湖南省长沙市2024年初中学业水平考试冲刺试卷（二）数学

这是一份湖南省长沙市2024年初中学业水平考试冲刺试卷（二）数学，共13页。试卷主要包含了39×102B．83等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．在实数-3.14，2，0，π2，16，57，311，2.1010010001⋯中，无理数的个数有（ ）
A．3个B．2个C．1个D．4个
2．2023年上半年，全省脱贫地区共投入农业特色产业发展财政资金83.9亿元，其中数据83.9亿用科学记数法表示为（ ）
A．8.39×102B．83.9×104C．8.39×103D．8.39×109
3．以下字母中是中心对称图形的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体个数最少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．在市长杯足球比赛中，五支球队的进球数分别为3，5，8，4，8，这组数据的中位数是（ ）
A．3B．4C．5D．8
6．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1=75°，则∠2=（ ）
A．105°B．115°C．15°D．75°
7．双海湖景点工程要限期完成，甲工程队独做可提前一天完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x天，则下面所列方程正确的是（ ）
A．1x+1+xx-6=1B．1x-1=xx+6
C．4x-1+xx-6=1D．4x-1+xx+6=1
8．如图，直线y=-x+b与反比例函数y=kx的图象交于点A,B，点A,B的横坐标分别为1,4，则S△OAB=（ ）．

A．152B．15C．10D．5
9．微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：个人一天中走路步数达到10000及以上可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，如果步数在10000及以上，每步可捐0.0002元．例如小明某天的步数为13000，则可捐2.6元；若一天的步数为8000，则无捐赠资格．已知甲、乙、丙三人某天通过步数共捐赠了6.4元，且甲的步数<乙的步数<丙的步数，则下面说法不正确的是（ ）
A．甲可能走了10000步B．乙可能走了17000步
C．丙可能走了20000步D．甲、乙、丙三人可能共走了50000步
10．如图.我们按规律将正整数填入平面直角左边系的部分对应点，若将点n,-1上的数字记作an，如a1=3，a2=8，a3=15，则1a1+1a2+1a3+···+1a10的值是（ ）
A．175264B．175132C．1124D．1148
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世的年龄为 岁．
12．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4-y4，因式分解的结果是x-yx+yx2+y2，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：(x-y)=0，(x+y)=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3-xy2，取x=27，y=3时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）．
13．一个飞镖盘被分成了七个相同的扇形区域，且规定射中两个扇形的交线时当作射中右边的扇形，则在射中镖盘的条件下射中红色区域的概率为 ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=6，E是AD上一点，AE=1，P是BC上一动点，连接AP，取AP的中点F，连接EF，当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是 ．
15．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 cm．
16．如果抛物线y=x2+mx+n与x轴交于点A(a,0)、B(b,0)，且OA+OB≤1，记n的最大值为nmax，n的最小值为nmin，那么nmax+nmin= ．
三、解答题（本大题共9小题，第17-19题每小题6分，第20-21题每小题8分，第22-23题每小题9分，第24-25题每小题10分）
17．计算：|1-3|-(4-π)0+2×32+14-1．
18．先化简，再求值：x-1x-2-x+2x÷4-xx2-4x+4，其中x=2．
19．“惠山之眼”亮了，位于惠山大道东侧的摩天轮终于焕发光彩，成为地标性网红打卡点．如图，某人站在距离革天轮60米的点A处（即AB=60米），以30°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最低处的C点，在原地再以60°的仰角恰好看到摩天轮圆轮最高处的D点．（人的身高忽略不计）

(1)求摩天轮的最低处到地面的距离CB的长；
(2)求摩天轮圆轮直径CD的长．
20．全校学生进行了一次心理健康知识竞赛，现从男、女生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩x，将20名学生的成绩分为四组（A：60≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100）进行整理，部分信息如下：
女生的竞赛成绩：76，100，87，100，92，94，91，100，94，86．
男生的竞赛成绩在C组中的数据为：83，84，86，88．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)a=______，b=______，c=______；
(2)已知全校共有1400名学生，给竞赛成绩x≥90的学生发证书，请估计该校应准备多少张证书？
21．如图．△ABC为等边三角形，点E，F分别在边AC，BC上，AE=CF，BE=10，AF与BE相交于点D，AD=3．
(1)求证：△ABF≌△BCE；
(2)求DF的长度．
22．为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
(1)参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
(2)请你设计一种租车方案，要求每位师生都有座位，费用又最省？
23．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．
(1)若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；
(2)当点G在边CD上运动时，点F到边CD的距离是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
(3)试说明当点G运动到何处时，△FCG的面积最小，并求出这个最小值．
24．如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=4，点O在边AB上，且AO=2，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为xx>0．
(1)在图1中，劣弧PE的长为________；
(2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示．
①求x的值；
②已知M，N分别是边BC与DE上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和；
(3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与△ABC的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围．
25．定义：由两条与x轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．
【概念理解】
（1）抛物线y1=2x-1x-2与抛物线y2=x2-3x+2是否围成“月牙线”？说明理由．
【尝试应用】
（2）抛物线y1=12(x-1)2-2与抛物线y2=ax2+bx+ca>12组成一个如图所示的“月牙线”，与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A,B．
①求a:b:c的值．
②已知点Px0,m和点Qx0,n在“月牙线”上，m>n，且m-n的值始终不大于2，求线段AB长的取值范围．
性别
平均数
中位数
最高分
众数
男生
83
a
98
76
女生
b
93
100
c
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
45
60
租金（元/辆）
1200
1800
参考答案与解析
一、选择题
填空题
11．36 12．273024或272430 13．37
14．5 15．18 16．12
解答题
17．【详解】原式=3-1-1+3+4
=23+2
18．【详解】解：x-1x-2-x+2x÷4-xx2-4x+4
=xx-1xx-2-x+2x-2xx-2÷4-xx2-4x+4
=4-xxx-2×x2-4x+44-x
=x-2x，
当x=2时．代入原式=2-22=1-2．
19．【详解】（1）根据题意可得：tan30°=CBAB，
∴CB=AB⋅tan30°=60×33=203（米）
摩天轮的最低处到地面的距离CB的长为203米．
（2）∵tan60°=DBAB，
∴DB=AB⋅tan60°=603（米），
∴CD=DB-CB=603-203=403（米）
即摩天轮圆轮直径CD的长为403米．
20．【详解】（1）解：中位数a=83+842=83.5，
平均数b=110×76+100+87+100+92+94+91+100+94+86=92，
众数c=100，
故答案为：83.5，92，100；
（2）1400×7+220=630（人）
答：估计该校应准备630张证书．
21．【详解】（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=CA=BC，
∵AE=CF，
∴CA-AE=BC-CF，即CE=BF，
在△ABF和△BCE中，AB=BC∠ABC=∠CCE=BF，
∴△ABF≌△BCESAS；
（2）∵△ABF≌△BCE，
∴AF=BE，
∵AF=AD+DF，AD=3，
∴DF=7．
22．【详解】（1）解：设参加此次研学活动的师生人数是x人，原计划租用y辆45座客车，
根据题意，得45y+15=x60(y-3)=x，解得x=600y=13，
答：参加此次研学活动的师生人数是600人，原计划租用13辆45座客车．
（2）解： 设租a辆45座客车，b辆60座客车，刚好师生都有座位，则
45a+60b=600，解得整数解为a=4b=7，a=8b=4，a=12b=1，
当a=4b=7时，费用：1200×4+1800×7=17400，
当a=8b=4时，费用：1200×8+1800×4=16800，
当a=12b=1时，费用： 1200×12+1800×1=16200，
由（1）得只租用45座客车，则需要14辆，费用：14×1200=16800，
只租用60座客车，则需要10辆，费用：10×1800=18000，
∵ 18000>17400>16800>16200，
∴租用12辆45座客车，1辆60座客车费用最省．
23．【详解】（1）∵矩形ABCD，菱形EFGH，
∴∠D=∠A=90°，HG=HE，
又AH=DG=2，
∵HE=HGAH=DG，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH．
∴∠AHE=∠DGH．
∵∠DHG+∠DGH=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°．
∴∠EHG=90°．
∴四边形EFGH为正方形．
（2）距离是定值2．理由如下：
过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE．
∵矩形ABCD，菱形EFGH，
∴AB∥CD，HE∥GF，
∴∠AEG=∠MGE．
∴∠HEG=∠FGE．
∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中，∠AEH=∠MGF∠A=∠MHE=FG，
∴Rt△AHE≌Rt△MFG．
∴FM=AH=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．
解法2距离是定值2．理由如下：
过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，过F作FN⊥BC于点N．
∵矩形ABCD，菱形EFGH，
∴AB∥GM∥FN，HE∥GF，HE=GF，
∴∠GFN=∠MGF，∠NFE=∠BEF，∠GFE+∠HEF=180°，
∠AEH+∠FEB+∠HEF=180°．
∴∠AEH+∠FEB=∠GFE=∠GFN+∠NFE．
∴∠AEH=∠GFN．∴∠AEH=∠MGF．
在△AHE和△MFG中，∠AEH=∠MGF∠A=∠MHE=FG，
∴Rt△AHE≌Rt△MFG．∴FM=AH=2，
即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．
（3）设DG=x，∵FM=2，
∴S△FCG=12·x·FM=7-x．
在△AHE中，AE≤AB=7，
∴HE2=AH2+AE2≤4+49=53．
在△DGH中，
∴x2+16=HG2=HE2≤53．
∴x≤37．
∴S△FCG的最小值为7-37，此时DG=37．
∴当DG=37时，△FCG的面积最小为7-37．
24．【详解】（1）解：如下图，连接OP；
∵OP=OA，∠BAC=30°；
∴∠POE=60°；
∴劣弧PE =60180×π×2=23π．
（2）①连接PO，∵边AC与半圆O相切；
∴∠APO=90°；
∵∠BAC=30°，OP=2；
∴AO=4；
∴AD=x=AO-OD=2；
②如下图，当OM⊥BC时，OM与弧DE交于点N，此时MN最小；
∵OA=4；
∴OB=AB-OA=4；
∵OM⊥BC；
∴∠OMB=90°；
∵∠C=90°，MO∥AC，
∴∠BOM=∠BAC=30°，
∴MB=2，
∴根据勾股定理可得OM=23，
∴MN=23-2；
如图2，当点M与点B重合时，点N与点D重合时，此时MN最大，MN=OB+OD=6；∴MN的最小值和最大值之和为23-2+6=23+4．
（3）解：x的取值范围是2≤x≤6-433；
如图3，半圆O与BC相切，连接OP，
∴∠OPB=90°，
∴AC∥OP，
∴∠BOP=∠BAC=30°，
∴BP=12OB；
根据勾股定理可得OB2=BP2+OP2，解得OB=433.
∵OD=2；
∴AD=AB-OD-OB=6-433；
∴半圆O与△ABC的重叠部分是半圆O时，x的取值范围是2≤x≤6-433.
25．【详解】解：（1）抛物线y1=2(x-1)(x-2)与抛物线y2=x2-3x+2围成“月牙线”；理由如下：
在y1=2(x-1)(x-2)中，令y=0得x=1或x=2，
∴抛物线y1=2(x-1)(x-2)与x轴的交点为(1,0)和(2,0)；
在y2=x2-3x+2中，令y=0得x=1或x=2，
∴抛物线y2=x2-3x+2与x轴交点为(1,0)和(2,0)，
∴抛物线y1=2(x-1)(x-2)与抛物线y2=x2-3x+2与x轴有相同的交点，
又抛物线y1=2(x-1)(x-2)与抛物线y2=x2-3x+2开口方向相同，
∴抛物线y1=2(x-1)(x-2)与抛物线y2=x2-3x+2围成“月牙线”；
（2）①在y1=12(x-1)2-2中，令y=0得x=3或x=-1，
∴抛物线y1=12(x-1)2-2与x轴交点为(3,0)和(-1,0)，
把(3,0)和(-1,0)代入y2=ax2+bx+c得：
9a+3b+c=0a-b+c=0，
解得b=-2ac=-3a，
∴a:b:c=a:(-2a):(-3a)=1:(-2):(-3)；
∴a:b:c的值为1:(-2):(-3)；
②由①知，y2=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a，
∴抛物线y2=ax2-2ax-3a的顶点为(1,-4a)，
∵抛物线y1=12(x-1)2-2的顶点为(1,-2)，a>12，
∴-4a<-2，
∴抛物线y1=12(x-1)2-2在抛物线y2=ax2-2ax-3a上方；
∴m=12(x0-1)2-2，n=ax02-2ax0-3a，
∴m-n=12(x0-1)2-2-(ax02-2ax0-3a)=(12-a)x02+(2a-1)x0+3a-32，
∵m-n的值始终不大于2，
∴ 4×12-a⋅3a-32-(2a-1)24×12-a≤2，
整理得：2a2-3a+1≤0，
解得12≤a≤1，
∵a>12，
∴ 12在y1=12(x-1)2-2中，令x=0得y=-32，
∴A0,-32，
在y2=ax2-2ax-3a中，令x=0得y=-3a，
∴B(0,-3a)；
∴AB=-32-(-3a)=3a-32，
∵ 12∴0<3a-32≤32，
∴线段AB长的取值范围是0题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
D
D
C
B
C
A
D
A
B
A