上海华师一附中2024届高三数学独立作业（1）答案

这是一份上海华师一附中2024届高三数学独立作业（1）答案，共16页。试卷主要包含了BD，ACD等内容，欢迎下载使用。

【分析】根据题意，化简集合，然后由交集的运算即可得到结果.
【详解】由题意可得，集合，即集合中的元素是的倍数，
集合，即集合中的元素是的倍数余，
故既是的倍数，又是的倍数余，
所以
故选:B
2．D
【分析】根据给定条件，利用两个计数原理结合位置关系及相邻问题列式计算作答.
【详解】求不同排除方法数有两类办法：
乙丙站前排，有种方法，甲站后排有种方法，排余下3人有，乙丙的排列有种，不同排法数为种，
乙丙站后排，有种方法，甲站后排有1种方法，排余下3人有，乙丙的排列有种，不同排法数为种，
所以不同的排队方法有：（种）.
故选：D
3．A
【分析】根据投影向量公式以及向量夹角的余弦公式求得结果.
【详解】∵在上的投影向量为，
，
，又是两个单位向量，即，
.
故选：.
4．B
【分析】利用赋值法得到，，结合二项式展开式的系数正负得到的值，进而求出答案.
【详解】中，令得，
的通项公式，故，
中，
令，得，
所以，
又，所以.
故选：B．
5．C
【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.
【详解】由，
得，
所以为偶函数，故排除BD.
当时，，排除A.
故选：C.
6．B
【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.
【详解】由题意可知，，
则数学成绩位于[80，88]的人数约为.
故选：B
7．A
【分析】根据条件列出关于等差数列基本量的方程组，即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，，
因为成等比数列，所以，即，
因为，所以，
所以.
故选：A
8．C
【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.
【详解】，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
，即，即，故C正确；
，即，即，故D不正确；
故选：C.
9．BD
【分析】根据复数与共轭复数的概念、复数的运算逐项判断即可.
【详解】当复数时，，，故A错；
设（a，），则，所以，故B对；
设（，），（，），
由可得，
所以，
而，不一定为0，故C错；
设（a，），则为纯虚数．
所以，则，故D对．
故选：BD．
10．ACD
【分析】A选项，连接，使相交于F，连接EF，通过证明即可判断选项正误；B选项，通过证明平面，可得二面角A1－EC－A的平面角为；C选项，利用等体积法结合可得答案；D选项，利用正弦定理，可得外接圆半径，后可得球的半径.
【详解】A选项，连接，使相交于F，连接EF，因F，E分别为中点，
则，因平面，平面，则BC1平面A1EC，故A正确；
B选项，由题可得平面ABC，又平面ABC，则.又，
，平面，平面，则平面.
又平面，则，结合，可知二面角A1－EC－A的平面角为，则，故B错误；
C选项，设点A到平面A1BC1的距离为d，取AC中点为G，连接BG.
则，
又，，，由余弦定理可得，则，
得.则，故C正确.
D选项，设外接圆半径为，由正弦定理，.
又设三棱锥外接球半径为，则三棱锥外接球与以外接圆为底面的圆柱外接球相同，则.故D正确
故选：ACD
11．AD
【分析】由，若结合已知可得，设且，应用点在双曲线上、两点距离公式求坐标，写出直线求出坐标，进而判断各项的正误即可.
【详解】由题设，若，则，
，即，可得，
若且，则，可得，故，
所以，直线为，即，而渐近线为，
所以，，则，
又，可得（舍）或，故，
所以，即，A正确；而，B错误；
令，则，可得，故过垂直于x轴所得弦长为8，
而过和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过的双曲线的最短弦为2，C错误；
由到的距离为，到的距离为，
所以B到两条渐近线的距离的积为，D正确.
故选：AD
12．BCD
【分析】由题意，求导即可判断A，证明四边形为菱形即可判断B，由
即可判断C，证明四边形为平行四边形，再结合基本不等式即可判断D.
【详解】因为曲线：，即，所以，
设点，则，
所以切线的方程为，
当时，切线方程为，故A错误：
由题意，
所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，可得平分角，故B正确：
因为，，
所以，
，
所以，故C正确：
直线方程：，可得，所以，
又，所以且，
所以四边形为平行四边形，故．
，
因为与不垂直，所以，所以，
即成立，故D正确；
故选：BCD．
13．
【分析】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，由题有，即可得答案.
【详解】设患肺癌为事件A，吸烟为事件B，则
，不吸烟者中患肺癌的概率为.
又由全概率公式有，
则，解得．
故答案为：
14．
【分析】把转化为，利用差角的正弦公式化简即得解.
【详解】原式
故答案为：
15．8
【分析】由长方体模型得出，再由基本不等式得出最值.
【详解】设，因为三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以由长方体模型可知，，即.
，当且仅当时，取等号.
即的最大值为.
故答案为：
16．
【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可.
【详解】设，，设：，又，∴，
∴，∴．
∴，∴，
∴直线AB恒过点，
由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即
当直线时，弦长最短，此时弦最小为．
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）将换为代入中化简，根据定义即可判断为等比数列，由首项公比写出通项公式即可；
（2）由（1）中的通项公式求得，再利用乘公比错位相减得出前n项和即可.
【详解】（1）解：因为，所以，
又，所以 ，所以 ，又，
所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以；
（2）由（1）知，，所以 ，
所以，
，
两式相减可得：，
所以 ，故.
18．（1）
（2）L∈（6，9]
【分析】（1）由条件可得，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得，进而求出A；
（2）利用余弦定理再结合基本不等式，求得3＜b+c≤6，即可得到周长L的范围．
【详解】（1）由题意，，．
所以，
由正弦定理，可得，
因为，所以sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC，
又由，则，
整理得，又因为，所以．
（2）由（1）和余弦定理，即，
即，整理得，
又由（当且仅当b=c=3时等号成立）
从而，可得b+c≤6，
又b+c＞a=3，∴3＜b+c≤6，从而周长L∈（6，9].
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
19．(1)分布列见解析，
(2)（i）200；（ii） 199或200
【分析】（1）根据超几何概率公式即可求解概率，进而得分布列和期望，
（2）根据抽样比即可求解总数，根据最大似然思想结合概率的单调性即可求解最大值.
【详解】（1）,
故分布列为：
.
（2）（i）设池塘乙中鱼数为,则,解得,故池塘乙中的鱼数为200.
（ii）设池塘乙中鱼数为,令事件“再捉20条鱼,5条有记号”,事件“池塘乙中鱼数为”
则,由最大似然估计法,即求最大时的值,其中,
当时，
当时，
当时
所以池塘乙中的鱼数为199或200.
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形，即可证明平面；
（2）根据题意可知，以为原点建立空间直角坐标系，可设利用空间向量即可表示出，进而确定点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为.
【详解】（1）证明：
连接，如下图（1）中所示：
因为四边形为平行四边形，所以是中点，
又点为线段的中点，则，且,
又且，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；

（2）以为原点，为轴，过且在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：
由平面⊥平面，，可知，
均为边长为2的正三角形，
则有，
设，
则，
为平面的法向量，
所以，
解得（其中舍去）,所以，
设平面的法向量为，则有，
令，则，故可取．
设平面的法向量为，则有，
令，则，故可取
所以．
所以二面角的正弦值为．
即二面角的正弦值为.
21．(1)
(2)在区间上的零点个数为2
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，解得即可；
（2）由（1）知，求出函数的导函数，令，利用导数说明的单调性，即可得到在上的零点情况，当时，将变形得，令，利用导数说明的单调性，即可判断其零点个数，从而得解.
【详解】（1）因为，则，
由题意得，函数的图象在点处的切线斜率为，
即，解得．
（2）由（1）知，，，
令，则．
当时，，，此时，单调递增，
，故函数单调递减，
所以，故函数在上无零点．
当时，将变形得，
设，则，
设，则，
易知当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，又，，，
故存在，使，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，又，故，又，
故函数在上没有零点，在上有1个零点．
综上所述，在区间上的零点个数为2．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22．(1)
(2)证明见解析
(3)定值，
【分析】（1）设：，联立得，利用韦达定理结合关系，即可求出，得出椭圆的标准方程.
（2）设，由已知得，，根据过椭圆上任一点的切线斜率公式得出过点的切线方程斜率为，得出，联立椭圆方程利用韦达定理和化简得出，判断出是的中点，又结合，即可得证.
（3）设点到直线的距离为，结合（2）表示出和，即可判断结果.
【详解】（1）由题知，设椭圆方程为，
设：，，则，
联立得，
因为线段的中点坐标为，
所以，
，
所以，再代入得，
又，
所以，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
则，因的中点为，所以，
根据已知，过点的切线方程斜率为，
又，知，
所以：，
即，，
联立得，
所以，
，
可得，
即是的中点，
又，知是的中点，
所以四边形是平行四边形.
（3）由（2）知，，，
，
：，即，
设点到直线的距离为，
所以
，
，
所以，
所以四边形的面积为.
即四边形的面积是定值，且为.

【点睛】方法点睛：直线与椭圆的综合问题，其应用主要从以下几个角度进行：
（1）待定系数法求解椭圆方程；
（2）联立方程，韦达定理是常用到的方法；
（3）考查计算能力较大，解答过程中要注意各点横纵坐标的表示.
（4）考查数形结合思想的应用.
0
1
2