，n=______，并在给出的坐标系中用平滑的曲线画出该函数的大致图象；
(2)结合图象，直接写出12x+3≤ax3+34x2的解集为：______．
【答案】(1)4，2
(2)−6≤x≤−2或x≥2.
【分析】（1）把把x=1，y=78代入y=ax3+34x2(a≠0)先求解a, 再把x=−4，x=−2代入解析式即可得到答案；再画函数图象即可；
（2）先判断y=12x+3过(−6,0),(−2,2),(2,4), 再结合函数图象可得答案．
【详解】（1）解：把x=1，y=78代入y=ax3+34x2(a≠0)可得：
∴a+34=78,
∴a=18,
∴ 函数解析式为：y=18x3+34x2，
当x=−4时，m=18×(−4)3+34×(−4)2=4，
当x=−2时，n=18×(−2)3+34×(−2)2=2.
当x=2时，y=18×23+34×22=1+3=4.
画图如下：
（2）解：对于y=12x+3,
当x=0时，y=3, 当y=0时，x=−6,
当x=2时，y=4, 当x=−2时，y=2,
所以y=12x+3过(0,3)与(−6,0), 还过(2,4), (−2,2),
结合函数图象可得：12x+3≤ax3+34x2的解集为：−6≤x≤−2或x≥2.
【点睛】本题考查的是画函数图象，利用函数图象解不等式，探究函数的性质，掌握“数形结合的方法”是解本题的关键．
2．（2022·广东深圳·统考二模）小明为了探究函数M：y=−x2+4|x|−3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．

(1)完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如下表：
表格中，a=_______；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x>0时函数M的图象；
③观察图象，当x=______时，y有最大值为_______；
(2)求函数M：y=−x2+4|x|−3与直线l：y=2x−3的交点坐标；
(3)已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1【答案】(1)①-3；②见解析；③2或-2，1
(2)(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)
(3)m<−2.5或−0.5【分析】（1）①观察表格，根据对称性直接求得a的值；
②根据描点连线画出函数图象也可根据对称性画出函数图象；
③根据函数图像直接求解；
（2）分x≥0,x<0两种情况联立解方程求解即可；
（3）根据函数图象选取函数图象中y随x增大而增大的部分的自变量取值范围即可求解
【详解】（1）①根据表格数据可知y与x的几组对应值关于x=0对称，
当x=4与x=−4的函数值相等，则a=−3
故答案为：−3
②画图如下，

③观察图象，当x=2或-2时，y有最大值为1；
故答案为：2或-2，1
（2）由y=−x2+4|x|−3，
当x≥0时，y=−x2+4x−3
y=−x2+4x−3y=2x−3
解得x1=0y1=−3,x2=2y2=1
当x<0时，y=−x2−4x−3
x1=0y1=−3,x2=−6y2=−15
综上所述，交点坐标为(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)；
（3）观察函数图像可知，当x<−2以及0∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上， y1∴m<−2m+1<−2或0解得，m<-3或0由对称性可知：当m=-2.5，-0.5，1.5时，y1=y2，
当−3≤m<−2.5时，y1因此，当y1【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题，根据二次函数的增减性判断取值范围，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
题型09 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1．（2021·湖北武汉·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），a+b+c=0，下列四个结论：
①若抛物线经过点−3,0，则b=2a；
②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；
③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；
④点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线上，若0y2．
其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】①将−3,0代入解析式即可判定；②由b=c，可得a=-2c，cx2+bx+a=0可得cx2+cx-2c=0，则原方程可化为x2+x-2=0，则一定有根x=-2；③当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a，b，c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0≤0，故③错误；④若0|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴−b2a>1，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1y2，故④正确．
【详解】解：∵抛物线经过点−3,0
∴0=−32a−3b+c，即9a-3b+c=0
∵a+b+c=0
∴b=2a
故①正确；
∵b=c，a+b+c=0
∴a=-2c，
∵cx2+bx+a=0
∴cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0
∴一定有根x=-2
故②正确；
当b2-4ac≤0时，图像与x轴少于两个公共点，只有一个关于a、b、c的方程，故存在a、b、c使b2-4ac≤0，故③错误；
若0|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴−b2a>1，因为a>0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x1y2，故④正确．
故填：①②④．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．
2．（2021·湖北武汉·统考二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤−35；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤−23．
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①③④
【分析】将A、B两点坐标代入解析式可判断结论①；抛物线开口向下，由抛物线的对称性，绝对值的意义，可判断结论②；C，D为抛物线与x轴的交点，利用一元二次方程根与系数的关系，计算CD≤6，可以判断结论③；抛物线开口向下，3≤x≤4时函数值递减，由点B（4，3），得到x=3时，y的取值范围便可判断结论④；
【详解】解：将A、B两点坐标代入抛物线得：3=c3=16a+4b+c，
解得c=34a+b=0，故结论①正确；
抛物线对称轴为x=−b2a=2，函数开口向下，
∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即P1（x1，y1）离对称轴更远，
∴y1＜y2，故结论②错误；
设C（x3，0），C（x4，0），
由根与系数的关系得：x3＋x4=4，x3·x4=3a，
∴| x3－x4|=x3+x42−4x3⋅x4=42−4×3a=16−12a≤6，
解得：a≤−35，故结论③正确；
由题意知：x=4时，y=3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，函数开口向下，
∴y对应的整数值为：5，4，3，
∴x=3时，对应的y值：5≤y＜6，
∴5≤9a+3b+c＜6，5≤9a－12a+3＜6，
解得﹣1＜a≤−23，故结论④正确；
故答案为：①③④；
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，绝对值的意义，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
3．（2022·广东珠海·统考二模）已知抛物线的解析式为y=x2−(m+2)x+m+1（m为常数），则下列说法正确的是 ．
①当m=2时，点(2,1)在抛物线上；
②对于任意的实数m，x=1都是方程x2−(m+2)x+m+1=0的一个根；
③若m>0，当x>1时，y随x的增大而增大；
④已知点A(−3,0),B(1,0)，则当−4≤m<0时，抛物线与线段AB有两个交点．
【答案】②
【分析】①将点代入解析式中即可判断；
②解方程x2−(m+2)x+m+1=0即可判断；
③根据函数解析判断开口方向，根据对称轴及开口方向即可判断；
④解方程x2−(m+2)x+m+1=0，根据题意，利用m的取值范围及AB即可判断．
【详解】解：抛物线y=x2−(m+2)x+m+1=(x−1)(x−m−1)（m为常数）中，
当m=2时，抛物线y=x2−4x+3，若x=2，则y=22−4×2+3=−1，
∴点(2,1)不在抛物线上，
即①说法错误，不符合题意，
方程x2−(m+2)x+m+1=0即(x−1)(x−m−1)=0，
∴x−1=0或x−m−1=0，
解得x1=1，x2=m+1，
∴对于任意实数m，x=1都是方程x2−(m+2)x+m+1=0的一个根，
即②说法正确，符合题意，
抛物线y=x2−(m+2)x+m+1（m为常熟）中，1>0，开口向上，
对称轴是直线x=m+22，当x>m+22时，y随x的增大而增大，
即若m>0，x=m+22>1，当x>1时，y随x的增大而增大，不一定正确，
即③说法错误，不符合题意，
抛物线y=x2−(m+2)x+m+1=(x−1)(x−m−1)（m为常数）中，
当y=0时，x2−(m+2)x+m+1=0，
解得x1=1，x2=m+1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)、(m+1,0)，
当−4≤m≤0时，-3≤m+1≤1，
∴“④已知点A(−3,0),B(1,0)，则当−4≤m<0时，抛物线与线段AB有两个交点”的说法错误，（因为当m=1时只有一个交点），不符合题意，
综上所述，说法正确的是②，
故答案为：②．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的图象及性质，对称的性质，灵活运用二次函数的图象及性质是解题的关键．
4．（2020·山东泰安·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
下列结论：
①a>0；
②当x=−2时，函数最小值为−6；
③若点−8,y1，点8,y2在二次函数图象上，则y1④方程ax2+bx+c=−5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【分析】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点−8,y1和点8,y2代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
25a−5b+c=64a+2b+c=6c=−4，解得：a=1b=3c=−4，
∴二次函数的解析式是y=x2+3x−4，
∴a=1＞0，故①正确；
当x=−32时，y有最小值−254，故②错误；
若点−8,y1，点8,y2在二次函数图象上，则y1=36，y2=84，∴y1当y=﹣5时，方程x2+3x−4=−5即x2+3x+1=0，∵Δ=32−4=5>0，∴方程ax2+bx+c=−5有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解题的关键．
题型10 二次函数平移变换问题
1．（2021·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A．−5或2B．−5C．2D．−2
【答案】B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：函数y=x2+kx−k2向右平移3个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2；
再向上平移1个单位，得：y=(x−3)2+k(x−3)−k2+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴0=(0−3)2+k(0−3)−k2+1即k2+3k−10=0
解得：k=−5或k=2
∵抛物线y=x2+kx−k2的对称轴在y轴右侧
∴x=−k2＞0
∴k＜0
∴k=−5
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
2．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，抛物线L1:y=ax2+bx+ca≠0与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】连接AB，OM，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM面积求解即可．
【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM．
由题意可知，AM=OB，
∵A1,0,B0,2
∴OA=1，OB=AM=2，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，
∵AM//OB，AM=OB，
∴四边形ABOM为平行四边形，
∴S四边形ABOM=OB•OA=2×1=2．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．
3．（2021·山西·统考中考真题）抛物线的函数表达式为y=3x−22+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．y=3x+12+3B．y=3x−52+3
C．y=3x−52−1D．y=3x+12−1
【答案】C
【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可．
【详解】解：若将x轴向上平移2个单位长度，
相当于将函数图像向下平移2个单位长度，
将y轴向左平移3个单位长度，
相当于将函数图像向右平移3个单位长度，
则平移以后的函数解析式为：y=3(x−2−3)2+1−2
化简得：y=3(x−5)2−1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键．
4．（2022·山东聊城·统考二模）平面直角坐标系中，将抛物线y=−x2平移得到抛物线C，如图所示，且抛物线C经过点A−1,0和B0,3，点P是抛物线C上第一象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，则OQ+PQ的最大值为 ．
【答案】214
【分析】求得抛物线C的解析式，设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根据二次函数的性质即可求得．
【详解】解：设平移后的解析式为y=-x2+bx+c，
∵抛物线C经过点A（-1，0）和B（0，3），
∴−1−b+c=0c=3，解得b=2c=3，
∴抛物线C的解析式为y=-x2+2x+3，
设Q（x，0），则P（x，-x2+2x+3），
∵点P是抛物线C上第一象限内一动点，
∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）
=-x2+3x+3
=−(x−32)2+214
∴OQ+PQ的最大值为214
故答案为：214
【点睛】本题考查了二次函数的性质，平移，二次函数图象与几何变换，根据题意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解题的关键．
5．（2022·安徽宣城·统考二模）将二次函数y=−x2−4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点1,−1，则a＝ ．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为 ．
【答案】 3或1/1或3 2
【分析】（1）先求出平移后的解析式y=−(x+2−a)2+5−2a，然后把点（1，-1）代入解析式求解即可；
（2）根据平移后的解析式，令x=0，求出与y轴交点的函数，配方即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y=−x2−4x+1=−(x+2)2+5的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位，
∴y=−(x+2−a)2+5−2a，
∵平移后的二次函数图象经过点1,−1，
∴−1=−(1+2−a)2+5−2a，
解得a1=3，a2=1，
故答案为3或1；
（2）∵平移后的二次函数图象与y轴交点，
∴y=−(0+2−a)2+5−2a=-a−12+2，
∴与y轴交点的纵坐标最大值为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质，掌握二次函数的平移，待定系数法求参数，二次函数的性质是解题关键．
题型11 已知抛物线对称的两点求对称轴
1．（2022·广东中山·校联考三模）已知抛物线y1=ax2+bx+ca≠0与x轴的两个交点的横坐标分别是－3和1，若抛物线y2=ax2+bx+c+mm>0与x轴有两个交点A，B，点A的坐标是4,0，则点B的坐标是 ．
【答案】( -6，0)
【分析】由抛物线与x轴两交点横坐标求出抛物线对称轴，进而求解．
【详解】解：∵抛物线y1=ax2+bx+ca≠0与x轴的两个交点的横坐标分别是1和-3，
∴抛物线对称轴为直线x=- 1，
∴抛物线y2=ax2+bx+c+mm>0是由抛物线y1=ax2+bx+ca≠0向上移动m个单位，抛物线对称轴为直线x=-l，
∵A， B关于对称轴对称， A坐标为( 4， 0)，
∴点B坐标为( -6，0)，
故答案为( -6，0)．
【点睛】本题考查二次函数图象与x轴的交点问题，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2022·江苏无锡·校考一模）若函数图像y=x2+bx+c与x轴的两个交点坐标为−1,0和3,0，则b= ．
【答案】-2
【分析】根据二次函数图象对称轴所在的直线与x轴的交点的坐标，即为它的图象与x轴两交点之间线段中点的横坐标，即可求得．
【详解】解：∵函数图像y=x2+bx+c与x轴的两个交点坐标为−1,0和3,0
∴由对称轴所在的直线为：−b2=−1+32
解得b=−2
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及中点坐标的求法，熟练掌握和运用二次函数的性质及中点坐标的求法是解决本题的关键．
3．（2022·浙江温州·校联考模拟预测）若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点Am,n，Bm−4,n，则n的值为 ．
【答案】4
【分析】根据A、B的坐标易得抛物线的对称轴，再通过设顶点式，代入坐标，可得n的值．
【详解】∵ y＝x2+bx+c过点Am,n，Bm−4,n
∴x=m+m−42=m−2是抛物线的对称轴．
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点．
∴顶点坐标为：m−2,0
∴设抛物线的解析式为：y=x−m+22
把Am,n代入，得：
n=m−m+22
解得：n=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的解析式，解决问题的关键在于找到顶点坐标，根据顶点坐标设解析式．
4．（2022·广东揭阳·揭阳市实验中学校考模拟预测）在二次函数y=x2+4x+k的图像上有点−5,y1,−3,y2,2,y3．则y1,y2,y3的大小关系是（ ）
A．y1【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，再根据三点到对称轴的距离大小求解，即可．
【详解】解：∵y=x2+4x+k，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线x=−42=−2，
∵−2−−3<−2−−5<2−(−2)，
∴y2故选：D
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的图象和性质．
5．（2021·湖南益阳·统考中考真题）已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
由此判断，表中a= ．
【答案】6
【分析】根据表格得出二次函数的对称轴为直线x=1，由此即可得．
【详解】解：由表格可知，x=0和x=2时的函数值相等，
则二次函数的对称轴为直线x=0+22=1，
因此，x=−1和x=3的函数值相等，即a=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
6．（2023·上海·一模）二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的坐标满足如表：
那么m的值为 ．
【答案】−6
【分析】根据二次函数的对称性解答即可．
【详解】解：∵x=−3、x=−1时的函数值相等都是−3，
∴函数图像的对称轴为直线x=−3+−12=−2
∵x=−4和x=0也关于直线x=−2对称，
∴当x=−4和x=0时的函数值也相等，
∴m=−6，
故答案为：−6．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．
题型12 根据二次函数的对称性求字母的取值范围
1．（2023·浙江杭州·一模）点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线y=ax2−2ax−3a≠0上，存在正数m，使得−2A．1C．0【答案】C
【分析】根据函数解析式求出对称轴，根据关于抛物线的轴对称性质求出y1=y2，取值范围，再根据不等关系列不等式求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
抛物线对称轴为直线x=−−2a2a=1，
根据二次函数对称性可得，当−2当1×2−0即2∵存在正数m，使得−2∴m≥4或0解得：0故选C．
【点睛】本题考查抛物线的轴对称性及对称轴公式，解题的关键是根据抛物线的对称性，利用数形结合思想解题．
2．（2023·浙江·统考一模）已知二次函数y=x2−4x+2，关于该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值−1，a可能为（ ）
A．−2B．−1C．0.5D．1.5
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质可得二次函数图象的对称轴为直线x=2，最小值为−2，从而得到点3,−1关于对称轴的对称点为1,−1，即可求解．
【详解】解：∵1>0，
∴二次函数的图象开口向上，
y=x2−4x+2=x−22−2，
∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，最小值为−2，
当x=3时，y=32−4×3+2=−1，
∴点3,−1在二次函数图象上，且点3,−1关于对称轴的对称点为1,−1，
∵该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值−1，
∴1≤a≤3，
∴a可能为1.5．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
题型13 根据二次函数的性质求最值
1．（2022·安徽滁州·统考二模）已知实数x，y满足x+y=12，则xy−2的最大值为（ ）
A．10B．22C．34D．142
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵x+y=12，
∴y=12-x，
∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，
∵-1＜0，
∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．
2．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）关于二次函数y=14x2−6x+a+27，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点4,5，则a=−5
B．当x=12时，y有最小值a−9
C．x=2对应的函数值比最小值大7
D．当a<0时，图象与x轴有两个不同的交点
【答案】C
【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
【详解】解：A、将二次函数y=14x2−6x+a+27=14x−122+a−9向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：y=14x+2−122+a−9+10=14x−102+a+1，
若过点（4，5），
则5=144−102+a+1，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵y=14x2−6x+a+27=14x−122+a−9，开口向上，
∴当x=12时，y有最小值a−9，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即x=2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△=−62−4×14×a+27=9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程14x2−6x+a+27=0有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.
3．（2020·浙江舟山·统考中考真题）已知二次函数y=x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是( )
A．当n−m=1时，b−a有最小值
B．当n−m=1时，b−a有最大值
C．当b−a=1时，n−m无最小值
D．当b−a=1时，n−m有最大值
【答案】B
【分析】①当b﹣a＝1时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围；
②当n﹣m＝1时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝1b−a，再判断出45°≤∠MNH＜90°，即可得出结论．
【详解】解：①当b﹣a＝1时，如图1，过点B作BC⊥AD于C，
∴∠BCD＝90°，
∵∠ADE＝∠BED＝90°，
∴∠ADO＝∠BCD＝∠BED＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，
∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝ACBC＝n﹣m，
∵点A，B在抛物线y＝x2上，
∴0°≤∠ABC＜90°，
∴tan∠ABC≥0，
∴n﹣m≥0，
即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；
②当n﹣m＝1时，如图2，过点N作NH⊥MQ于H，
同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，
∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，
在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝MHNH=1b−a，
∵点M，N在抛物线y＝x2上，
∴m≥0，
当m＝0时，n＝1，
∴点N（0，0），M（1，1），
∴NH＝1，
此时，∠MNH＝45°，
∴45°≤∠MNH＜90°，
∴tan∠MNH≥1，
∴1b−a≥1，
当a,b异号时，且m=0,n=1时，a,b的差距是最大的情况，
此时b-a=2,
∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，确定出∠MNH的范围是解本题的关键．
4．（2020·江苏镇江·统考中考真题）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．154B．4C．﹣154D．﹣174
【答案】C
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．
【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣12）2﹣154，
∴当m＝12时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣154，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型14 根据二次函数的最值求字母的取值范围
1．（2021·山东济南·统考一模）函数y=−x2+4x−3，当0≤x≤m时，此函数的最小值为−3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m<2B．0≤m≤4C．2≤m≤4D．m>4
【答案】C
【分析】化函数为顶点式，可知x=2时取得最大值，所以取值范围必须包含x=2，又可知它的最小值-3是在x=0或x=4时取得的，结合0≤x≤m即可得m取值范围．
【详解】解：y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，
当x=2时，函数取得最大值1，
当函数值取最小值-3时，−3=−x2+4x−3得x1=0，x2=4，
∵0≤x≤m，
∴2≤m≤4．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，根据对称轴求出顶点坐标是解题的关键．
2．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）已知二次函数y=−x2+2mx−m2+3，当2m−1【答案】0≤m<1/1>m≥0
【分析】计算当x=m时，y=3，根据当2m−1【详解】解：∵y=−x2+2mx−m2+3=−x−m2+3，
∴图象开口向下，顶点坐标为m,3，
∵当2m−1∴2m−1∴0≤m<1，
故答案为：0≤m<1．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．
3．（2021·内蒙古呼和浩特·统考二模）对于二次函数y=x2−4x+3，图象的对称轴为 ，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为−1≤y≤0，则a的取值范围为 ．
【答案】 直线x=2 1≤a≤2
【分析】根据二次函数对称轴公式代入，可得到对称轴；利用配方法求出顶点坐标，令y=0，可得到点A，B的坐标分别为(1,0),(3,0)，画出图形，观察图形，即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=x2−4x+3，
∴对称轴为直线x=−−42×1=2；
∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴当x=2 时，函数有最小值，最小值为y=−1 ，
当y=0 时，有x2−4x+3=0，
解得：x1=1,x2=3 ，
∴如图所示，点A，B的坐标分别为(1,0),(3,0)，
∴当1≤x≤3时， −1≤y≤0 ，
∵a≤x≤3时，函数值y的取值范围为−1≤y≤0，
从图象中可得到−1≤y≤0时，1≤a≤2．
故答案为：直线x=2；1≤a≤2．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征是解题的关键．
题型15 根据规定范围二次函数自变量的情况求函数值的取值范围
1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）已知实数m，n满足等式m2−2m+4n−27=0．若0A．n≤7B．6【答案】C
【分析】先把m2−2m+4n−27=0变形为n=−14m−12+7，再根据二次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵m2−2m+4n−27=0，
∴n=−14m2+12m+274=−14m−12+7，
∴当m=1时，n=7，
当m=3时，n=−143−12+7=6，
∴若0故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，变形得到n=−14m−12+7是解题的关键．
2．（2022·河南南阳·统考一模）已知二次函数y=−2x2+4x+3，当−1≤x≤2时，y的取值范围是（ ）
A．y≤5B．y≤3C．−3≤y≤3D．−3≤y≤5
【答案】D
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据x的取值范围求出y的最大值和最小值，即可得出y的取值范围．
【详解】解：∵y=−2x2+4x+3=−2x−12+5，
∴二次函数的对称轴为直线x=1，
∵a=−2＜0，
∴当x=1时，函数取最大值，且最大值为y=5，
∵在−1≤x≤2的范围内，x=−1时，距离对称轴最远，
∴x=−1时，函数取最小值，且最小值为：
y=−2×−1−12+5=−3，
∴y的取值范围是：−3≤y≤5，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的性质求出函数的最大值5，最小值-3，是解题的关键．
3．（2022上·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x2−2x+1，当−5≤x≤3时，y的取值范围是 ．
【答案】0≤y≤36
【分析】先把函数化成顶点式y=x−12，求出二次函数的最小值，再求出当x=−5和x=3对应的y值，最后求出最大值和最小值即可．
【详解】解：二次函数化为顶点式为y=x2−2x+1=x−12，
∵a=1>0，
∴二次函数有最小值为0，此时x=1，
当x=−5时，y=−5−12=36，
当x=3时，y=3−12=4，
∴该函数在−5≤x≤3的取值范围内，y的取值范围内是0≤y≤36，
故答案为：0≤y≤36．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当x=−5和x=3对应的y值是解此题的关键．
题型16 根据二次函数的增减性求字母的取值范围
1．（2023·江苏泰州·统考二模）已知抛物线y=−x2−4mx+m2−1，A−2m−4,y1，Bm+3,y2为该抛物线上的两点，若y1A．m<−73B．m>13C．m<−73或m>13D．−73【答案】D
【分析】先把y=−x2−4mx+m2−1化成y=−x+2m2+5m2−1，把A，B两点的坐标代入y=−x2−4mx+m2−1，根据y1【详解】∵y=−x2−4mx+m2−1=−x+2m2+5m2−1，
当点A−2m−4,y1，Bm+3,y2在抛物线y=−x2−4mx+m2−1上，
∴y1=−2m−4+2m2+5m2−1=−17+5m2，y2=−3m+32+5m2−1，
∵y1∴−17+5m2<−3+3m2+5m2−1，
解得：−73故答案为：D．
【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握函数的图象和性质．
2．（2022·湖南株洲·统考二模）当函数y=(x−1)2−2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是 ．
【答案】x≤1
【分析】根据二次函数的性质，进行求解即可．
【详解】解：∵y=(x−1)2−2，a=1>0，对称轴为直线：x=1，
∴在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
∴当函数y=(x−1)2−2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是：x≤1；
故答案为：x≤1．
【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．
3．（2023·上海崇明·统考一模）如果抛物线y=m−2x2有最高点，那么m的取值范围是 ．
【答案】m<2
【分析】根据二次函数y=m−2x2有最高点，得出抛物线开口向下，即m−2<0，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线y=m−2x2有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴m−2<0，
∴m<2，
故答案为：m<2．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．
题型17 根据二次函数图象判断式子符号
1．（2020·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1．下列结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0，正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的性质和对称轴是x=1，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由x=−b2a=1，得b=−2a，令x=−2，求函数值，即可判断③；令x=2时，则y=4a+2b+c>0，令x=−1时，y=a−b+c>0，即可判断④；然后得到答案．
【详解】解：根据题意，则a<0，c>0，
∵x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∴abc<0，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，故②正确；
∵b=−2a，
令x=−2时，y=4a−2b+c<0，
∴8a+c<0，故③正确；
在y=ax2+bx+c中，
令x=2时，则y=4a+2b+c>0，
令x=−1时，y=a−b+c>0，
由两式相加，得5a+b+2c>0，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
2．（2022·贵州毕节·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②2a−b=0；③9a+3b+c>0；④b2>4ac；⑤a+cA．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x＝−b2a＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵对称轴为x＝−b2a＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故④正确；
⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：④⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．
3．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＞0B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数）D．﹣1＜a＜﹣23
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=-b2a=1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴am2+bm+c≤a+b+c（m为任意实数），
∴am2+bm≤a+b，
∵a＜0，
∴a2m2+abm≥a2+ab（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵-b2a=1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣23，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
题型18 二次函数图象与各项系数符号
1．（2022·湖南株洲·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx−ca≠0，其中b>0、c>0，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用排除法，由−c<0得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴x=−b2a>0，得出a<0，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．
【详解】解：对于二次函数y=ax2+bx−ca≠0，
令x=0，则y=−c，
∴抛物线与y轴的交点坐标为0,−c
∵c>0，
∴−c<0，
∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，
∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴x=−b2a>0，
∵ b>0，
∴a<0，
∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
2．（2021·湖北襄阳·统考中考真题）一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：a<0，b＞0，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．
【详解】解：观察一次函数图像可知a<0，b＞0，
∴二次函数y=ax2+bx开口向下，
对称轴x=−b2a＞0，
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．
3．（2022下·全国·九年级专题练习）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
【答案】D
【分析】根据抛物线开口向下可知a＜0，再根据其对称轴为直线x=−b2a=2>0，即可求出b＞0，可判断A；根据二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断B；根据二次函数的对称性和其对称轴为x=2，可得出抛物线与x轴的另一个交点，再结合二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断C；根据抛物线与x轴的两个交点，即可利用图象法解不等式，由此可判断D．
【详解】由图象可知，抛物线开口向下，所以a＜0．对称轴为直线x=−b2a=2>0，所以b＞0，故A正确；
因为抛物线与x轴有两个交点，所以Δ=b2−4ac>0，故B正确；
由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点(5，0)和(-1，0)，所以方程ax2+bx+c=0的解是x1=5，x2=−1 ，故C正确；
由C选项结合图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是−1故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图象法确定不等式的解集．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
题型19 二次函数、一次函数综合
1．（2022·安徽·校联考三模）已知函数y=(x−m)(x−n)（其中mA．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），从而得到m<−1,0【详解】解：令y=0，则(x−m)(x−n)=0，
解得：x1=m,x2=n，
∴二次函数与x轴的交点为（m，0），（n，0），
∵m∴m<−1,0∴函数y=nx+m经过第一、三、四象限，且与y轴的交点位于点（0，-1）的下方．
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键．
2．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，函数y=ax2+bx+c与y=x−1的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）
A．bc<0B．a+b+c>0
C．2a+b=1D．当00
【答案】C
【分析】由图象可得，a>0，c=−1，0<−b2a<1，抛物线与直线的交点坐标为0，−1，2，1，则b<0，进而可判断A的正误；根据二次函数当x=1时，y<0，可判断B的正误；将2，1代入y=ax2+bx+c，可判断C的正误；根据当0ax2+bx+c，判断D的正误即可．
【详解】解：由图象可得，a>0，c=−1，0<−b2a<1，抛物线与直线的交点坐标为0，−1，2，1，
∴b<0，
∴bc>0，A错误，故不符合要求；
当x=1时，y<0，即a+b+c<0，B错误，故不符合要求；
将2，1代入y=ax2+bx+c得，4a+2b−1=1，即2a+b=1，C正确，故符合要求；
当0ax2+bx+c，即ax2+b−1x+c+1<0，D错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与不等式，二次函数与一次函数综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
3．（2019·四川·统考中考真题）在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx−a的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【详解】解：由方程组y=ax2+bxy=bx−a得ax2＝−a，
∵a≠0
∴x2＝−1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
题型20 二次函数、一次函数、反比例函数图象综合
1．（2021·贵州黔东南·统考一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+c与反比例函数y=bx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象确定系数a,b,c的符号，再根据一次函数、反比例函数的图象与性质解题．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，
∴a<0
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点在x轴上方，
∴c>0
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴在y轴的左侧，
∴a,b同号，
∴b<0
∴一次函数y=ax+c图象经过第二、一、四象限，
反比例函数y=bx图象分布在第二、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与性质、一次函数图象与性质、反比例函数的图象与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．（2022·山东菏泽·统考中考真题）根据如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象，判断反比例函数y=ax与一次函数y=bx+c的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y=ax与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可．
【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，
由对称轴x=−b2a＞0，可知b＜0，
所以反比例函数y=ax的图象在一、三象限，
一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
3．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=cx的图象如图所示，则一次函数y=cax−b的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出ca﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴x=−b2a﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴ca﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数y=cax−b的图象特征．
故选：B·
【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键·
题型21 抛物线与x轴交点问题
1．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知二次函数y=x2+bx+c+1的图象过点P2，−1
(1)求证：c=−2b−6；
(2)求证：此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
(3)若二次函数的图象与x轴交于点Ax1，0、Bx2，0，AB=4，求b的值．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)b1=23−4，b2=−23−4；
【分析】（1）将点P代入二次函数化简即可证明；
（2）令y=0得到一元二次方程：x2+bx+c+1=0，再利用（1）题结论求得方程的Δ即可确定二次函数与x轴的交点个数；
（3）由AB=4可得x2−x1=4，两边平方可得x2−x12=16，再化为x2+x12−4x1x2=16，在一元二次方程x2+bx+c+1=0中利用根与系数关系可得x1+x2和x1x2的表达式，然后再代入x2+x12−4x1x2=16解方程便可求得b值；
【详解】（1）证明：将点P2，−1代入y=x2+bx+c+1可得：−1=4+2b+c+1，
整理得：c=−2b−6；
（2）证明：令y=0可得一元二次方程：x2+bx+c+1=0，
此方程Δ=b2−4c+1，
由c=−2b−6可得c+1=−2b−5，
∴Δ=b2−4−2b−5=b2+8b+20=b+42+4>0，
∴方程有两个不等的实数根，
∴此二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（3）解：∵AB=4，
∴x2−x1=4，
∴x2−x12=16，
∴x2+x12−4x1x2=16，
在一元二次方程x2+bx+c+1=0中，由根与系数关系可得：
x1+x2=−b，x1x2=c+1，
∵c+1=−2b−5，
∴x1x2=c+1=−2b−5，
代入x2+x12−4x1x2=16可得：−b2−4−2b−5=16，
整理得：b+42=12，
解得：b1=23−4，b2=−23−4；
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标意义，二次函数的图象与x轴的交点，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键．
2．（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）已知二次函数y=m−1x2−2mx+m+1．
(1)求证：该二次函数图象与x轴有两个交点；
(2)当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数m的值．
【答案】(1)见解析
(2)m=2或3
【分析】
（1）根据函数表达式，求出Δ，再对Δ的值进行判断即可．
（2）把二次函数问题转化为二次方程的问题即可解答．
【详解】（1）
解：证明：令y=0，
则Δ=−2m2−4m−1m+1=4>0，
∴该二次函数图象与x轴有两个交点．
（2）
函数与x轴相交，交点的纵坐标为0，
当y=0时，根据求根公式可得方程的解为：x1=m+1m−1=1+2m−1，x2=1，
若该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数，
则方程函数m−1x2−2mx+m+1=0的解都是正整数．
∴1+2m−1为正整数，即2m−1是正整数，
∴m−1=1或2，
解得m=2或3，
∴当该二次函数图象与x轴两交点的横坐标都为正整数时，m的值为2或3．
【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点坐标及二次函数与一元二次方程的关系，学会用方程解决函数问题是关键．
3．（2023·山东青岛·校考一模）已知D(s,t)是二次函数y=2x2+bx−1（b为常数）的顶点．
(1)若二次函数经过点(1,12b)，求b的值．
(2)求证：无论b取何值，二次函数y=2x2+bx−1的图象与x轴必有两个交点．
(3)有同学认为：t是s的二次函数，你认为正确吗？为什么？
【答案】(1)b的值是−2
(2)见解析
(3)t是s的二次函数，正确，理由见详解
【分析】（1）将点(1,12b)代入二次函数解析式，即可得到b的值；
（2）要证明结论成立，只要计算出b2−4ac>0即可，然后计算即可；
（3）先将二次函数解析式化为顶点式，表示出s、t，然后用s表示t即可．
【详解】（1）解：∵二次函数y=2x2+bx−1经过点(1,12b)，
∴ 12b=2+b−1，
解得b=−2，
即b的值是−2；
（2）证明：∵二次函数y=2x2+bx−1，
∴b2−4×2×(−1)=b2+8>0，
∴无论b取何值，二次函数y=2x2+bx−1的图象与x轴必有两个交点；
（3）解：t是s的二次函数，正确，
理由：∵二次函数y=2x2+bx−1=2(x+b4)2−b28−1，D(s,t)是二次函数y=2x2+bx−1(b为常数）的顶点，
∴s=−b4，t=−b28−1，
∴t=−2×(−b4)2−1=−2s2−1，
即t是s的二次函数．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
67．（2022上·吉林长春·九年级校考期中）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x+1x−3+3的图象沿y轴向下平移3个单位后，所得函数图象与x轴的两个交点之间的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与x轴的交点坐标，进而求解．
【详解】解：将二次函数y=x+1x−3+3的图象沿y轴向下平移3个单位后所得的函数解析式为y=x+1x−3+3−3，即为y=x+1x−3，
此抛物线与x轴的两个交点坐标为−1,0，3,0，
则此抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3−−1=4，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键．
题型22 求x轴与抛物线的截线长
1．（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知关于x的方程x2+2bx+3c=0的两个根分别是x1=m2,x2=6−m2，若点A是二次函数y=x2+2bx−3c的图象与y轴的交点，过A作AB⊥y轴交抛物线于另一交点B，则AB的长为 ．
【答案】3
【分析】先利用一元二次方程根与系数的的关系得出x1+x2=−2b=3，x1•x2=3c= −m2+6m4，进而得出A0，14(m2−6m)，B点的纵坐标为14(m2−6m)，将点B的坐标代入二次函数解析式，解方程求得x1=0，x2=3，进而即可求解．
【详解】解：∵x1=m2,x2=6−m2，
∴x1+x2=−2b=3，x1•x2=3c= −m2+6m4，
∴2b=−3，3c= −m2+6m4，
∴y=x2−3x+14(m2−6m)，
令x=0,y=14(m2−6m)，
∴A0，14(m2−6m)，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为14(m2−6m)，
把y=14(m2−6m)代入y=x2−3x+14(m2−6m)，
得14(m2−6m) =x2−3x+14(m2−6m)，
解得x1=0，x2=3，
∴AB=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了抛物线的性质、抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系，把求二次函数y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0) 与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．
2．（2022·福建福州·校考模拟预测）如图，开口向下的抛物线y=ax2−4ax−5a交x轴于A、B(A左B右)两点，交y轴于点C．

(1)求线段AB的长；
(2)设抛物线的顶点为D，若S△BCD=15，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，P、Q为线段BC上两点(P左Q右，P、Q不与B、C重合)，PQ=22，在第一象限的抛物线上是否存在这的这样的点R，使△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)y=−x2+4x+5
(3)存在， R4,5或5+172,9−172
【分析】（1）把y=0代入抛物线y=ax2−4ax−5a得x2−4x−5=0，解方程可以得到A−1,0，B5,0，再根据两点间的距离公式即可得到AB=6；
（2）根据对称轴得到顶点D2,−9a，再求出点C的坐标，过点D作DE⊥y轴于点E，根据S△BCD=S梯形EOBD−S△CDE−S△COB得到关于a的方程，求得a的值，即可得到抛物线的解析式；
（3）分三种情况：①以点P为直角顶点；②以点R为直角顶点；③以点Q为直角顶点；进行讨论可得使△PQR为等腰直角三角形时点R的坐标．
【详解】（1）解：把y=0代入抛物线y=ax2−4ax−5a得ax2−4ax−5a=0，
∵a≠0，
∴两边同时除以a，得x2−4x−5=0，
解得x1=5，x2=−1，
∴A−1,0，B5,0，
∴AB=6；
（2）解：抛物线的对称轴为直线x=−−4a2a=2，
把x=2代入y=ax2−4ax−5a，
得：y=−9a，
∴D2,−9a，
当x=0时，y=−5a，
∴C0,−5a，
过点D作DE⊥y轴于点E，

S△BCD=S梯形EOBD−S△CDE−S△COB，
=12DE+OB⋅OE−12DE⋅CE−12OB⋅OC，
=−15a，
∵−15a=15，
∴a=−1，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+4x+5；
（3）解：分三种情况：
①以点P为直角顶点

∵PQ=22，
∴RQ=2PQ=4，
∵C0,5，B5,0，
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RQP=45°，
∴RQ∥OC，
∵C0,5，B5,0，
∴直线BC的解析式为y=−x+5，
设Rm,−m2+4m+5，则Qm,−m+5，
则RQ=−m2+4m+5−−m+5=4，
解得m1=4，m2=1，
∵点Q在点P右侧，
∴m=4，
∴R4,5；
②以点R为直角顶点，

∵PQ=22，
∴RQ=22PQ=2，
设Rm,−m2+4m+5则Qm,−m+5，
则RQ=−m2+4m+5−−m+5=2，
解得 m1=5+172，m2=5−172，
∵点Q在点P右侧，
∴m=5+172，
∴R5+172,9−172；
③以点Q为直角顶点，

∵PQ=22，
∴PR=2PQ=4，
∵C0,5，B5,0，
∴OC=OB=5，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵∠RPQ=45°，
∴PR∥OB，
设Rm,−m2+4m+5，则Pm−4,−m2+4m+5，
把Pm−4,−m2+4m+5代入y=−x+5，
得−m−4+5=−m2+4m+5，
解得m1=4，m2=1，
此时点P0,5，
因为点P在线段BC上运动，且不与B、C重合，所以不存在以Q为直角顶点的情况．
综上所述：当 R(4,5)或5+172,9−172时，△PQR为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上的点的坐标特征，两点间的距离公式，抛物线的对称轴，面积计算，求抛物线的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，以及分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．
题型23 根据交点确定不等式的解集
1．（2019·山东济宁·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式ax2+mx+c>n的解集是 ．

【答案】x<−3或x>1．
【分析】由ax2+mx+c>n可变形为ax2+c>−mx+n，即比较抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n之间关系，而直线PQ：y=−mx+n与直线AB：y=mx+n关于与y轴对称，由此可知抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n交于P1,p，Q−3,q两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A−1,p，B3,q两点，
∴−m+n=p，3m+n=q，
∴抛物线y=ax2+c与直线y=−mx+n交于P1,p，Q−3,q两点，
观察函数图象可知：当x<−3或x>1时，直线y=−mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的下方，

∴不等式ax2+mx+c>n的解集为x<−3或x>1．
故答案为x<−3或x>1．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
2．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线y=ax2+bxa>0和直线y=kxk>0交于点O和点A，则不等式ax2+bx
【答案】0【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．
【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，
当0∴不等式ax2+bx故答案为：0【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考一模）函数y=-x3+x的部分图像如图所示，当y＞0时，x的取值范围是 ．
【答案】x＜-1或0＜x＜1
【分析】根据y=0时，对应x的值，再求函数值y＞0时，对应x的取值范围．
【详解】解：y=0时，即-x3+x=0，
∴-x(x2-1)=0，
∴-x(x+1) (x-1)=0，
解得x=0或x=-1或x=1，
∴函数y=-x3+x的部分图像与x轴的交点坐标为（-1，0），（0，0），（1，0），
故当函数值y＞0时，对应x的取值范围上是：x＜-1，0＜x＜1．
故答案为：x＜-1或0＜x＜1．
【点睛】本题考查了函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．
题型24 二次函数与斜三角形相结合的应用方法
1．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A−1,0，B5,0两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点，求△BPC面积的最大值；
(3)若点D是y轴上的一点，且以B、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；
(4)若点E为抛物线的顶点，点F3,a是该抛物线上的一点，点M在x轴、点N在y轴上，是否存在点M、N使四边形EFMN的周长最小，若存在，请直接写出点M、点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+4x+5
(2)1258
(3)D的坐标为0,−1或0,−103
(4)M1117,0，N0,115
【分析】（1）把A−1,0，B5,0分别代入y=ax2+bx+5，利用待定系数法求解；
（2）过点P作PH⊥OB交BC于点H，根据S△PBC=12OB⋅PH得到S△PBC关于点P的横坐标的二次函数关系式，进而求出二次函数的最值即可；
（3）由∠OBC=∠OCB=45°可知：要使△BCD与△ABC相似，则有ABBC=BCCD或ABBC=CDBC，分别求解即可；
（4）作点E关于y轴的对称点E'，作点F3,a关于x轴的对称点F'，由轴对称的性质可得四边形EFMN的周长=MN+NE+MF+EF=MN+NE'+MF'+EF，可知当E'，F'，M，N在一条直线上时，四边形EFMN的周长取最小值，直线E'F'与x轴、y轴的交点即为点M、N，由此可解．
【详解】（1）解：把A−1,0，B5,0分别代入y=ax2+bx+5得：
0=a−b+50=25a+5b+5 ，
解得a=−1b=4，
∴抛物线的表达式为y=−x2+4x+5．
（2）解：如图，过点P作PH⊥OB交BC于点H，

令x=0，得y=5，
∴C0,5，
∴设直线BC的表达式为：y=kx+b，
将C0,5，B5,0代入y=kx+b，
得5=b0=5k+b，
解得k=−1b=5，
∴直线BC的表达式为y=−x+5，
设Pm,−m2+4m+5，则Hm,−m+5，
∴PH=−m2+4m+5+m−5=−m2+5m，
∴S△PBC=12OB⋅PH=12×5×−m2+5m=−52m−522+1258，
∴当m=52时，S△PBC取最大值，最大值为1258，
即△BPC面积的最大值为1258；
（3）解：如图，

∵C0,5，B5,0，A−1,0，
∴OC=OB=5，AB=5−−1=6，
∴∠OBC=∠OCB=45°，BC=OC2+OB2=52，
要使△BCD与△ABC相似，
则有ABBC=BCCD或ABBC=CDBC，
①当ABBC=BCCD时，652=52CD，
解得CD=253，
则OD=CD−OC=103，
∴D0,−103；
② 当ABBC=CDBC时，CD=AB=6，
则OD=CD−OC=6−5=1，
∴D0,−1，
即D的坐标为0,−1或0,−103；
（4）解：y=−x2+4x+5=−x−22+9，
∵E为抛物线的顶点，
∴E2，9，
∵F3,a在抛物线上，
∴a=−32+4×3+5=8，
∴F3,8，
如图，作点E关于y轴的对称点E'−2，9，作点F关于x轴的对称点F'3,−8，

由轴对称的性质可知E'N=EN，F'M=FM，
∴四边形EFMN的周长=MN+NE+MF+EF=MN+NE'+MF'+EF，
∴当E'，F'，M，N在一条直线上时，四边形EFMN的周长取最小值，
因此，直线E'F'与x轴、y轴的交点即为点M、N，
设直线E'F'的解析式为：y=mx+n，将E'−2，9，F'3,−8代入，
得9=−2m+n−8=3m+n，
∴m=−175n=115，
∴直线E'F'的解析式为：y=−175x+115，
当x=0时，y=115；
当y=−175x+115=0时，x=1117，
∴M1117,0，N0,115．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查一次函数、二次函数、轴对称、相似三角形等知识点，综合性较强，难度较大，解题的关键是综合运用上述知识点，第四问的关键是利用轴对称的性质找出点M和点N的位置．
2．（2023·广东佛山·统考一模）如图，抛物线经过A−4,0，B−1,0，C0,2三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求点D的坐标以及△DCA的面积的最大值．
(3)点P是抛物线上一个动点，过P作PM⊥x轴于M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
【答案】(1)抛物线的解析式为y=12x2+52x+2
(2)点D−2,−1，此时△DCA的面积的最大值为4
(3)存在，当点A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似时，则点P3,14或−5,2或−2,−1或0,2
【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据铅垂法可得三角形的面积，然后根据二次函数的性质，可得答案；
（3）由题意易得OAOC=2，设点Pp,ℎ，AM=4+p，PM=ℎ，且ℎ=12p2+52p+2，然后根据题意可分当PMAM=OAOC=2时和当PMAM=OCOA=12时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：由题意可设抛物线解析式为y=ax+1x+4，则把点C0,2代入得：
4a=2，
解得：a=12，
∴抛物线解析式为y=12x+1x+4，即为y=12x2+52x+2；
（2）解：过点D作DE∥y轴，交AC于点E，如图所示：
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有：
−4k+b=0b=2，解得：k=12b=2，
∴直线AC的解析式为y=12x+2，
设点Dm,12m2+52m+2，则有Em,12m+2，
∴DE=12m+2−12m2+52m+2=−12m2−2m，
∴S△ACD=12DE⋅xA−xC=12−12m2−2m×4=−m2−4m，
∵−4∴当m=−−42×−1=−2时，△ACD的面积最大，最大值为S△ACD=−4+8=4，
此时点D−2,−1；
（3）解：如图所示：
由A−4,0，C0,2可知：OA=4,OC=2，
∴OAOC=2，
设点Pp,ℎ，
∴AM=4+p，PM=ℎ，且ℎ=12p2+52p+2③，
∵∠AMP=∠AOC=90°，
∴以点A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，则有：
①当PMAM=OAOC=2时，
∴ℎ4+p=2④，
联立③④解得：p=3ℎ=14或p=−4ℎ=0（舍去）或p=−5ℎ=2，
∴P3,14或−5,2；
②当PMAM=OCOA=12时，
∴ℎ4+p=12⑤，
联立③⑤解得：p=−4ℎ=0（舍去）或p=0ℎ=2或p=−2ℎ=−1，
∴P−2,−1或0,2；
综上所述：当点A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似时，则点P3,14或−5,2或−2,−1或0,2．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
3．（2022·黑龙江绥化·校考三模）如图，抛物线经过A4,0,B1,0,C0,−2三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标；
(3)P是直线x=1右侧的抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为y=−12x2+52x−2.
(2)D2,1.
(3)符合条件的点P为2,1或5,−2．
【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx−2，再根据过A,B两点，即可得出结果．
（2）先根据题意设出D点的横坐标和D点的纵坐标，再过D作y轴的平行线交AC于E，再由题意可求得直线AC的解析式为，即可求出E点的坐标，再利用面积公式列函数关系式，利用二次函数的性质得出结果即可．
（3）首先判断出存在，首先设出P的坐标，，再分两种情况进行讨论，当1＜m＜4时，当m＞4时 ，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵该抛物线过点C0,−2，
∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx−2． 将A4,0,B1,0代入，
得 16a+4b−2=0a+b−2=0,
解得a=−12b=52,
∴此抛物线的解析式为y=−12x2+52x−2.
（2）如图，设D点的横坐标为t0＜t＜4，则D点的纵坐标为−12t2+52t−2，
过D作y轴的平行线交AC于E，而C0,−2,
设直线AC为：y=mx−2,
∴4m−2=0, 解得：m=12,
∴直线AC的解析式为y=12x−2．
∴E点的坐标为t,12t−2,
∴DE=−12t2+52t−2−12t+2=−12t2+2t,
∴S△ADC=S△CDE+S△ADE=12×4×−12t2+2t
=−t2+4t=−t−22+4
∴当t=2时，△DAC面积最大，此时y=−12×22+52×2−2=1,
∴D2,1.
（3）存在．如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为−12m2+52m−2，
当1＜m＜4时，AM=4−m,PM=−12m2+52m−2，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当 AMPM=AOOC，
∵C在抛物线上，OC=2,OA=4,
∴AMPM=AOOC=2,
∴△APM∽△ACO，
即4−m=2−12m2+52m−2,
解得m1=2,m2=4（m2=4舍去），
∴P2,1.
②当 AMPM=OCOA=12 时，△APM∽△CAO，
即24−m=−12m2+52m−2．
解得m1=4,m2=5（均不合题意，舍去）
∴当1＜m＜4时，P2,1，
如图，当m＞4时，AM=m−4,PM=12m2−52m+2，
① PMAM=OCOA=12或② PMAM=OAOC=2，
当 PMAM=OCOA=12时，则212m2−52m+2=m−4，
解得：m1=2,m2=4, （都不符合题意，舍去）
当PMAM=OAOC=2时，则12m2−52m+2=2m−4，
解得：m1=5,m2=4（m=4不符合题意舍去）
此时−12m2+52m−2=−2 则P5,−2，
综上所述，符合条件的点P为2,1或5,−2．
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，函数图象交点的求法等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．
1．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（ ）

A．−1B．−2C．−3D．−4
【答案】B
【分析】连接AC，交y轴于点D，根据正方形的性质可知AC=OB=2AD=2OD，然后可得点Ac2,c2，进而代入求解即可．
【详解】解：连接AC，交y轴于点D，如图所示：

当x=0时，则y=c，即OB=c，
∵四边形OABC是正方形，
∴AC=OB=2AD=2OD=c，AC⊥OB，
∴点Ac2,c2，
∴c2=a×c24+c，
解得：ac=−2，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．
2．（2023·湖南·统考中考真题）已知P1x1,y1,P2x2,y2是抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②点0,3在抛物线上；③若x1>x2>−2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=−2其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据对称轴公式x=−b2a=−4a2a=−2可判断①；当x=0时，y=3，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到x1+x22=−2，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+4ax+3（a是常数，a≠0，
∴x=−b2a=−4a2a=−2，
故①正确；
当x=0时，y=3，
∴点0,3在抛物线上，
故②正确；
当a>0时，y1>y2，
当a<0时，y1故③错误；
根据对称点的坐标得到x1+x22=−2，
x1+x2=−4，
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
3．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+m2−m（m为常数）的图像经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值5B．最大值154C．最小值5D．最小值154
【答案】D
【分析】将(0，6)代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m=3，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将(0，6)代入二次函数解析式y=x2+mx+m2−m得：6=m2−m，解得：m1=3，m2=−2，
∵二次函数y=x2+mx+m2−m，对称轴在y轴左侧，即x=−b2a=−m2<0，
∴m>0，
∴m=3，
∴y=x2+3x+6=x+322+154，
∴当x=−23时，二次函数有最小值，最小值为154，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．
4．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数y=ax−mx−m−k(a>0,m,k是实数)，则（ ）
A．当k=2时，函数y的最小值为−aB．当k=2时，函数y的最小值为−2a
C．当k=4时，函数y的最小值为−aD．当k=4时，函数y的最小值为−2a
【答案】A
【分析】令y=0，则0=ax−mx−m−k，解得：x1=m，x2=m+k，从而求得抛物线对称轴为直线x=m+m+k2=2m+k2，再分别求出当k=2或k=4时函数y的最小值即可求解．
【详解】解：令y=0，则0=ax−mx−m−k，
解得：x1=m，x2=m+k，
∴抛物线对称轴为直线x=m+m+k2=2m+k2
当k=2时， 抛物线对称轴为直线x=m+1，
把x=m+1代入y=ax−mx−m−2，得y=−a，
∵a>0
∴当x=m+1，k=2时，y有最小值，最小值为−a．
故A正确，B错误；
当k=4时， 抛物线对称轴为直线x=m+2，
把x=m+2代入y=ax−mx−m−4，得y=−4a，
∵a>0
∴当x=m+2，k=4时，y有最小值，最小值为−4a，
故C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．
5．（2023·安徽·统考中考真题）已知反比例函数y=kxk≠0在第一象限内的图象与一次函数y=−x+b的图象如图所示，则函数y=x2−bx+k−1的图象可能为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设A1,k，则Bk,1，k>1，将点Bk,1，代入y=−x+b，得出k=b−1，代入二次函数，可得当x=1时，y=−1，则y=x2−bx+k−1，得出对称轴为直线x=b2>1，抛物线对称轴在y轴的右侧，且过定点1,−1，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，

设A1,k，则Bk,1，根据图象可得k>1，
将点Bk,1代入y=−x+b，
∴1=−k+b，
∴k=b−1，
∵k>1，
∴b>2，
∴y=x2−bx+k−1 =x2−bx+b−1−1=x2−bx+b−2=x−b22+b24+b−2，
对称轴为直线x=b2>1，
当x=1时，1−b+b−2=−1，
∴抛物线经过点1,−1，
∴抛物线对称轴在x=1的右侧，且过定点1,−1，
当x=0时，y=k−1=b−2>0，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出k=b−1是解题的关键．
6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0)，下列说法正确的是( )
A．点(1,2)在该函数的图象上
B．当a=1且−1≤x≤3时，0≤y≤8
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当a>0时，该函数图象的对称轴一定在直线x=32的左侧
【答案】C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵y=ax2−(3a+1)x+3(a≠0)，
当x=1时：y=a−(3a+1)+3=2−2a，
∵a≠0，
∴2−2a≠2，
即：点(1,2)不在该函数的图象上，故A选项错误；
当a=1时，y=x2−4x+3=x−22−1，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x=2，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵−1≤x≤3，−1−2>3−2>2−2，
∴当x=−1时，y有最大值为−1−22−1=8，
当x=2时，y有最小值为−1，
∴−1≤y≤8，故B选项错误；
∵Δ=−(3a+1)2−4×3a=9a2−6a+1=3a−12≥0，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当a>0时，抛物线的对称轴为：x=3a+12a=32+12a>32，
∴该函数图象的对称轴一定在直线x=32的右侧，故选项D错误；
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
7．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点Ax1,y1在直线y=3x+19上，点Bx2,y2,Cx3,y3在抛物线y=x2+4x−1上，若y1=y2=y3且x1A．−12C．−9【答案】A
【分析】设直线y=3x+19与抛物线y=x2+4x−1对称轴左边的交点为P，设抛物线顶点坐标为Q，求得其坐标的横坐标，结合图象分析出x1的范围，根据二次函数的性质得出x2+x3=2×−2=−4，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，设直线y=3x+19与抛物线y=x2+4x−1对称轴左边的交点为P，设抛物线顶点坐标为Q
联立y=3x+19y=x2+4x−1
解得：x=−5y=4或x=4y=31
∴P−5,4，
由y=x2+4x−1=x+22−5，则Q−2,−5，对称轴为直线x=−2，
设m=y1=y2=y3，则点A,B,C在y=m上，
∵y1=y2=y3且x1∴A点在P点的左侧，即x1<−5，x2<−2当m=−5时，x2=x3
对于y=3x+19，当y=−5，x=−8，此时x1=−8，
∴x1>−8，
∴−8∵对称轴为直线x=−2，则x2+x3=2×−2=−4，
∴x1+x2+x3的取值范围是−12故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键．
8．（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的部分图象如图所示，图象经过点0,2，其对称轴为直线x=−1．下列结论：①3a+c>0；②若点−4,y1，3,y2均在二次函数图象上，则y1>y2；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1有两个相等的实数根；④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为−2
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据抛物线开口向下可得a<0，根据抛物线的对称轴可推得b=2a，根据x=1时，y<0，即可得到a+b+c<0，推得3a+c<0，故①错误；根据点的坐标和对称轴可得点−4,y1到对称轴的距离小于点3,y2到对称轴的距离，根据抛物线的对称性和增减性可得y1>y2，故②正确；根据抛物线的图象可知二次函数y=ax2+bx+c与直线y=−1有两个不同的交点，推得关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1有两个不相等的实数根，故③错误；根据抛物线的对称性可得二次函数必然经过点−2，2，即可得到ax2+bx+c>2时，x的取值范围−2【详解】①∵抛物线开口向下，
∴a<0．
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a，
由图象可得x=1时，y<0，
即a+b+c<0，
而b=2a，
∴3a+c<0．故①错误；
②∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x=−1．
故当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，
∵−1−−4=3，−1−3=4，
即点−4,y1到对称轴的距离小于点3,y2到对称轴的距离，
故y1>y2，故②正确；
③由图象可知：二次函数y=ax2+bx+c与直线y=−1有两个不同的交点，
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=−1有两个不相等的实数根，故③错误；
④∵函数图象经过0,2，对称轴为直线x=−1，
∴二次函数必然经过点−2，2，
∴ax2+bx+c>2时，x的取值范围−2综上，②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+ca≠0，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y轴交点；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．（2023·湖南娄底·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：①abc<0；②4a−2b+c>0；③a−b>mam+b（m为任意实数）；④若点−3,y1和点3,y2在该图象上，则y1>y2．其中正确的结论是（ ）

A．①②B．①④C．②③D．②④
【答案】D
【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得a<0，c>0， b<0，故①不符合题意；当x=0与x=−2时的函数值相等，可得4a−2b+c=c>0，故②符合题意；当x=−1时函数值最大，可得a−b≥mam+b，故③不符合题意；由点−3,y1和点3,y2在该图象上，而3−−1=4>−1−−3=2，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴a<0，c>0，x=−b2a<0，
∴b<0，
∴abc>0，故①不符合题意；
∵对称轴为直线x=−1，
∴当x=0与x=−2时的函数值相等，
∴4a−2b+c=c>0，故②符合题意；
∵当x=−1时函数值最大，
∴a−b+c≥am2+bm+c，
∴a−b≥mam+b；故③不符合题意；
∵点−3,y1和点3,y2在该图象上，
而3−−1=4>−1−−3=2，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，
∴y1>y2．故④符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．
10．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A−3,0和点B1,0，与y轴交于点C．下列说法：①abc<0；②抛物线的对称轴为直线x=−1；③当−30；④当x>1时，y随x的增大而增大；⑤am2+bm≤a−b（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得a<0，c>0，根据A−3,0和点B1,0可得抛物线的对称轴为直线x=−1，即可判断②；推出b=2a<0，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当x=−1时，抛物线有最大值a−b+c，即可得到am2+bm≤a−b，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，c>0，
∵抛物线与x轴交于点A−3,0和点B1,0，
∴抛物线对称轴为直线x=−3+12=−1，故②正确；
∴−b2a=−1，
∴b=2a<0，
∴abc>0，故①错误；
由函数图象可知，当−3∴当−30，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线x=−1且开口向下，
∴当x>−1时，y随x的增大而减小，即当x>1时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线x=−1且开口向下，
∴当x=−1时，抛物线有最大值y=a−b+c，
∴am2+bm+c≤a−b+c，
∴am2+bm≤a−b，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．
11．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A(−3,0)，B两点，下列说法正确的是（ ）

A．抛物线的对称轴为直线x=1B．抛物线的顶点坐标为−12,−6
C．A，B两点之间的距离为5D．当x<−1时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A(−3,0)，B两点，
∴0=9a−3−6
∴a=1
∴二次函数解析式为y=x2+x−6 =x+122−254，对称轴为直线x=−12，顶点坐标为−12,−254，故A，B选项不正确，不符合题意；
∵a=1>0，抛物线开口向上，当x<−1时，y的值随x值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意；
当y=0时，x2+x−6=0
即x1=−3,x2=2
∴B2,0，
∴AB=5，故C选项正确，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=(x+3)2+2B．y=(x−1)2+2C．y=(x−1)2+4D．y=(x+3)2+4
【答案】B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由二次函数y=(x+1)2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为y=(x−1)2+2；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
13．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，对称轴为直线x=1，下列论中：①a−b+c=0；②若点−3,y1,2,y2,4,y3均在该二次函数图象上，则y13．正确结论的序号为（ ）
A．①②③B．①③④C．②③④D．①④
【答案】B
【分析】将(−1,0)代入y=ax2+bx+c，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据y=ax2+bx+c+1的图象与x轴的交点的位置可判断④．
【详解】解：将(−1,0)代入y=ax2+bx+c，可得a−b+c=0，
故①正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线x=1，
∴点−3,y1,2,y2,4,y3到对称轴的距离分别为：4，1，3，
∵ a<0，
∴图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
∴ y1故②错误；
∵二次函数图象的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴ b=−2a，
又∵ a−b+c=0，
∴ a+2a+c=0，
∴ c=−3a，
∴当x=1时，y取最大值，最大值为y=a+b+c=a−2a−3a=−4a，
即二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象的顶点坐标为1,−4a，
∴若m为任意实数，则am2+bm+c≤−4a
故③正确；
∵二次函数图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，
∴与x轴的另一个交点坐标为(3,0)，
∵ y=ax2+bx+c(a<0)的图象向上平移一个单位长度，即为y=ax2+bx+c+1的图象，
∴ y=ax2+bx+c+1的图象与x轴的两个交点一个在(−1,0)的左侧，另一个在(3,0)的右侧，
∴若方程ax2+bx+c+1=0的两实数根为x1,x2，且x13，
故④正确；
综上可知，正确的有①③④，
故选B．
【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．
14．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点的抛物线y=−12x2+bx−b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（ ）
A．10B．12C．13D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出c=b−1，求得抛物线解析式，根据抛物线与x轴有交点得出Δ=b2−4ac≥0，进而得出b=2，则c=1，求得A,B的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线y=−12x2+bx−b2+2c的对称轴为直线x=−b2a=−b2×−12=b
∵抛物线经过A(2−3b,m),B(4b+c−1,m)两点
∴2−3b+4b+c−12=b，
即c=b−1，
∴y=−12x2+bx−b2+2c=−12x2+bx−b2+2b−2，
∵抛物线与x轴有交点，
∴Δ=b2−4ac≥0，
即b2−4×−12×−b2+2b−2≥0，
即b2−4b+4≤0，即b−22≤0，
∴b=2，c=b−1=2−1=1，
∴2−3b=2−6=−4,4b+c−1=8+1−1=8，
∴AB=4b+c−1−2−3b=8−−4=12，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与x轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与抛物线y=14x2交于A、B两点，设Ax1,y1，Bx2,y2则下列结论正确的个数为（ ）

①x1⋅x2=−4，
②y1+y2=4k2+2，
③当线段AB长取最小值时，则△AOB的面积为2
④若点N(0,−1)，则AN⊥BN
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可．
【详解】直线y=kx+1与抛物线y=14x2交于A、B两点，
∴kx+1=14x2，
整理得：0=14x2−kx−1，
∴x1×x2=ca=−114=−4，
∴①正确；
∵0=14x2−kx−1，
解得：x1=2k−k2+1，x2=2k+k2+1，
∴y1=2kk−k2+1+1，y2=2kk+k2+1+1，
∴y1+y2=4k2+2；
∴②正确；
∵AB=x1−x22+y1−y22=4k2+1，
当k=0时，即AB∥x轴时，AB有最小值，
∴AB=4，
∴S△AOB=12×4×1=2；
∴③正确；
当点N(0,−1)时，假设AN⊥BN，则：
△ABN是直角三角形，
取AB的中点为点G，连接NG，
∴AG=BG=NG=12AB=2k2+1，
∵0=14x2−kx−1，
∴x1+x2=−ba=4k，y1+y2=4k2+2，
∴点Gx1+x22,y1+y22，
∴点G2k,2k2+1，
∵点N(0,−1)，
∴NG=4k2+4k2+12，
∴k≠0时，NG≠12AB，
即AN与BN不一定垂直；
∴④错误；
∴正确的为：① ② ③．
故选：C．

【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，两点间的距离公式．
16．（2023·青海西宁·统考中考真题）直线y1=ax+b和抛物线y2=ax2+bx（a，b是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中，直线y1=ax+b经过点−4,0．下列结论：
①抛物线y2=ax2+bx的对称轴是直线x=−2
②抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点
③关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x1=−4，x2=1
④若a>0，当x<−4或x>1时，y1>y2
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④B．①②③C．②③D．①④
【答案】B
【分析】①可得−4a+b=0，从而可求b=4a，即可求解；②可得Δ=b2−4ac=b2≥0，由a≠0，可得Δ=b2>0，即可求解；③可判断抛物线也过−4,0，从而可得方程ax2+b−ax−b=0的一个根为x=−4，可求抛物线y3=ax2+b−ax−b的对称轴为直线x=−32，从而可得抛物线y3=ax2+b−ax−b与x轴的另一个交点为1,0，即可求解；④当a>0，当−4【详解】解：①∵直线y1=ax+b经过点−4,0，
∴−4a+b=0，
∴b=4a，
抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−4a2a=−2，
故①正确；
②Δ=b2−4ac=b2≥0，
由①得b=4a，
∵a≠0，
∴b≠0，
∴ Δ=b2>0，
∴抛物线y2=ax2+bx与x轴一定有两个交点，
故②正确；
③当x=−4时，
y=16a−4b
=16a−16a=0，
∴抛物线也过−4,0，
由ax2+bx=ax+b得
∴方程ax2+b−ax−b=0，
∴方程的一个根为x=−4，
抛物线y3=ax2+b−ax−b，
∵ x=−b−a2a=−4a−a2a=−32，
∴抛物线y3=ax2+b−ax−b的对称轴为直线x=−32，
与x轴的一个交点为−4,0，
∴x−−32=−32−−4，
解得：x=1，
∴抛物线y3=ax2+b−ax−b与x轴的另一个交点为1,0，
∴关于x的方程ax2+bx=ax+b有两个根x1=−4，x2=1，
故③正确；
④当a>0，当−4故④错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键．
17．（2023·广东广州·统考中考真题）已知点Ax1,y1，Bx2,y2在抛物线y=x2−3上，且0”或“=”）
【答案】<
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质解决问题．
【详解】解：y=x2−3的对称轴为y轴，
∵a=1>0，
∴开口向上，当x>0时， y随x的增大而增大，
∵0∴y1故答案为：<．
【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．
18．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线y=ax2−2ax+b(a>0)经过A2n+3,y1,Bn−1,y2两点，若A,B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1【答案】−1【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线x=1，开口向上，根据已知条件得出点A在对称轴的右侧，且y1【详解】解：∵y=ax2−2ax+b，a>0
∴抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a=1，开口向上，
∵A2n+3,y1,Bn−1,y2分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点B在对称轴的右侧，则n−1>1，解得n>2，
∴2n+3−n−1=n+4>0
∴A点在B点的右侧，与假设矛盾，则点A在对称轴的右侧，
∴2n+3>1n−1<1
解得：−1又∵y1∴2n+3−1<1−n−1
∴2n+2<2−n.
解得：n<0
∴−1故答案为：−1【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（2023·山东青岛·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x=−1．下列结论：①abc<0；②3b+2c>0；③关于x的方程ax2+bx+c=kx的两根为x1=−3，x2=2；④k=12a．其中正确的是 ．（只填写序号）

【答案】①③
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出a>0，c<0，再结合对称轴x=−1，同时令ax2+bx+c=kx，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可得，a>0，c<0，又−b2a=−1，
∴b>0．
∴abc<0．
∴①正确．
由题意，令ax2+bx+c=kx，
∴ax2+(b−k)x+c=0．
又二次函数y=ax2+bx+c的图象与正比例函数y=kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为−3，点B的横坐标为2，
∴ax2+(b−k)x+c=0的两根之和为−3+2=−1，两根之积为−3×2=−6．
∴−b−ka=−1，ca=−6．
∴6a+c=0．
又b=2a，
∴3b+c=0．
∴3b+2c=c<0．
∴②错误，③正确．
∵−b−ka=−1，b=2a，
∴k=a．
∴④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
20．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y=(x−2)20≤x≤3的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形OABC．若二次函数y=14x2+bx+c0≤x≤3图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，则b= ．

【答案】712或−2512
【分析】根据题意求得点A3,0，B3,4，C0,4，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由y=(x−2)20≤x≤3，当x=0时，y=4，
∴C0,4，
∵A3,0，四边形ABCO是矩形，
∴B3,4，
①当抛物线经过O，B时，将点0,0，B3,4代入y=14x2+bx+c0≤x≤3，
∴c=014×9+3b+c=4
解得：b=712
②当抛物线经过点A,C时，将点A3,0,C0,4代入y=14x2+bx+c0≤x≤3，
∴c=414×9+3b+c=0
解得：b=−2512
综上所述，b=712或b=−2512，
故答案为：712或−2512．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
21．（2023·江苏无锡·统考中考真题）二次函数y=a(x−1)(x−5)a>12的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点M3，1的直线将△ABC分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则a的值为 ．
【答案】910或2+25或2+12
【分析】先求得A1,0，B5,0，C0,5a，直线BM解析式为y=−12x+52，直线AM的解析式为y=12x−12，1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线，则①如图1，直线AM过BC中点，②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为y=−12x+52，AC中点坐标为12,52a，待入直线求得a=910；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为3,0，直线MB与y轴平行，必不成立；2）当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，所以必有“A”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．④如图4，直线EM ∥ AB，根据相似三角形的性质，即可求解；⑤如图5，直线ME ∥ AC，⑥如图6，直线ME ∥ BC，同理可得AEAB=12，进而根据tan∠MEN=tan∠CBO，即可求解．
【详解】解：由y=a(x−1)(x−5)，令x=0，解得：y=5a，令y=0，解得：x1=1,x2=5，
∴A1,0，B5,0，C0,5a，
设直线BM解析式为y=kx+b，
∴5k+b=03k+b=1
解得：k=−12b=52
∴直线BM解析式为y=−12x+52，当x=0时，y=52，则直线BM与y轴交于0,52，
∵a>12，
∴5a>52，
∴点M必在△ABC内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
设直线AM的解析式为y=mx+n
∴k+b=03k+b=1
解得：m=12n=−12
则直线AM的解析式为y=12x−12
①如图1，直线AM过BC中点，，
BC中点坐标为52,52a，代入直线求得a=310<12，不成立；

②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为y=−12x+52，AC中点坐标为12,52a，待入直线求得a=910；
③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为3,0，
∴直线MB与y轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点M的直线必与△ABC一边平行，所以必有“A”型相似，因为平分面积，所以相似比为1:2．
④如图4，直线EM ∥ AB，
∴△CEN∽△COA
∴CECO=CNCA=12，
∴5a−15a=12，
解得a=2+25；

⑤如图5，直线ME ∥ AC，MN∥CO，则△EMN∽△ACO
∴BEAB=12，又AB=4，
∴BE=22，
∵BN=5−3=2<22，
∴不成立；
⑥如图6，直线ME ∥ BC，同理可得AEAB=12，
∴AE=22，NE=22−2，tan∠MEN=tan∠CBO，
∴122−2=5a5，解得a=2+12；
综上所述，a=910或2+25或2+12．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．
22．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AB=4cm．点D从A点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与△ABC的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．
(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：
在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2．
根据探究的结果，解答下列问题：
①当a=1.5时，ℎ=________；当ℎ=1时，a=________．
②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来．
③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”）
A．变量h是以a为自变量的函数 B．变量a是以h为自变量的函数
(2)如图3，记线段DE与△ABC的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积cm2为s．
①分别求出当0≤a≤2和2②当s=12时，求a的值．
【答案】(1)①1.5；1或3；②见解析；③A
(2)①当0≤a≤2时，s=12a2；当2【分析】（1）①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值即可填写，②图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来即可；③根据函数的定义即可判断；
（2） ①如图，当0≤a≤2时，ℎ=a，得到阴影部分是三角形ADE的面积:s=12AD⋅DE；当2【详解】（1）解：①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值，当a=1.5时，ℎ=1.5；当ℎ=1时，a=1或3．
故答案为：1.5；1或3；
②连线如图2-1、图2-2所示：
③根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，所以变是h是以a为自变量的函数，故A选项符合，
故选：A.
（2）①如图3，当0≤a≤2时，ℎ=a，
∴阴影部分的面积：s=12AD⋅DE=12a⋅ℎ=12a2；
当2∴阴影部分的面积：s=12BD⋅DE=124−a⋅4−a=124−a2．
∴当0≤a≤2时，s=12a2；当2②当0≤a≤2时，令12a2=12，解得a=1或a=−1（不符合题意，舍去）．
当2∴当s=12时，a=1或a=3．
【点睛】本题考查了函数图像，写函数关系式，理解函数的定义以及表示方法，会根据三角形的面积公式得出函数关系式是解题的关键．
23．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，Nx2,y2是抛物线y=ax2+bx+ca>0上任意两点，设抛物线的对称轴为x=t．
(1)若对于x1=1，x2=2有y1=y2，求t的值；
(2)若对于0【答案】(1)t=32
(2)t≤12
【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解；
（2）根据题意可得x1,y1离对称轴更近，x1t，即可求解．
【详解】（1）解：∵对于x1=1，x2=2有y1=y2，
∴抛物线的对称轴为直线x=x1+x22=32，
∵抛物线的对称轴为x=t．
∴t=32；
（2）解：∵当0∴12∵y10，
∴x1,y1离对称轴更近，x1∴x1+x22>t，
即t≤12．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
24．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数y=−x2+bx+c．
(1)当b=4,c=3时，
①求该函数图象的顶点坐标．
②当−1≤x≤3时，求y的取值范围．
(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
【答案】(1)①2,7；②当−1≤x≤3时，−2≤y≤7
(2)y=−x2+2x+2
【分析】（1）①将b=4,c=3代入解析式，化为顶点式，即可求解；
②已知顶点2,7，根据二次函数的增减性，得出当x=2时，y有最大值7，当x=−1时取得最小值，即可求解；
（2）根据题意x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3，得出抛物线的对称轴x=b2在y轴的右侧，即b>0，由抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，可知c=2，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出b=2，即可得解．
【详解】（1）解：①当b=4,c=3时，y=−x2+4x+3=−(x−2)2+7，
∴顶点坐标为2,7．
②∵顶点坐标为2,7．抛物线开口向下，
当−1≤x≤2时，y随x增大而增大，
当2≤x≤3时，y随x增大而减小，
∴当x=2时，y有最大值7．
又2−−1>3−2
∴当x=−1时取得最小值，最小值y=−2；
∴当−1≤x≤3时，−2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴x=b2在y轴的右侧，
∴b>0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c=2，
又∵4×−1×c−b24×−1=3，
∴b=±2，
∵b>0，
∴b=2，
∴二次函数的表达式为y=−x2+2x+2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（2023·浙江·统考中考真题）已知点−m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．
(1)当m=−1时，求a和b的值；
(2)若二次函数的图像经过点An,3且点A不在坐标轴上，当−2(3)求证：b2+4a=0．
【答案】(1)a=−1,b=−2
(2)−4(3)见解析
【分析】（1）由m=−1可得图像过点1,0和−3,0，然后代入解析式解方程组即可解答；
（2）先确定函数图像的对称轴为直线x=m，则抛物线过点n,3,0,3，即n=2m，然后再结合−2（3）根据图像的对称性得−b2a=m，即b=−2am，顶点坐标为m,am2+bm+3；将点−m,0和3m,0分别代入表达式并进行运算可得am2=−1；则am2+bm+3=am2−2am2+3=−am2+3=4，进而得到12a−b24a=4，然后化简变形即可证明结论．
【详解】（1）解：当m=−1时，图像过点1,0和−3,0，
∴0=a+b+30=9a−3b+3，解得a=−1b=−2，
∴y=−x2−2x+3，
∴a=−1,b=−2．
（2）解：∵函数图像过点−m,0和3m,0，
∴函数图像的对称轴为直线x=m．
∵图像过点n,3,0,3，
∴根据图像的对称性得n=2m．
∵−2∴−4（3）解：∵图像过点−m,0和3m,0，
∴根据图像的对称性得−b2a=m．
∴b=−2am，顶点坐标为m,am2+bm+3．
将点−m,0和3m,0分别代人表达式可得0=am2−bm+3①0=9am2+3bm+3②
①×3+②得12am2+12=0，
∴am2=−1．
∴am2+bm+3=am2−2am2+3=−am2+3=4．
∴12a−b24a=4．
∴12a−b2=16a．
∴b2+4a=0．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
26．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线C1:y=x2−2x−8交x轴于A,B两点（A在B的左边），交y轴于点C．

(1)直接写出A,B,C三点的坐标；
(2)如图（1），作直线x=t0(3)如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y=2x与抛物线C2交于O,G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M,N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】(1)A(−2,0),B(4,0),C(0,−8)
(2)t的值为2或32
(3)点P在定直线y=2x−2上
【分析】（1）令y=0，解一元二次方程求出x值可得A、B两点的坐标，令x=0求出y值可得C点坐标，即可得答案；
（2）分△BE1D1∽△CE1F1和△BE2D2∽△F2E2C两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出t值即可得答案；
（3）根据平移的性质可得C2解析式，联立直线OG与C2解析式可得点G坐标，即可得出OG中点H的坐标，设Mm,m2,Nn,n2，利用待定系数法可得直线MN的解析式为y=(m+n)x−mn，同理得出直线MO的解析式为y=mx，联立两直线解析式可得P2nn−m+2,2m+2n−4n−m+2，设点P在直线y=kx+b上，把点P2nn−m+2,2m+2n−4n−m+2代入，整理比较系数即可得出k、b的值即可得答案，也可根据点P的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案．
【详解】（1）∵抛物线解析式为y=x2−2x−8，
∴当y=0时，x2−2x−8=0，当x=0时，y=−8，
解得：x1=−2，x2=4，
∴A(−2,0)，B(4,0)，C(0,−8)．
（2）解：∵F是直线x=t与抛物线C1的交点，
∴Ft,t2−2t−8，
①如图，若△BE1D1∽△CE1F1时，
∵∠BCF1=∠CBO，
∴CF1∥OB
∵C(0,−8)，
∴t2−2t−8=−8，
解得，t=0（舍去）或t=2．
②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时．过F2作F2T⊥x轴于点T．
∵∠BCF2=∠BD2E2=∠BOC=90°，
∴∠OCB+∠OBC=∠OCB+∠TCF2=90°，
∴∠TCF2=∠OBC，
∵∠CTF2=∠BOC=90°，
∴△BCO∽△CF2T，
∴F2TCO=CTBO
∵B(4,0),C(0,−8)，
∴OB=4，OC=8，
∵F2T=t,CT=−8−t2−2t−8=2t−t2，
∴t8=2t−t24，
解得，t=0（舍去）或t=32．

综上，符合题意的t的值为2或32．
（3）解：∵将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点，
∴C2;y=x2，
∵直线OG的解析式为y=2x,，
∴联立直线OG与C2解析式得：y=x2y=2x，
解得：x1=0y1=0（舍去），x2=2y2=4，
∴G(2,4)，
∵H是OG的中点，
∴2+02=1,4+02=2，
∴H(1,2)，
设Mm,m2,Nn,n2，直线MN的解析式为y=k1x+b1，
则n2=nk1+b1,m2=mk1+b1，
解得，k1=m+n, b1=−mn，
∴直线MN的解析式为y=(m+n)x−mn，
∵直线MN经过点H(1,2)，
∴mn=m+n−2
同理，直线GN的解析式为y=(n+2)x−2n；直线MO的解析式为y=mx．
联立，得y=(n+2)x−2ny=mx.，
解得：x=2nn−m+2,y=2mnn−m+2．
∵直线OM与NG相交于点P，
∴P2nn−m+2,2m+2n−4n−m+2．
设点P在直线y=kx+b上，则2m+2n−4n−m+2=k⋅2nn−m+2+b，①
整理得，2m+2n−4=2kn+bn−bm+2b=−bm+(2k+b)n+2b，
比较系数得：2k+b=2−b=2，
解得：k=2b=−2，
∴当k=2,b=−2时，无论m,n为何值时，等式①恒成立．
∴点P在定直线y=2x−2上．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．
27．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）在二次函数y=x2−2tx+3(t>0)中，
(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？
(2)当0≤x≤3时，y的最小值为−2，求出t的值：
(3)如果A(m−2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a【答案】(1)t=32
(2)t=5
(3)36
【分析】（1）将坐标代入解析式，求解待定参数值；
（2）确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，分03，当x=3时，函数值最小，求得相应的t值即可 得；
（3）由A(m−2,a),C(m,a)关于对称轴对称得m−1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点(0,3)，此交点关于对称轴的对称点为(2m−2,3)，结合已知确定出m>3；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）将(2,1)代入y=x2−2tx+3中，
得1=4−4t+3，
解得，t=32；
（2）抛物线对称轴为x=t．
若0∴t2−2t2+3=−2，
解得t=±5．
∵t>0，
∴t=5
若t>3，当x=3时，函数值最小，
∴−2=9−6t+3，
解得t=73（不合题意，舍去）
综上所述t=5．
（3）∵A(m−2,a),C(m,a)关于对称轴对称
∴m−2+m2=t,m−1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧
∵抛物线与y轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x=t，
∴此交点关于对称轴的对称点为(2m−2,3)
∵a<3,b<3且t>0
∴4<2m−2，解得m>3．
当A，B都在对称轴左边时，
∵a∴4解得m>6，
∴m>6
当A，B分别在对称轴两侧时
∵a∴4−(m−1)>m−1−(m−2)，
解得m<4
∴3综上所述36．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键．
28．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和B(0,−5)．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当y≤−2时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)y=x2+2x−5，顶点坐标为−1,−6；
(2)−3≤x≤1
【分析】（1）把A(1,−2)和B(0,−5)代入y=x2+bx+c，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把y=−2代入函数解析式求解x的值，再利用函数图象可得y≤−2时x的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c图象经过点A(1,−2)和B(0,−5)．
∴c=−51+b+c=−2，解得：b=2c=−5，
∴抛物线为y=x2+2x−5=x+12−6，
∴顶点坐标为：−1,−6；
（2）当y=−2时，x+12−6=−2，
∴x+12=4
解得：x1=1，x2=−3，

如图，当y≤−2时，
∴−3≤x≤1．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
29．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是−1,0，抛物线的对称轴是直线x=1．

(1)直接写出点B的坐标；
(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依题意补全图形，当MQ+2CQ的值最大时，求点M的坐标．
【答案】(1)3,0
(2)点P1,2，PA+PC的最小值为32
(3)M52,74
【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可；
（2）根据抛物线的对称性，得到PA+PC=PB+PC≥BC，得到当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，求出直线BC的解析式，解析式与对称轴的交点即为点P的坐标，两点间的距离公式求出BC的长，即为PA+PC的最小值；
（3）根据题意，补全图形，设Mm,−m2+2m+3，得到Nm,0，Qm,−m+3，将MQ+2CQ的最大值转化为二次函数求最值，即可得解．
【详解】（1）解：∵点A−1,0关于对称轴的对称点为点B，对称轴为直线x=1，
∴点B为3,0；
（2）当x=0时，y=3，
∴C0,3，
连接BC，

∵B3,0，
∴BC=32+32=32，
∵点A关于对称轴的对称点为点B，
∴PA+PC=PB+PC≥BC，
∴当P,B,C三点共线时，PA+PC的值最小，为BC的长，
设直线BC的解析式为：y=kx+n，
则：n=33k+n=0，解得：n=3k=−1，
∴y=−x+3，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴P1,2；
∴点P1,2，PA+PC的最小值为32；
（3）过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q，如图所示，

∵A−1,0,B3,0，
设抛物线的解析式为：y=ax+1x−3，
∵C0,3，
∴3=−3a，
∴a=−1，
∴y=−x+1x−3=−x2+2x+3，
设Mm,−m2+2m+3，则：Nm,0，
由（2）知：直线BC：y=−x+3，
∴Qm,−m+3，
∴MQ=−m2+2m+3+m−3=−m2+3m，
∵C0,3,B3,0，
∴OC=OB=3，BN=3−m，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠NQB=∠OBC=45°，
∴BQ=2BN=23−m，
∴CQ=BC−BQ=32−32+2m=2m，
∴MQ+2CQ=−m2+3m+2⋅2m=−m2+5m=−m−522+254，
∴当m=52时，MQ+2CQ有最大值，此时M52,74．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
30．（2023·江苏盐城·统考中考真题）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．
【初步理解】
（1）现有以下两个函数：①y=x2−1；②y=x2−x，其中，_________为函数y=x−1的轴点函数．（填序号）
【尝试应用】
（2）函数y=x+c（c为常数，c>0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B.若OB=14OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y=12x+t（t为常数，t>0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE.若函数y=12x+t（t为常数，t>0）的轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．

【答案】（1）①；（2）b=5或−3；（3）n=1或n=−1−22或n=14
【分析】（1）求出函数y=x−1与坐标轴的交点，再判断这两个点在不在二次函数图象上即可；
（2）求出函数y=x+c与坐标轴的交点，再由OB=14OA求出点B坐标，代入二次函数解析式计算即可；
（3）先求出M，C的坐标，再根据y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上分类讨论即可．
【详解】（1）函数y=x−1交x轴于1,0，交y轴于0,−1，
∵点1,0、0,−1都在y=x2−1函数图象上
∴①y=x2−1为函数y=x−1的轴点函数；
∵点0,−1不在y=x2−x函数图象上
∴②y=x2−x不是函数y=x−1的轴点函数；
故答案为：①；
（2）函数y=x+c交x轴于A−c,0，交y轴于0,c，
∵函数y=x+c的轴点函数y=ax2+bx+c
∴A−c,0和0,c都在y=ax2+bx+c上，
∵c>0
∴OA=c
∵OB=14OA，
∴OB=14c
∴B−14c,0或B14c,0
当B−14c,0时，把A−c,0 B−14c,0代入y=ax2+bx+c得
0=116ac2−14bc+c0=ac2−bc+c，解得b=5，
当B14c,0时，把A−c,0 B14c,0代入y=ax2+bx+c得
0=116ac2+14bc+c0=ac2−bc+c，解得b=−3，
综上，b=5或−3；
（3）函数y=12x+t交x轴于M−2t,0，交y轴于C0,t，
∵ON=OC，以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE
∴Nt,0，Dt,2t，E−2t,2t,
∵函数y=12x+t（t为常数，t>0）的轴点函数y=mx2+nx+t
∴M−2t,0和C0,t在y=mx2+nx+t上
∴0=m−2t2+n−2t+t，整理得4mt−2n+1=0
∴n=2mt+12
∴y=mx2+nx+t的顶点P坐标为−n2m,4mt−n24m，
∵函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上
∴可以分三种情况讨论：当P与M重合时；当P在ED上时；当P在DN上时；
当P与M重合时，即−n2m=−2t4mt−n24m=0n=2mt+12，解得n=1；
当P在ED上时，−2t<−n2m此时二次函数开口向下，则m<0
∴−2t<−n2m由n=2mt+12整理得2mt=n−12，
∴2n−12解得n<14，
∴n=−1−22，
当P在DN上时，−n2m=t0≤4mt−n24m≤2tn=2mt+12，整理得2mt=−n=n−12，解得n=14
∴2mt=−14
此时对称轴左边y随x的增大而增大，
∴m<0
∴0≤4mt−n24m≤2t整理得：8mt≤4mt−n2≤0
∴代入2mt=−14、n=14后8mt≤4mt−n2≤0成立
∴n=14，
综上所述，n=1或n=−1−22或n=14
【点睛】本题综合考查一次函数与二次函数，解题的关键是理解轴点函数的定义．
1．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，∠MAN=60°，在射线AM，AN上分别截取AC=AB=6，连接BC，∠MAN的平分线交BC于点D，点E为线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点F，作EG∥AM交射线AD于点G，过点G作GH⊥AM于点H，点E沿AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．
【详解】解：∵∠MAN=60°，AC=AB=6，
∴△ABC是边长为6的正三角形，
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD=30°，AD⊥BC，CD=DB=3，
①当矩形EFGH全部在△ABC之中，即由图1到图2，此时0
∵EG∥AC，
∴∠MAD=∠AGE=30°，
∴∠NAD=∠AGE=30°，
∴AE=EG=x，
在Rt△AEF中，∠EAF=60°，
∴EF=32AE=32x，
∴S=32x2；
②如图3时，当AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC，
则x+12x=6，解得x=4，
由图2到图3，此时3
如图4，记BC，EG的交点为Q，则△EQB是正三角形，
∴EQ=EB=BQ=6−x，
∴GQ=x−6−x=2x−6， 而∠PQG=60°，
∴PG=3QG=32x−6，
∴S=S矩形EFHG−S△PQG
=32x2−12×2x−6×32x−6
=−332x2+123x−183，
③如图6时，x=6，由图3到图6，此时4
如图5，同理△EKB是正三角形，
∴EK=KB=EB=6−x，FC=AC−AF=6−12x，EF=32x，
∴S=S梯形EKCF
=126−x+6−12x×32x
=−338x2+33x，
因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．
2．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，c<0）经过(1,1),(m,0),(n,0)三点，且n≥3．下列四个结论：
①b<0；
②4ac−b2<4a；
③当n=3时，若点(2,t)在该抛物线上，则t>1；
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根，则0其中正确的是 （填写序号）．
【答案】②③④
【分析】①根据图象经过1,1，c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在3,0或3,0的右侧，判断出抛物线的开口向下，a<0，再把1,1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，得出抛物线的顶点在点1,1的右侧，得出4ac−b24a>1，根据4a<0，即可得出4ac−b2<4a，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，得出1,1到对称轴的距离大于2,t到对称轴的距离，根据a<0，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出Δ=b−12−4ac=0，把1,1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1−b=a+c，求出a=c，根据根与系数的关系得出mn=ca=1，即n=1m，根据n≥3，得出1m≥3，求出m的取值范围，即可判断④正确．
【详解】解：①图象经过1,1，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的两个交点都在1,0的左侧，
∵n,0中n≥3，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在3,0或3,0的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即a<0，
把1,1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，
即b=1−a−c，
∵a<0，c<0，
∴b>0，故①错误；
②∵a<0，b>0，c<0，
∴ca>0，
∴方程ax2+bx+c=0的两个根的积大于0，即mn>0，
∵n≥3，
∴m>0，
∴m+n2>1.5，
即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴抛物线的顶点在点1,1的右侧，
∴4ac−b24a>1，
∵4a<0，
∴4ac−b2<4a，故②正确；
③∵m>0，
∴当n=3时，m+n2>1.5，
∴抛物线对称轴在直线x=1.5的右侧，
∴1,1到对称轴的距离大于2,t到对称轴的距离，
∵a<0，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴t>1，故③正确；
④方程ax2+bx+c=x可变为ax2+b−1x+c=x，
∵方程有两个相等的实数解，
∴△=b−12−4ac=0，
∵把1,1代入y=ax2+bx+c得a+b+c=1，即1−b=a+c，
∴a+c2−4ac=0，
即a2+2ac+c2−4ac=0，
∴a−c2=0，
∴a−c=0，
即a=c，
∵(m,0),(n,0)在抛物线上，
∴m，n为方程ax2+bx+c=0的两个根，
∴mn=ca=1，
∴n=1m，
∵n≥3，
∴1m≥3，
∴0综上分析可知，正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件判断得出抛物线开口向下a<0．
3．（2023·江苏·统考中考真题）已知二次函数y=x2+bx−3（b为常数）．
(1)该函数图像与x轴交于A、B两点，若点A坐标为3,0，
①则b的值是_________，点B的坐标是_________；
②当0(2)对于一切实数x，若函数值y>t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）；
(3)当m【答案】(1)①−2,−1,0②−2(2)t<−3−b24
(3)b=−3,n=−5,m<−214
【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式，令y=0，求出点B的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出x的取值范围即可；
（2）求出二次函数的最小值，即可得解；
（3）根据当m【详解】（1）解：①∵函数图像与x轴交于A、B两点，点A坐标为3,0，
∴0=32+3b−3，
∴b=−2，
∴y=x2−2x−3，
∴当y=0时，x2−2x−3=0，
∴x1=−1,x2=3，
∴点B的坐标是−1,0；
故答案为：−2，−1,0；
②y=x2−2x−3，
列表如下：
画出函数图像如下：

由图可知：当0（2）∵y=x2+bx−3=x+b22−3−b24，
∴当x=−b2时，y有最小值为−3−b24；
∵对于一切实数x，若函数值y>t总成立，
∴t<−3−b24；
（3）∵y=x2+bx−3=x+b22−3−b24，
∴抛物线的开口向上，对称轴为x=−b2，
又当m∴直线y=n与抛物线的两个交点为1,n,2,n，直线y=m在抛物线的下方，
∴1,n,2,n关于对称轴对称，
∴−b2=1+22，
∴b=−3，
∴y=x−322−3−94=x−322−214，
∴n=1−322−214=−5，
当x=32时，y有最小值−214，
∴m<−214．

【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题．
4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过点1,3，且交x轴于点A−1,0，B两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】(1)y=−12x2+32x+2
(2)△PDE周长的最大值65+105，此时点P2,3
(3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时N−52,92或12,372或12,−372
【分析】（1）把1,3、A−1,0代入y=ax2+bx+2计算即可；
（2）延长PE交x轴于F，可得∠DEP=∠BCO，进而得到△DPE∼△OBC，△DPE周长△OBC周长=PEBC，求出PE的最大值即可；
（3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可．
【详解】（1）把1,3、A−1,0代入y=ax2+bx+2得，3=a+b+20=a−b+2，
解得a=−12b=32，
∴抛物线的表达式为y=−12x2+32x+2；
（2）延长PE交x轴于F，

∵过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，
∴∠DEP=∠BCO，∠PDE=∠COB=90°，
∴△DPE∼△OBC，
∴△DPE周长△OBC周长=PEBC，
∴△DPE周长=PEBC⋅△OBC周长，
∴当PE最大时△PDE周长的最大
∵抛物线的表达式为y=−12x2+32x+2，
∴B4,0，
∴直线BC解析式为y=−12x+2，BC=OC2+OB2=25
设Pm,−12m2+32m+2，则Em,−12m+2
∴PE=−12m2+32m+2−−12m+2=−12m2+2m=−12m−22+2，
∴当m=2时PE=2最大，此时P2,3
∵△BOC周长为OC+OB+BC=6+25，
∴△PDE周长的最大值为225×6+25=65+105，此时P2,3，
即△PDE周长的最大值65+105，此时点P2,3；
（3）∵将该抛物线沿射线CB方向平移5个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度，
∴平移后的解析式为y=−12x−22+32x−2+2−1=−12x2+72x−4，此抛物线对称轴为直线x=72，
∴设M72,n，Ns,t
∵P2,3，A−1,0
∴PA2=18，PM2=72−22+n−32=94+n−32，AM2=72+12+n−02=814+n2，
当PA为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴PA与MN互相平分，且PM=AM
∴94+n−32=814+n2，解得n=−32
∵PA中点坐标为2−12,3+02，MN中点坐标为72+s2,n+t2，
∴72+s=1n+t=3，解得s=−52t=92，
此时N−52,92；
当PA为边长且AM和PN是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴AM与PN互相平分，且PM=PA
∴94+n−32=18，解得n=3±372
∵PN中点坐标为2+s2,3+t2，AM中点坐标为72−12,n+02，
∴2+s=72−13+t=n+0，解得s=12t=±372，
此时N12,372或N12,−372；
同理，当PA为边长且AN和PM是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形
∴AN和PM互相平分，且AM=PA
814+n2=18，此方程无解；
综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时N−52,92或12,372或12,−372；
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．
5．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)a=0或a=−1或a=1或a=−2
【分析】（1）分a=−12与a≠−12两种情况讨论论证即可；
（2）当a=−12时，不符合题意，当a≠−12时，对于函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4，令y=0，得(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4=0，从而有x=4a−42a+1或x=−12，根据整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，即x为整数，从而有2a+1=1或2a+1=−1或2a+1=2或2a+1=−2或2a+1=3或2a+1=−3或2a+1=6或2a+1=−6，解之即可．
【详解】（1）解：当a=−12时，4a+2=0，函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4为一次函数y=12x+6，此时，令y=0，则12x+6=0，解得x=−12，
∴一次函数y=12x+6与x轴的交点为−12，0；
当a≠−12时，4a+2≠0，函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4为二次函数，
∵y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4，
∴Δ=(9−6a)2−4(4a+2)−4a+4
=81−108a+36a2+64a2−32a−32
=100a2−140a+49
=10a−72≥0，
∴当a≠−12时，y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4与x轴总有交点，
∴无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）解：当a=−12时，不符合题意，
当a≠−12时，对于函数y=(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4，
令y=0，则(4a+2)x2+(9−6a)x−4a+4=0，
∴2a+1x−4a−42x+1=0，
∴2a+1x−4a−4=0或2x+1=0
∴x=4a−42a+1或x=−12，
∵x=2−62a+1，整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，即x为整数，
∴2a+1=1或2a+1=−1或2a+1=2或2a+1=−2或2a+1=3或2a+1=−3或2a+1=6或2a+1=−6，
解得a=0或a=−1或a=12（舍去）或a=−32（舍去）或a=1或a=−2或a=52（舍去）或a=−72（舍去），
∴a=0或a=−1或a=1或a=−2．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系以及二次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的性质以及数形相结合的思想是解题的关键．
6．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A1,0,B3,0两点，M为抛物线的顶点，C,D为抛物线上不与A,B重合的相异两点，记AB中点为E，直线AD,BC的交点为P．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若C4,3,Dm,−34，且m<2，求证：C,D,E三点共线；
(3)小明研究发现：无论C,D在抛物线上如何运动，只要C,D,E三点共线，△AMP,△MEP,△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】(1)y=x2−4x+3
(2)见解析
(3)△ABP的面积为定值，其面积为2
【分析】（1）将A1,0,B3,0代入y=ax2+bx+3，即可解得；
（2）A1,0,B3,0，AB中点为E，且C4,3，可求出过C,E两点所在直线的一次函数表达式y=32x−3，D为抛物线上的一点，所以D32,−34，此点在y=32x−3，可证得C,D,E三点共线；
（3）设C,D'与D,C'分别关于直线EM对称，则P,P'关于直线EM对称，且△AMP与△AMP'的面积不相等，所以△AMP的面积不为定值；如图，当C,D分别运动到点C1,D1的位置，且保持C1,D1,E三点共线．此时AD1与BC1的交点P1到直线EM的距离小于P到直线EM的距离，所以△MEP1的面积小于△MEP的面积，故△MEP的面积不为定值；故△ABP的面积为定值，由（2）求出P73,−2，此时△ABP的面积为2．
【详解】（1）解：因为抛物线y=ax2+bx+3经过点A1,0,B3,0，
所以a+b+3=0,9a+3b+3=0.
解得a=1,b=−4.
所以抛物线的函数表达式为y=x2−4x+3；
（2）解：

设直线CE对应的函数表达式为y=kx+nk≠0，
因为E为AB中点，所以E2,0．
又因为C4,3，所以4k+n=32k+n=0，解得k=32n=−3，
所以直线CE对应的函数表达式为y=32x−3．
因为点Dm,−34在抛物线上，所以m2−4m+3=−34．
解得，m=32或m=52．
又因为m<2，所以m=32．
所以D32,−34．
因为32×32−3=−34，即D32,−34满足直线CE对应的函数表达式，所以点D在直线CE上，即C,D,E三点共线；
（3）解：△ABP的面积为定值，其面积为2．
理由如下：（考生不必写出下列理由）
如图1，当C,D分别运动到点C',D'的位置时，C,D'与D,C'分别关于直线EM对称，此时仍有C',D',E三点共线．设AD'与BC'的交点为P'，则P,P'关于直线EM对称，即PP'∥x轴．此时，PP'与AM不平行，且AM不平分线段PP'，故P，P'到直线AM的距离不相等，即在此情形下△AMP与△AMP'的面积不相等，所以△AMP的面积不为定值．

如图2，当C,D分别运动到点C1,D1的位置，且保持C1,D1,E三点共线．此时AD1与BC1的交点P1到直线EM的距离小于P到直线EM的距离，所以△MEP1的面积小于△MEP的面积，故△MEP的面积不为定值．
又因为△AMP,△MEP,△ABP中存在面积为定值的三角形，故△ABP的面积为定值．
在（2）的条件下，直线BC对应的函数表达式为y=3x−9，直线AD对应的函数表达式为y=−32x+32，求得P73,−2，此时△ABP的面积为2．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，如何利用数形结合求得点的坐标、函数的表达式等是解题的关键．
x
-2
-1
0
1
y
0
4
6
6
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
x
…
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
0
258
m
278
n
58
0
78
…
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
-8
-3
0
1
0
-3
0
1
0
a
-8
…
x
−5
−4
−2
0
2
y
6
0
−6
−4
6
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
x
…
−4
−3
−2
−1
0
…
y
…
m
−3
−2
−3
−6
…
变量a（cm）
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
变量h（cm）
0
0.5
1
1.5
2
1.5
1
0.5
0
x
⋯
−2
−1
1
3
4
⋯
y
⋯
5
0
−4
0
5
⋯