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第16讲 三角形的概念及性质（23题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用）
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这是一份第16讲 三角形的概念及性质（23题型）（练习）-2024年中考数学一轮复习练习（全国通用），文件包含第16讲三角形的概念及性质练习原卷版docx、第16讲三角形的概念及性质练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共127页， 欢迎下载使用。
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第16讲 三角形的概念及性质
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
题型01 三角形的稳定性
\l "_Tc155620296" 题型02 画三角形的高、中线、角平分线
\l "_Tc155620297" 题型03 等面积法求三角形的高
\l "_Tc155620298" 题型04 利用网格求三角形的面积
\l "_Tc155620299" 题型05 与垂心性质有关的计算
\l "_Tc155620300" 题型06 根据三角形的中线求长度
\l "_Tc155620301" 题型07 根据三角形的中线求面积
\l "_Tc155620302" 题型08 与重心性质有关的计算
\l "_Tc155620303" 题型09 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围
\l "_Tc155620304" 题型10 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子
\l "_Tc155620305" 题型11 三角形内角和定理的证明
\l "_Tc155620306" 题型12 应用三角形内角和定理求角度
\l "_Tc155620307" 题型13 三角形内角和与平行线的综合应用
\l "_Tc155620308" 题型14 三角形内角和与角平分线的综合应用
\l "_Tc155620309" 题型15 三角形折叠中的角度问题
\l "_Tc155620310" 题型16 应用三角形内角和定理解决三角板问题
\l "_Tc155620311" 题型17 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
\l "_Tc155620312" 题型18 三角形内角和定理与新定义问题综合
\l "_Tc155620313" 题型19 应用三角形外角的性质求角度
\l "_Tc155620314" 题型20 三角形的外角性质与角平分线的综合
\l "_Tc155620315" 题型21 三角形的外角性质与平行线的综合
\l "_Tc155620316" 题型22 应用三角形的外角性质解决折叠问题
\l "_Tc155620317" 题型23 三角形内角和定理与外角和定理综合
题型01 三角形的稳定性
1．（2020·山西·校联考模拟预测）下列图形中，没有利用三角形的稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型02 画三角形的高、中线、角平分线
3．（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中作△ABC的中线BD．
(2)在图②中作△ABC的高BE．
(3)在图③中作△ABC的角平分线BF．
4．（2021·吉林·三模）图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法
(1)在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
(2)在图②中，画出△ABC中AC边上的高BN，并直接写出△ABC的面积．
题型03 等面积法求三角形的高
5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10，则AB边上的高的长度是（ ）．
A．5B．5.6C．4.8D．4.6
6．（2022·陕西西安·校考三模）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，若每个小正方形的边长为1，则BC边上的高为 ．
7．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点在方格线的交点上．
(1)请在图中作出△ABC中AB边上的高．
(2)求△ABC的面积．
(3)点B到AC边所在直线的距离为165，求AC的长度．
题型04 利用网格求三角形的面积
8．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
(1)请在图中画出平移后的△DEF；
(2)分别连接AD，BE，则AD与BE的数量关系为 ，位置关系为 ．
(3)求△DEF的面积．
9．（2023·上海杨浦·统考一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：
(1)S△ABC=___________；sin∠ABC=___________；
(2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP=15S△ABC．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）
题型05 与垂心性质有关的计算
10．（2020下·江西赣州·九年级校考阶段练习）如图，已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
11．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，H、O分别为△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若△ABC外接圆的半径为2，则AH=（ ）
A．23B．22C．4D．3+1
题型06 根据三角形的中线求长度
12．（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（ ）
A．16B．18C．20D．22
13．（2023·安徽·校联考一模）已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE=CD，∠BAD=∠ACE．则CEAC的值为（ ）
A．23B．22C．5−12D．3−52
14．（2020·浙江·模拟预测）在△ABC中，AB边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AD是△ABC的中线，若AB=6，AC=5，则△ABD与△ACD的周长之差为 ．
16．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，ΔABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE＝CD＝1，∠BAD＝∠ACE，则AC的长为
题型07 根据三角形的中线求面积
17．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以点B，C为圆心，大于12BC长为半径画弧，交于E，F两点，连接EF，交BC于点D，连接AD．AD=13，CD=2，则△ABD的面积是（ ）
A．2B．3C．13D．132
18．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,AC边上中线BE交AD于点O，则△BCE的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
19．（2023·陕西榆林·校考二模）如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC=4，则BE的长为（ ）
A．5B．3C．4D．6
20．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知△ABC的面积为10cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为（ ）
A．6cm2B．5cm2C．4cm2D．3cm2
题型08 与重心性质有关的计算
21．（2023·陕西西安·统考三模）在△ABC中，点O为△ABC的重心，连接AO并延长交BC边于点D，若有AD=12BC，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
22．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处
23．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AC=3.4，则EF的长度为（ ）
A．1.7B．1.8C．2.2D．3.4
24．（2023·上海松江·统考二模）如图，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是（ ）
A．12B．13C．14D．25
题型09 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围
25．（2023·福建福州·校考二模）已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的长可能是（ ）
A．2B．6C．8D．9
26．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，AB=3，AD=2，BC=1，CD=5，则线段BD的长度可能是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
27．（2023·浙江杭州·校考二模）如图，在Rt△ABC中BC⊥AC，CD⊥AB，AB=5，CD=3，则AC的长的取值范围是（ ）
A．AC<5B．AC>3C．3≤AC≤5D．328．（2023·河北沧州·统考三模）有四根长度分别为2，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能围成一个三角形，则围成的三角形的周长（ ）
A．最小值是8B．最小值是9C．最大值是13D．最大值是14
题型10 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子
29．（2023·山东德州·统考二模）已知a，b，c是三角形的三条边，则c−a−b+c+b−a的化简结果为（ ）
A．0B．2a+2bC．2bD．2a+2b−2c
30．（2023·河北沧州·统考模拟预测）若△ABC三条边长为a，b，c化简：a−b−c−a+c−b= ．
31．（2022上·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a−b−c|+|b−c+a|+|c−a−b|= ．
题型11 三角形内角和定理的证明
32．（2023·河北衡水·校联考二模）定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED＝180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①③
33．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（ ）
A．@代表ABB．◎代表∠ACDC．▲代表∠ECDD．※代表两直线平行，同位角相等
34．（2023·河南郑州·统考二模）下面是小颖同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于180°这一命题，请你帮她补充完整．
题型12 应用三角形内角和定理求角度
35．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，BC=5，则AB边的长是（ ）
A．5cs55°B．5cs55°C．5tan55°D．5sin55°
36．（2023·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，数据如图所示，若∠1比∠B小2°，则∠2比∠C（ ）
A．大2°B．小2°C．大4°D．小4°
37．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=CD，∠BAC=40°，则∠D的度数为 ．
38．（2022·福建福州·校考模拟预测）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则AC:AB= ．
题型13 三角形内角和与平行线的综合应用
39．（2023·湖北黄冈·三模）如图为两直线l、m与△ABC相交的情形，其中l、m分别与BC、AB平行．根据图中标示的角度，则∠B的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
40．（2023·河南安阳·统考二模）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B=60°，∠ACB=30°，则∠ACE的度数为（ ）
A．40°B．45°C．55°D．60°
41．（2021·宁夏银川·统考一模）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=102°，则∠BAC的大小是（ ）
A．24°B．26°C．28°D．30°
题型14 三角形内角和与角平分线的综合应用
42．（2022·江苏无锡·校考一模）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= ．
43．（2020·浙江绍兴·模拟预测）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
(1)如图1，若∠B=40°，∠C=60°，请说明∠DAE的度数；
(2)如图2（∠B<∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系．
44．（2022·浙江温州·统考一模）如图，△ABC的角平分线BD,CE交于点F，AB=AC．
(1)求证：△ABD≌△ACE．
(2)当∠A=40°时，求∠BFC的度数．
题型15 三角形折叠中的角度问题
45．（2023·河南商丘·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，点D为AB的中点，点P为AC上一个动点，将△APD沿DP折叠得到△QPD，点A的对应点为点Q，当PQ⊥AB时，∠ADP的度数为 ．
46．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，∠1=56°，∠ABC=70°，则∠2的度数为 ．
47．（2023·浙江湖州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，D为AC边上一点，沿BD将三角形进行折叠，使点A落在点E处，记BE与AC边的交点为F，若DE⊥AC，则CF的长为 ．
48．（2022·江西赣州·统考二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A'处，若A'P∥AC，则∠PDA'的度数为 ．
题型16 应用三角形内角和定理解决三角板问题
49．（2023·河南南阳·统考二模）将一块含30°角的三角板和一把对边平行的直尺按如图所示的方式放置，若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
50．（2023·广东汕头·汕头市金禧中学校考一模）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
51．（2023·北京通州·统考一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75°B．60°C．105°D．120°
52．（2023·湖北恩施·统考二模）将一副直角三角板按如图所示位置摆放(∠D=∠ECF=90°)，点C在直角边BD上，点F在直角边AD上，若∠AFE=160°，则∠BCE= ．
题型17 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
53．（2021·广东清远·校考一模）如图，点D是锐角∠AOB内一点，DE⊥OA于点E，点F是线段OE的一个动点，点G是射线OB的一个动点，连接DF、FG、GD，当△DFG的周长最小时，∠FDG与∠AOB的数量关系式是 ．
54．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）（1）问题解决：如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，若∠A=62°，求∠BOC的度数；（写出求解过程）
（2）拓展与探究
①如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是______；（请直接写出你的结论）
②如图2，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是______；（请直接写出你的结论）
③如图3，BO、CO分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是______．（请直接写出你的结论）
55．（2018·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．
(1)如图①，当点D在线段BC上，如果α=60°，β=120°；
如图②，当点D在线段BC上，如果α=90°，β=90°；
如图③，当点D在线段BC上，如果α，β之间有什么样的关系？请直接写出．
(2)如图④，当点D在射线BC上，（1）中结论是否成立？请说明理由；
(3)如图⑤，当点D在射线CB上，且在线段BC外，（1）中结论是否成立？若不成立，请直接写出你认为正确的结论．
题型18 三角形内角和定理与新定义问题综合
56．（2021·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：
①∠BCD=∠A+∠B+∠D；
②若AB=AD,BC=CD，则AC⊥BD；
③若∠BCD=2∠A，则BC=CD；
④存在凹四边形ABCD，有AB=CD,AD=BC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
57．（2023·广东阳江·统考三模）定义：△ABC中，∠A+2∠B=90°，则称△ABC为倍余三角形．
(1)下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
(2)如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上(不与B，C重合)，满足AB=AD，求证：△ACD为倍余三角形；
(3)在（2）的条件下，
①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数；
②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求ADBC的值．
58．（2022·江苏扬州·统考二模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．
(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的“好角”，若∠A=α，则∠E=______；（用含α的代数式表示）
(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，点D是优弧ACB的中点，直径BF⊥弦AC，BF、CD的延长线于点G，延长BC到点E．求证：∠BGC是△ABC中∠BAC的“好角”．
(3)如图3，△ABC内接于⊙O，∠BGC是△ABC中∠A的“好角”，BG过圆心O交⊙O于点F，⊙O的直径为8，∠A=45°，求FG．
59．（2021·河南信阳·统考一模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
60．（2020·江西南昌·模拟预测）定义：有一组邻角相等，对角线相等，且对边不相等的凸四边形叫做“等邻对角四边形”，如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB,AC=DB,AB>CD，四边形ABCD即为“等邻对角四边形”．
概念理解
（1）①如图2，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AC,AB上，CD=2，当BE的长为_______时，四边形EBCD为“等邻对角四边形”．
②如图3，在△ABC中，点E，D在AC上，点F在AB上，BF=CE，四边形FBCD为“等邻对角四边形”，若∠BDC=110°，则∠BFC的度数为___________．
性质探究
（2）根据图1及其条件，探究∠BAC与∠CDB的数量关系．
问题解决
（3）如图4，在“等邻对角四边形”ABCD中，AB>CD,∠ABC=∠DCB,AB=3,AD=1,AD与BC的延长线相交于点E．若DE=8，求CD的长，并指出∠BDC的度数是否可以等于90°，不必说明理由．
题型19 应用三角形外角的性质求角度
61．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点A落在矩形纸片的一边上，若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．155°B．145°C．120°D．105°
62．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，连结AE，AC，已知AE=CE，AB=BE，记∠ACB=α，则用α的代数式表示∠ACD的度数为（ ）
A．2α B．90°−2α C．3α D． 180°−4α
63．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE=EF=DF，那么∠BAC的度数为 ．
64．（2023·河南新乡·校联考二模）如图，∠A+∠1=40°，CD⊥AE，则∠2的度数为 ．
题型20 三角形的外角性质与角平分线的综合
65．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=60°，则∠AED= ．
66．（2020·浙江杭州·模拟预测）问题情景：
如图1，AB//CD，∠A=30°，∠C=42°，求∠AEC的度数．
小明的思路：
（1）初步尝试：按小明的思路，求出图1中∠AEC的度数．
（2）问题拓展：在（1）的基础上作如图2，AP平分∠BAE，PC平分∠DCE，AP与CP交于点P，直接写出求出∠APC的度数，不需要理由．
（3）问题迁移1：如图3，AB//CD，当E在直线AB上方时，若∠EAB=α，∠ECD=β，∠EAB和∠ECD的平分线交于点P1，请猜想∠E与∠P1的数量关系，并说明需要理由；
（4）问题迁移2：如图4，AB//CD，当点E在直线AB的上方时，∠EAB的角平分线的反向延长线和∠ECD的补角的角平分线交于点M，直接说出猜想∠M与∠E的数量关系，不需要理由．
题型21 三角形的外角性质与平行线的综合
67．（2023·河南南阳·统考一模）如图所示，∠AOB的一边OB为平面镜，∠AOB=40°，一束光线（与水平线AO平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在OA上的点E处，则∠AED的度数是（ ）
A．40°B．80°C．100°D．120°
68．（2021·浙江杭州·统考一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3，可判断直线m与直线n是否平行的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
69．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，AB∥CD,∠D=40°,∠F=26°，则∠B的度数为（ ）
A．66°B．60°C．56°D．50°
70．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，AB∥CD，∠DCE=92°，∠BAE=115°，则∠E的度数是 ．
题型22 应用三角形的外角性质解决折叠问题
71．（2023·广东广州·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=40°，点D为BC上一点，把△ABD沿AD折叠到△AB'D，点B的对应点B'恰好落在边BC上，则∠CAB'的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
71．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，若AB=3，则△ADC的周长等于（ ）
A．1B．3C．2D．3
73．（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ABC中，∠A比∠B大70°，点D为AB上一点，将△ABC沿直线CD折叠，使点A的对应点A'落在边BC上，则∠ADC= °．
题型23 三角形内角和定理与外角和定理综合
74．（2021·福建·校联考一模）如图，其中的△ABE和△ADC是由△ABC分别沿着直线AB，AC折叠得到的，BE与CD相交于点I，若∠BAC＝140°，则∠EIC＝ °．
75．（2022下·江苏南京·九年级统考期中）如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，∠O=75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
76．（2022上·重庆·九年级重庆八中校考期末）如图，在▱ABCD中，∠DAM=19°，DE⊥BC于E，DE交AC于点F，M为AF的中点，连接DM，若AF=2CD，则∠CDM的大小为（ ）．
A．112°B．108°C．104°D．98°
77．（2018·青海·中考真题）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90∘，∠C=90∘，∠A=45∘，∠D=30∘，则∠1+∠2等于( )
A．150∘B．180∘C．210∘D．270∘
1．（2023·福建·统考中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1B．5C．7D．9
2．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE,AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S,S1,S2，若要求出S−S1−S2的值，只需知道( )
A．△ABE的面积B．△ACD的面积C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．14C．18D．24
4．（2023·山东·统考中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1C．△ABC内切圆的半径r<1D．当AB=7时，△ABC是直角三角形
5．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
6．（2023·山西·统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°,∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
7．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）
A．70°B．65°C．60°D．50°
8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， AB∥CD，且∠A=40°，∠D=24°，则∠E等于（ ）
A．40°B．32°C．24°D．16°
9．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1=70°，则∠2的度数为（ ）．
A．110°B．70°C．40°D．30°
10．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA=OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO=35°，则∠AOC=（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
11．（2023·江苏盐城·统考中考真题）小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
12．（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD=12BC+AB2−AC2BC．当AB=7,BC=6，AC=5时，CD= ．
13．（2023·吉林·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
14．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，则∠C= °．
15．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<75°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．
16．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，顶点B在▱ODEF的边DE上，已知∠1=40°，则∠2= ．
17．（2022·江苏镇江·统考中考真题）一副三角板如图放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，则∠1= °．
18．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D'，则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C'分别表示△ABC和△A'B'C'的面积．
则S△ABC=12BC⋅AD,S△A'B'C'=12B'C'⋅A'D'，
∵AD=A'D'
∴S△ABC:S△A'B'C=BC:B'C'．
【性质应用】
(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S△ABD:S△ADC=__________；
(2)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，则S△BEC=__________，S△CDE=_________；
(3)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，则S△CDE=__________．
证明：如图，过点E作直线AB，
使得AB∥CD，
∴∠2＝∠D（*），
∴∠1+∠@＝180°，
∴∠C+∠D+∠CED＝180°．
定理：三角形的内角和为180°．
已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．
证明：延长BC到点D，过点C作CE∥@，
∴∠A=◎（两直线平行，内错角相等），
∠B=___▲______（_____※______）．
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第16讲 三角形的概念及性质
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
题型01 三角形的稳定性
\l "_Tc155620296" 题型02 画三角形的高、中线、角平分线
\l "_Tc155620297" 题型03 等面积法求三角形的高
\l "_Tc155620298" 题型04 利用网格求三角形的面积
\l "_Tc155620299" 题型05 与垂心性质有关的计算
\l "_Tc155620300" 题型06 根据三角形的中线求长度
\l "_Tc155620301" 题型07 根据三角形的中线求面积
\l "_Tc155620302" 题型08 与重心性质有关的计算
\l "_Tc155620303" 题型09 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围
\l "_Tc155620304" 题型10 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子
\l "_Tc155620305" 题型11 三角形内角和定理的证明
\l "_Tc155620306" 题型12 应用三角形内角和定理求角度
\l "_Tc155620307" 题型13 三角形内角和与平行线的综合应用
\l "_Tc155620308" 题型14 三角形内角和与角平分线的综合应用
\l "_Tc155620309" 题型15 三角形折叠中的角度问题
\l "_Tc155620310" 题型16 应用三角形内角和定理解决三角板问题
\l "_Tc155620311" 题型17 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
\l "_Tc155620312" 题型18 三角形内角和定理与新定义问题综合
\l "_Tc155620313" 题型19 应用三角形外角的性质求角度
\l "_Tc155620314" 题型20 三角形的外角性质与角平分线的综合
\l "_Tc155620315" 题型21 三角形的外角性质与平行线的综合
\l "_Tc155620316" 题型22 应用三角形的外角性质解决折叠问题
\l "_Tc155620317" 题型23 三角形内角和定理与外角和定理综合
题型01 三角形的稳定性
1．（2020·山西·校联考模拟预测）下列图形中，没有利用三角形的稳定性的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型02 画三角形的高、中线、角平分线
3．（2023·吉林长春·校联考二模）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，在给定的网格中，按照要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图①中作△ABC的中线BD．
(2)在图②中作△ABC的高BE．
(3)在图③中作△ABC的角平分线BF．
4．（2021·吉林·三模）图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形．请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法
(1)在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；
(2)在图②中，画出△ABC中AC边上的高BN，并直接写出△ABC的面积．
题型03 等面积法求三角形的高
5．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10，则AB边上的高的长度是（ ）．
A．5B．5.6C．4.8D．4.6
6．（2022·陕西西安·校考三模）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，若每个小正方形的边长为1，则BC边上的高为 ．
7．（2023上·陕西延安·八年级校联考阶段练习）如图，△ABC在平面直角坐标系中，A，B，C三点在方格线的交点上．
(1)请在图中作出△ABC中AB边上的高．
(2)求△ABC的面积．
(3)点B到AC边所在直线的距离为165，求AC的长度．
题型04 利用网格求三角形的面积
8．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
(1)请在图中画出平移后的△DEF；
(2)分别连接AD，BE，则AD与BE的数量关系为 ，位置关系为 ．
(3)求△DEF的面积．
9．（2023·上海杨浦·统考一模）新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上．请按要求完成下列问题：
(1)S△ABC=___________；sin∠ABC=___________；
(2)请仅用无刻度的直尺在线段AB上求作一点P，使S△ACP=15S△ABC．（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）
题型05 与垂心性质有关的计算
10．（2020下·江西赣州·九年级校考阶段练习）如图，已知锐角三角形ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，则∠BAC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
11．（2020·浙江杭州·九年级期末）如图，H、O分别为△ABC的垂心、外心，∠BAC=45°，若△ABC外接圆的半径为2，则AH=（ ）
A．23B．22C．4D．3+1
题型06 根据三角形的中线求长度
12．（2022·陕西西安·高新一中校考模拟预测）如图，△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D是BC边上的中点，连接AD，若△ACD的周长为20，则△ABD的周长是（ ）
A．16B．18C．20D．22
13．（2023·安徽·校联考一模）已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE=CD，∠BAD=∠ACE．则CEAC的值为（ ）
A．23B．22C．5−12D．3−52
14．（2020·浙江·模拟预测）在△ABC中，AB边上的中线CD=3,AB=6,BC+AC=8，则△ABC的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，AD是△ABC的中线，若AB=6，AC=5，则△ABD与△ACD的周长之差为 ．
16．（2022·安徽合肥·统考一模）如图，ΔABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE＝CD＝1，∠BAD＝∠ACE，则AC的长为
题型07 根据三角形的中线求面积
17．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以点B，C为圆心，大于12BC长为半径画弧，交于E，F两点，连接EF，交BC于点D，连接AD．AD=13，CD=2，则△ABD的面积是（ ）
A．2B．3C．13D．132
18．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,AC边上中线BE交AD于点O，则△BCE的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
19．（2023·陕西榆林·校考二模）如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC=4，则BE的长为（ ）
A．5B．3C．4D．6
20．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知△ABC的面积为10cm2，BP为∠ABC的角平分线，AP垂直BP于点P，则△PBC的面积为（ ）
A．6cm2B．5cm2C．4cm2D．3cm2
题型08 与重心性质有关的计算
21．（2023·陕西西安·统考三模）在△ABC中，点O为△ABC的重心，连接AO并延长交BC边于点D，若有AD=12BC，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
22．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在等腰△ABC中，AB=AC，D、E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在（ ）
A．△ABC的重心处B．AD的中点处C．A点处D．D点处
23．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AC=3.4，则EF的长度为（ ）
A．1.7B．1.8C．2.2D．3.4
24．（2023·上海松江·统考二模）如图，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是（ ）
A．12B．13C．14D．25
题型09 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围
25．（2023·福建福州·校考二模）已知三角形两边长分别为3和5，则第三边的长可能是（ ）
A．2B．6C．8D．9
26．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，AB=3，AD=2，BC=1，CD=5，则线段BD的长度可能是（ ）
A．3.5B．4C．4.5D．5
27．（2023·浙江杭州·校考二模）如图，在Rt△ABC中BC⊥AC，CD⊥AB，AB=5，CD=3，则AC的长的取值范围是（ ）
A．AC<5B．AC>3C．3≤AC≤5D．3
A．最小值是8B．最小值是9C．最大值是13D．最大值是14
题型10 应用三角形的三边关系化简含有绝对值的式子
29．（2023·山东德州·统考二模）已知a，b，c是三角形的三条边，则c−a−b+c+b−a的化简结果为（ ）
A．0B．2a+2bC．2bD．2a+2b−2c
30．（2023·河北沧州·统考模拟预测）若△ABC三条边长为a，b，c化简：a−b−c−a+c−b= ．
31．（2022上·湖北咸宁·八年级校考阶段练习）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a−b−c|+|b−c+a|+|c−a−b|= ．
题型11 三角形内角和定理的证明
32．（2023·河北衡水·校联考二模）定理：三角形的内角和是180°．
已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三个内角．
求证：∠C+∠D+∠CED＝180°．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示∠BEC；③上述证明得到的结论，只有在锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①③
33．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回答不正确的是（ ）
A．@代表ABB．◎代表∠ACDC．▲代表∠ECDD．※代表两直线平行，同位角相等
34．（2023·河南郑州·统考二模）下面是小颖同学要借助无刻度的直尺和圆规作图，来证明三角形内角和等于180°这一命题，请你帮她补充完整．
题型12 应用三角形内角和定理求角度
35．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，BC=5，则AB边的长是（ ）
A．5cs55°B．5cs55°C．5tan55°D．5sin55°
36．（2023·河北沧州·模拟预测）在△ABC中，数据如图所示，若∠1比∠B小2°，则∠2比∠C（ ）
A．大2°B．小2°C．大4°D．小4°
37．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=CD，∠BAC=40°，则∠D的度数为 ．
38．（2022·福建福州·校考模拟预测）在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，则AC:AB= ．
题型13 三角形内角和与平行线的综合应用
39．（2023·湖北黄冈·三模）如图为两直线l、m与△ABC相交的情形，其中l、m分别与BC、AB平行．根据图中标示的角度，则∠B的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
40．（2023·河南安阳·统考二模）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B=60°，∠ACB=30°，则∠ACE的度数为（ ）
A．40°B．45°C．55°D．60°
41．（2021·宁夏银川·统考一模）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD=AE=BE，∠D=102°，则∠BAC的大小是（ ）
A．24°B．26°C．28°D．30°
题型14 三角形内角和与角平分线的综合应用
42．（2022·江苏无锡·校考一模）如图，BE、CF都是△ABC的角平分线，且∠BDC=110°，则∠A= ．
43．（2020·浙江绍兴·模拟预测）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
(1)如图1，若∠B=40°，∠C=60°，请说明∠DAE的度数；
(2)如图2（∠B<∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系．
44．（2022·浙江温州·统考一模）如图，△ABC的角平分线BD,CE交于点F，AB=AC．
(1)求证：△ABD≌△ACE．
(2)当∠A=40°时，求∠BFC的度数．
题型15 三角形折叠中的角度问题
45．（2023·河南商丘·统考三模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，点D为AB的中点，点P为AC上一个动点，将△APD沿DP折叠得到△QPD，点A的对应点为点Q，当PQ⊥AB时，∠ADP的度数为 ．
46．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点E处，∠1=56°，∠ABC=70°，则∠2的度数为 ．
47．（2023·浙江湖州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，D为AC边上一点，沿BD将三角形进行折叠，使点A落在点E处，记BE与AC边的交点为F，若DE⊥AC，则CF的长为 ．
48．（2022·江西赣州·统考二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将△ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A'处，若A'P∥AC，则∠PDA'的度数为 ．
题型16 应用三角形内角和定理解决三角板问题
49．（2023·河南南阳·统考二模）将一块含30°角的三角板和一把对边平行的直尺按如图所示的方式放置，若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．70°B．75°C．80°D．85°
50．（2023·广东汕头·汕头市金禧中学校考一模）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A．55°B．45°C．35°D．30°
51．（2023·北京通州·统考一模）如图，一副三角板拼成如图所示图形，则∠BAC的度数为（ ）
A．75°B．60°C．105°D．120°
52．（2023·湖北恩施·统考二模）将一副直角三角板按如图所示位置摆放(∠D=∠ECF=90°)，点C在直角边BD上，点F在直角边AD上，若∠AFE=160°，则∠BCE= ．
题型17 应用三角形内角和定理探究角的数量关系
53．（2021·广东清远·校考一模）如图，点D是锐角∠AOB内一点，DE⊥OA于点E，点F是线段OE的一个动点，点G是射线OB的一个动点，连接DF、FG、GD，当△DFG的周长最小时，∠FDG与∠AOB的数量关系式是 ．
54．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）（1）问题解决：如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，若∠A=62°，求∠BOC的度数；（写出求解过程）
（2）拓展与探究
①如图1，△ABC中，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是______；（请直接写出你的结论）
②如图2，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是______；（请直接写出你的结论）
③如图3，BO、CO分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，O为BO、CO交点，则∠BOC与∠A的关系是______．（请直接写出你的结论）
55．（2018·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．
(1)如图①，当点D在线段BC上，如果α=60°，β=120°；
如图②，当点D在线段BC上，如果α=90°，β=90°；
如图③，当点D在线段BC上，如果α，β之间有什么样的关系？请直接写出．
(2)如图④，当点D在射线BC上，（1）中结论是否成立？请说明理由；
(3)如图⑤，当点D在射线CB上，且在线段BC外，（1）中结论是否成立？若不成立，请直接写出你认为正确的结论．
题型18 三角形内角和定理与新定义问题综合
56．（2021·江苏南京·统考二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：
①∠BCD=∠A+∠B+∠D；
②若AB=AD,BC=CD，则AC⊥BD；
③若∠BCD=2∠A，则BC=CD；
④存在凹四边形ABCD，有AB=CD,AD=BC．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①③④
57．（2023·广东阳江·统考三模）定义：△ABC中，∠A+2∠B=90°，则称△ABC为倍余三角形．
(1)下列说法正确的是 ．
①倍余三角形一定是钝角三角形；
②等腰三角形不可能是倍余三角形．
(2)如图1，△ABC内接于⊙O，点D在直径BC上(不与B，C重合)，满足AB=AD，求证：△ACD为倍余三角形；
(3)在（2）的条件下，
①如图1，连接AO，若△AOD也为倍余三角形，求∠C的度数；
②如图2，过点D作DE⊥BC交AC于点E，若△ABC面积为△ADE面积的7.5倍，求ADBC的值．
58．（2022·江苏扬州·统考二模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“好角”．
(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的“好角”，若∠A=α，则∠E=______；（用含α的代数式表示）
(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，点D是优弧ACB的中点，直径BF⊥弦AC，BF、CD的延长线于点G，延长BC到点E．求证：∠BGC是△ABC中∠BAC的“好角”．
(3)如图3，△ABC内接于⊙O，∠BGC是△ABC中∠A的“好角”，BG过圆心O交⊙O于点F，⊙O的直径为8，∠A=45°，求FG．
59．（2021·河南信阳·统考一模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．
(2)如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD=BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
60．（2020·江西南昌·模拟预测）定义：有一组邻角相等，对角线相等，且对边不相等的凸四边形叫做“等邻对角四边形”，如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠DCB,AC=DB,AB>CD，四边形ABCD即为“等邻对角四边形”．
概念理解
（1）①如图2，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AC,AB上，CD=2，当BE的长为_______时，四边形EBCD为“等邻对角四边形”．
②如图3，在△ABC中，点E，D在AC上，点F在AB上，BF=CE，四边形FBCD为“等邻对角四边形”，若∠BDC=110°，则∠BFC的度数为___________．
性质探究
（2）根据图1及其条件，探究∠BAC与∠CDB的数量关系．
问题解决
（3）如图4，在“等邻对角四边形”ABCD中，AB>CD,∠ABC=∠DCB,AB=3,AD=1,AD与BC的延长线相交于点E．若DE=8，求CD的长，并指出∠BDC的度数是否可以等于90°，不必说明理由．
题型19 应用三角形外角的性质求角度
61．（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点A落在矩形纸片的一边上，若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．155°B．145°C．120°D．105°
62．（2023·浙江温州·校联考三模）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，连结AE，AC，已知AE=CE，AB=BE，记∠ACB=α，则用α的代数式表示∠ACD的度数为（ ）
A．2α B．90°−2α C．3α D． 180°−4α
63．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE=EF=DF，那么∠BAC的度数为 ．
64．（2023·河南新乡·校联考二模）如图，∠A+∠1=40°，CD⊥AE，则∠2的度数为 ．
题型20 三角形的外角性质与角平分线的综合
65．（2020·浙江绍兴·模拟预测）如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=60°，则∠AED= ．
66．（2020·浙江杭州·模拟预测）问题情景：
如图1，AB//CD，∠A=30°，∠C=42°，求∠AEC的度数．
小明的思路：
（1）初步尝试：按小明的思路，求出图1中∠AEC的度数．
（2）问题拓展：在（1）的基础上作如图2，AP平分∠BAE，PC平分∠DCE，AP与CP交于点P，直接写出求出∠APC的度数，不需要理由．
（3）问题迁移1：如图3，AB//CD，当E在直线AB上方时，若∠EAB=α，∠ECD=β，∠EAB和∠ECD的平分线交于点P1，请猜想∠E与∠P1的数量关系，并说明需要理由；
（4）问题迁移2：如图4，AB//CD，当点E在直线AB的上方时，∠EAB的角平分线的反向延长线和∠ECD的补角的角平分线交于点M，直接说出猜想∠M与∠E的数量关系，不需要理由．
题型21 三角形的外角性质与平行线的综合
67．（2023·河南南阳·统考一模）如图所示，∠AOB的一边OB为平面镜，∠AOB=40°，一束光线（与水平线AO平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在OA上的点E处，则∠AED的度数是（ ）
A．40°B．80°C．100°D．120°
68．（2021·浙江杭州·统考一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3，可判断直线m与直线n是否平行的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
69．（2023·陕西榆林·校考三模）如图，AB∥CD,∠D=40°,∠F=26°，则∠B的度数为（ ）
A．66°B．60°C．56°D．50°
70．（2023·河南周口·校联考三模）空竹是我国传统的一项游戏，其器材简单但是动作花样繁多，深受大众喜爱．彤彤在跑步时发现广场上抖空竹的老奶奶的某个动作可以抽象成一个简单的数学图形，如图所示，AB∥CD，∠DCE=92°，∠BAE=115°，则∠E的度数是 ．
题型22 应用三角形的外角性质解决折叠问题
71．（2023·广东广州·校联考一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=40°，点D为BC上一点，把△ABD沿AD折叠到△AB'D，点B的对应点B'恰好落在边BC上，则∠CAB'的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
71．（2022·海南省直辖县级单位·统考二模）如图，在△ABC中，点D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC边上的高，若沿AE所在直线折叠，点C恰好落在点D处，若AB=3，则△ADC的周长等于（ ）
A．1B．3C．2D．3
73．（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ABC中，∠A比∠B大70°，点D为AB上一点，将△ABC沿直线CD折叠，使点A的对应点A'落在边BC上，则∠ADC= °．
题型23 三角形内角和定理与外角和定理综合
74．（2021·福建·校联考一模）如图，其中的△ABE和△ADC是由△ABC分别沿着直线AB，AC折叠得到的，BE与CD相交于点I，若∠BAC＝140°，则∠EIC＝ °．
75．（2022下·江苏南京·九年级统考期中）如图，在扇形AOB中，D为AB上的点，连接AD并延长与OB的延长线交于点C，若CD=OA，∠O=75°，则∠A的度数为（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
76．（2022上·重庆·九年级重庆八中校考期末）如图，在▱ABCD中，∠DAM=19°，DE⊥BC于E，DE交AC于点F，M为AF的中点，连接DM，若AF=2CD，则∠CDM的大小为（ ）．
A．112°B．108°C．104°D．98°
77．（2018·青海·中考真题）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90∘，∠C=90∘，∠A=45∘，∠D=30∘，则∠1+∠2等于( )
A．150∘B．180∘C．210∘D．270∘
1．（2023·福建·统考中考真题）若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A．1B．5C．7D．9
2．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE,AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S,S1,S2，若要求出S−S1−S2的值，只需知道( )
A．△ABE的面积B．△ACD的面积C．△ABC的面积D．矩形BCDE的面积
3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F，若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．14C．18D．24
4．（2023·山东·统考中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1
5．（2022·浙江杭州·统考中考真题）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（ ）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
6．（2023·山西·统考中考真题）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1=155°,∠2=30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
7．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行，∠ABD=50°，则∠ACB=（ ）
A．70°B．65°C．60°D．50°
8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图， AB∥CD，且∠A=40°，∠D=24°，则∠E等于（ ）
A．40°B．32°C．24°D．16°
9．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含30°角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果∠1=70°，则∠2的度数为（ ）．
A．110°B．70°C．40°D．30°
10．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在MO的延长线及ON上取点A，B，使OA=OB；（3）连接AB，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线a∥b．按以上作图顺序，若∠MNO=35°，则∠AOC=（ ）
A．35°B．30°C．25°D．20°
11．（2023·江苏盐城·统考中考真题）小华将一副三角板（∠C=∠D=90°，∠B=30°，∠E=45°）按如图所示的方式摆放，其中AB∥EF，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
12．（2023·安徽·统考中考真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD=12BC+AB2−AC2BC．当AB=7,BC=6，AC=5时，CD= ．
13．（2023·吉林·统考中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
14．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在△ABC中，若DE∥BC,FG∥AC,∠BDE=120°,∠DFG=115°，则∠C= °．
15．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<75°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．
16．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在等腰△ABC中，∠A=120°，顶点B在▱ODEF的边DE上，已知∠1=40°，则∠2= ．
17．（2022·江苏镇江·统考中考真题）一副三角板如图放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，则∠1= °．
18．（2022·山东青岛·统考中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在△ABC和△A'B'C'中，AD,A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D'，则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用S△ABC，S△A'B'C'分别表示△ABC和△A'B'C'的面积．
则S△ABC=12BC⋅AD,S△A'B'C'=12B'C'⋅A'D'，
∵AD=A'D'
∴S△ABC:S△A'B'C=BC:B'C'．
【性质应用】
(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S△ABD:S△ADC=__________；
(2)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3，S△ABC=1，则S△BEC=__________，S△CDE=_________；
(3)如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点，若BE:AB=1:m，CD:BC=1:n，S△ABC=a，则S△CDE=__________．
证明：如图，过点E作直线AB，
使得AB∥CD，
∴∠2＝∠D（*），
∴∠1+∠@＝180°，
∴∠C+∠D+∠CED＝180°．
定理：三角形的内角和为180°．
已知：△ABC．
求证：∠A+∠B+∠ACB=180°．
证明：延长BC到点D，过点C作CE∥@，
∴∠A=◎（两直线平行，内错角相等），
∠B=___▲______（_____※______）．
∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）．
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