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2023年广东省深圳市光明区公明中学中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年广东省深圳市光明区公明中学中考数学三模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，倒数是它本身的数是( )
A. 1B. 0C. 2D. −2
2.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为( )
A. 8.23×10−6B. 8.23×10−7C. 8.23×106D. 8.23×107
3.下列运算中，正确的是( )
A. x3⋅x3=x6B. 3x2÷2x=x
C. (x2)3=x5D. (x+y)2=x2+y2
4.如图，某几何体由6个大小相同的小立方体组成，则它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为(m,3)，其关于y轴对称的点F的坐标为(4,n)，则m+n的值为( )
A. −1
B. 0
C. 1
D. −9
6.已知不等式组x<12x−1≥−5，其解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行.将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为27°，那么被测物体表面的倾斜角α为( )
A. 63°B. 36°C. 27°D. 18°
8.由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=( )
A. 13B. 12C. 33D. 32
9.如表中列出的是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是( )
A. abc<0
B. 这个函数的最小值是−12
C. 一元二次方程ax2+bx+c+8=0的根是x1=0，x2=3
D. 当x>1时，y的值随x值的增大而增大
10.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，AE，AF分别交BD于点G，H，则图中阴影部分图形的面积之和与平行四边形ABCD的面积之比为( )
A. 712B. 724C. 1336D. 1372
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：2a2+4a+2=______．
12.有6张背面完全相同的卡片，正面分别标有0，1，−1，2，−2，3，把这6张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张，卡片上的数是负数的概率为______．
13.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P(4,4)处，木杆AB两端的坐标分别为(0,2)，(6,2).则木杆AB在x轴上的影长CD为______．
14.如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB点D，则∠ACD的度数等于______．
15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，连接BD，过点A作AH⊥BD于点H，连接CH.若AB=CH，AH=6，则CH的长为________．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：2cs30°−(π−4)0+(12)−1−|− 3|．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2，其中x=2+ 2．
18.(本小题8分)
为提高学生数学运算能力核心素养，某中学开展了速算能力竞赛.为了解学生某一周的计算训练情况，学校随机抽取部分学生，并对该周学生计算训练次数进行了统计，绘制成两幅尚不完整的统计图，如图．
(1)本次抽取的学生共______人，抽取学生这周训练次数的众数是______，中位数是______；
(2)请先计算，再将条形统计图补充完整．
(3)若规定周训练5次以上(含5次)者为“数学学习优秀学员”，则该校七年级900名学生中估计有多少人为“数学学习优秀学员”？
19.(本小题8分)
如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交圆于点F，连接AD，EF．
(1)求证：∠ACD=∠F；
(2)若tan∠F=13，求证：四边形ABCD是平行四边形．
20.(本小题8分)
在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本)；
(2)当每盒产品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
21.(本小题8分)
如图1，木匠陈师傅现有一块五边形ABFED木板，它是矩形ABCD木板用去△CEF后的余料，AD=4，AB=5，DE=1，F是BC边上一点.陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD上．
[初步探究]
(1)当BF=2时．
①若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积的最大值是 ；
②若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积的最大值是 ；
[问题解决]
(2)如图2，陈师傅还有另一块余料，∠BAF=∠AFE=90°，AB=EF=1，CD=3，AF=8，CD//AF，且CD和AF之间的距离为4，若以AF所在直线为x轴，AF中点为原点构建直角坐标系，则曲线DE是反比例函数y=kx图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNGH材料，其中一条边在AF上，所截矩形MNGH材料面积是736.求GN的长．
22.(本小题8分)
在四边形ABCD中，∠EAF=12∠BAD(E、F分别为边BC、CD上的动点)，AF的延长线交BC延长线于点M，AE的延长线交DC延长线于点N．
(1)问题证明：如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN∽△MCA；
(2)拓展应用：如图②所示平面直角坐标系，在△ABC中，∠BAC=45°，点A坐标为(−2,−2)，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数y=kx(x>0)图象经过BC上的点D，且BD：DC=1：2，求k的值．
(3)深入探究：如图③，若四边形ABCD是菱形，连接MN，当MN=MA时，且∠EAF=α，试用关于α的式子来表示CEBE的值，则CEBE= ______.(直接写出结果)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：倒数是它本身的数是±1，
故选：A．
根据倒数的定义，可知倒数是它本身的数是±1．
本题考查了倒数的意义，关键是搞清互为倒数的两数之积为1．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此解答即可．
【解答】
解：0.000000823=8.23×10−7．
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则及完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键．
分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则及完全平方公式进行计算即可．
【解答】
解：A、由同底数幂的乘法法则可知x3⋅x3=x6，故本选项正确；
B、由同底数幂的除法法则可知3x2÷2x=32x，故本选项错误；
C、由幂的乘方法则可知(x2)3=x6，故本选项错误；
D、由完全平方公式可知(x+y)2=x2+y2+2xy，故本选项错误．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：从左边看有两列，左边一列是三个小正方形，右边一列是两个小正方形．
故选：D．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】A
【解析】解：∵图中点E的坐标为(m,3)，其关于y轴对称的点F的坐标为(4,n)，
∴m=−4，n=3，
∴m+n=−4+3=−1，
故选：A．
利用轴对称的性质，求出m，n，可得结论．
本题考查坐标与图形变化−对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：解不等式2x−1≥−5得，x≥−2，
∴原不等式组的解集为−2≤x<1．
故选：C．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵MN//AB，OD⊥MN，
∴OD⊥AB，
∴∠PQO=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠ACP=90°，
∵∠APC=∠OPQ，
∴∠BAC=∠COD=27°，
∴被测物体表面的倾斜角α为27°．
故选：C．
由平行线的性质，垂直的定义得到∠PQO=90°，∠ACP=90°，由对顶角的性质得到∠APC=∠OPQ，由三角形内角和定理即可得到∠BAC=∠COD=27°．
本题考查垂直的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，关键是理解题意，应用以上知识点来解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，延长BC于点D，
∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，
∴OD=OB，OA=AD，
∵∠O=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BA⊥OD，∠ADB=60°，
∴∠ABC=180°−90°−60°=30°，
∴tan∠ABC=tan30°= 33，
故选：C．
延长BC于点D，根据菱形的性质可得：△OBD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BA⊥OD，∠ADB=60°，进而可得∠ABC=30°，进而可得tan∠ABC的值．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵抛物线经过点(0,−8)，(3,−8)，
∴抛物线对称轴为直线x=32，c=−8<0，
∵抛物线经过点(−2,12)，
∴当x<32时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴a>0，
∵−b2a=32，
∴b<0，
∴abc>0，故A不符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x=32，抛物线开口向上，
∴当x=32时，y有最小值，故B不符合题意；
∵抛物线经过点(0,−8)，(3,−8)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=−8的根是x1=0，x2=3，故C符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x=32，抛物线开口向上，
∴x>32时，y随x增大而增大，故D不符合题意．
故选：C．
根据抛物线经过点(0,−8)，(3,−8)可得抛物线对称轴为直线x=32，由抛物线经过点(−2,12)可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵BE//AD，E是BC的中点，
∴△BEG∽△DAG，
∴BGDG=BEDA=12，即BG=13BD，
同理可得，DH=13BD，
∴GH=13BD，
∴S△AGH=13S△ABD=16S四边形ABCD，
∵E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF//BD，EF=12BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴S△CEFS△CBD=(12)2=14，
∴S△CEF=14S△BCD=18S四边形ABCD，，
∴图中阴影部分图形的面积=(16+18)S四边形ABCD=724S四边形ABCD，
即图中阴影部分图形的面积与▱ABCD的面积之比为=7：24，
故选：B．
依据相似三角形的对应边成比例，即可得到GH=13BD，进而得出S△AGH=13S△ABD=16S四边形ABCD；依据三角形中位线定理，即可得到S△CEF=14S△BCD=18S四边形ABCD，据此可得阴影部分图形的面积与▱ABCD的面积之比．
本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
11.【答案】2(a+1)2
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，属于基础题．
原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式=2(a2+2a+1)
=2(a+1)2，
故答案为：2(a+1)2．
12.【答案】13
【解析】解：把这6张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张共有6种等可能结果，其中卡片上的数是负数的有2种结果，
所以把这6张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张，卡片上的数是负数的概率为26=13，
故答案为：13．
把这6张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张共有6种等可能结果，其中卡片上的数是负数的有2种结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
13.【答案】12
【解析】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，
∵P(4,4)，A(0,2)，B(6,2)．
∴PM=2，PE=4，AB=6，
∵AB//CD，
∴ABCD=PMPE．
∴6CD=24，
∴CD=12，
故答案为：12．
利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长．
本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．
14.【答案】50°
【解析】解：如图，作点D关于AC的对称点E，则点E在⊙O上，连接AE，由翻折的性质可知，AE=AD，CD=CE，∠CAE=∠CAD=20°，
∴CE=CB，
∴CD=CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BAC=20°，
∴∠B=∠BDC=90°−20°=70°，
∴∠ACD=∠BDC−∠BAC
=70°−20°
=50°．
故答案为：50°．
根据对称轴的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质进行计算即可．
本题考查翻折的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质是正确解答的关键．
15.【答案】6 3
【解析】解：延长BD点E，使BD=DE，作CE⊥DE，如图所示，
，
∴D是AC中点，
∴AD=CD，
在△ABD和△CED中，
AD=CD，∠ADH=∠CDF，BD=DE，
∴△ABD≌△CED(SAS)，
∴CH=CE，
∴CE=AB，△ECH为等腰三角形，
∵CF⊥HE，
∴HF=EF．
在△ADH和△CDF中，
∠ADH=∠CDF，∠AHD=∠CFD，AD=CD，
∴△AHD≌△CFD(AAS)，
∴HD=DF.AH=CF=6，
设DF=m，则EF=HF=2m，
∵∠E+∠FDC=90°，∠E+∠ECF=90°，
∴∠FDC=∠ECF，
∠EFC=∠ECD，
∴Rt△FEC∽Rt△FCD，
∴CFDF=EFCF，
∴CF²=DF×EF，
即36=m×2m，解得m=3 2，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得：
CE= CF2+EF2=6 3．
即CH=CE=6 3，
故答案为6 3．
已知D是中点，构造与△ABD、△ADH全等的三角形，找到AH与线段CH的关系，利用勾股定理进行求解．
本题主要考查勾股定理的使用，解题关键是利用中点构造全等三角形，将边进行转化，构造所需的直角三角形．
16.【答案】解：原式=2× 32−1+2− 3
= 3−1+2− 3
=1．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂，代入特殊角的函数值化简绝对值，再加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握特殊角的函数值、零指数、负整数指数幂的意义是解决本题的关键．
17.【答案】解：x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2
=(x+2)(x−2)(x−2)2×x+1x+2−xx−2
=x+1x−2−xx−2
=1x−2，
当x=2+ 2时，原式=1 2= 22．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】50 5 5
【解析】解：(1)本次抽取的学生有6÷12%=50(人)，
∵阅读5次的人数为50−(4+10+14+6)=16，
∴阅读次数的众数为5，中位数为5+52=5，
故答案为：50，5，5；
(2)补全图形如下：
(3)900×16+14+650=648(名)．
答：该校七年级900名学生中估计“数学学习优秀学员”的人数大约为648名．
(1)由7次人数及其所占百分比可得总人数，先求出阅读5次的人数，再根据众数和中位数的定义求解即可；
(2)根据以上所求结果即可补全图形；
(3)用总人数乘以样本中阅读5、6、7次人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】证明(1)∵CD与⊙O相切于点D，
∴半径OD⊥CD，
∵半径OD⊥直径AB，
∴CD//AB，
∴∠ACD=∠BAE，
∵∠F=∠BAE，
∴∠ACD=∠F；
(2)∵∠OAG=∠F，
∴tan∠OAG=tanF=13，
∴OGAO=13，
∵OD=OA，
∴OG：OD=1：3，
∴OG：GD=1：2，
∵CD//AO，
∴△AOG∽△CDG，
∴AO：CD=OG：DG=1：2，
∵AO：AB=1：2，
∴DC=AB，
∵DC//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】(1)由切线的性质得到半径OD⊥CD，又半径OD⊥直径AB，推出CD//AB，得到∠ACD=∠BAE，由圆周角定理得到∠F=∠BAE，即可证明∠ACD=∠F；
(2))由∠OAG=∠F，得到tan∠OAG=tanF=13，推出OG：GD=1：2，由△AOG∽△CDG，得到AO：CD=OG：DG=1：2，而AO：AB=1：2，得到DC=AB，又DC//AB，即可证明四边形ABCD是平行四边形．
本题考查切线的性质，平行四边形的判定，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得−=100，
解得m=3，
经检验m=3是方程的解，
∴1.5m=4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9=30(元)，
答：每盒产品的成本为30元；
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，
根据题意，得w=(x−30)[500−10(x−60)]=−10x2+1400x−33000=−10(x−70)2+16000，
∴当x=70时，每天的利润最大，最大利润为16000元，
答：当每盒产品的售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是16000元．
【解析】(1)根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本=原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；
(2)根据利润等于售价减去成本列出函数关系式，利用函数的性质求最值即可．
本题主要考查二次函数的性质和分式方程，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
21.【答案】4 10
【解析】解：(1)①当DE为矩形一条边，AD为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
∵AD=4，DE=1，
∴S=4×1=4，
∴截取的矩形面积的最大值4；
故答案为：4；
②当BF为矩形一条边，AB为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
∵AB=5，BF=2，
∴S=5×2=10，
∴截取的矩形面积的最大值10；
故答案为：10；
(2)∵AF=8，
∴A(−4,0)，F(4,0)，
∵AB=EF=1，
∴B(−4,1)，E(4,1)，
∵E点在函数y=kx图象上，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
∵CD和AF之间的距离为4，CD//AF，
∴D(1,4)，
∵CD=3，
∴C(−2,4)，
设直线BC的解析式为y=k′x+b，
∴−4k′+b=1−2k′+b=4，
解得k′=32b=7，
∴y=32x+7，
设G(4t,t)，则H(23t−143,t)，
∴S=(4t−23t+143)⋅t=736，
解得t=72，
∴GN的长为72．
(1)①当DE为矩形一条边，AD为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；
②当BF为矩形一条边，AB为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；
(2)由题意可知A(−4,0)，F(4,0)，B(−4,1)，E(4,1)，再由E点在函数y=kx图象上，求出反比例函数的解析式为y=4x，再求点D(1,4)，C(−2,4)，用待定系数法求出直线BC的解析式，设G(4t,t)，则H(23t−143,t)，再由方程S=(4t−23t+143)⋅t=736，求出t的值即可求GN的长．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积是解题的关键．
22.【答案】4cs2α
【解析】(1)证明：如图①，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ACB=∠ACD=45°，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠EAF=45°，
即∠CAN+∠CAM=45°，
∵∠CAN+∠N=∠ACD=45°，
∴∠N=∠CAM，
∵∠ACN=180°−∠ACD=135°，∠ACM=180°−∠ACB=135°，
∴∠ACN=∠ACM，
∴△ACN∽△MCA；
(2)解：如图②，过点A作AE⊥x轴于E，作AF⊥y轴于F，过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，
则∠AEO=∠AFO=∠EOF=90°，
∵A(−2,−2)，
∴AE=AF=OE=OF=2，OA= 2OE=2 2，
∴∠AOE=∠AOF=45°，
∴∠AOB=∠AOC=135°，
∴∠BAO+∠ABO=∠AOF=45°，
∵∠BAC=45°，即∠BAO+∠CAO=45°，
∴∠ABO=∠CAO，
∴△ABO∽△CAO，
∴OAOB=OCOA，
∴OB⋅OC=OA2=(2 2)2=8，
∵DG⊥y轴，OC⊥y轴，
∴DG//OC，
∴DGOC=BDBC，
同理可得：DHOB=CDBC，
∵BD：DC=1：2，
∴BDBC=13，CDBC=23，
∴DGOC=13，DHOB=23，
∴DG=13OC，DH=23OB，
∴DG⋅DH=13×23OB⋅OC=29×8=169，
∴k=DG⋅DH=169．
(3)如图③，连接BD交AC于G，
∵MN=MA，
∴∠ANM=∠MAN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA，AC⊥BD，CG=AG=12AC，AB//CD，
∵∠EAF=12∠BAD，∠MAN=∠EAF=α，
∴∠BAC=∠BCA=∠MAN=∠MNA=α，
∴△MAN∽△BAC，
∴ANAM=ACAB，
在Rt△BCG中，CGBC=cs∠BCA=csα，
∴12AC=BC⋅csα，
∴ACBC=2csα，AC=BC⋅2csα=AB⋅2csα，
∴ANAM=ACAB=2csα，
由(1)知：△ACN∽△MCA，
∴CNAC=ACCM=ANAM=2csα，
∴CN=AC⋅2csα=AB⋅(2csα)2，
∴CNAB=4cs2α，
∵AB//CD，
∴△CEN∽△BEA，
∴CEBE=CNAB=4cs2α，
故答案为：4cs2α.
(1)由正方形性质可得∠BAD=90°，∠ACB=∠ACD=45°，根据∠EAF=12∠BAD，可得出∠EAF=45°，推出∠N=∠CAM，∠ACN=∠ACM，即可证得结论；
(2)过点A作AE⊥x轴于E，作AF⊥y轴于F，过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，可证得△ABO∽△CAO，得出OAOB=OCOA，进而推出OB⋅OC=OA2=(2 2)2=8，由BD：DC=1：2，DG//OC，DH//OB，推出DGOC=13，DHOB=23，即可得出k=DG⋅DH=169．
(3)连接BD交AC于G，由菱形性质可得：∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA，AC⊥BD，CG=AG=12AC，AB//CD，利用解直角三角形可得：CGBC=cs∠BCA=csα，进而得出ANAM=ACAB=2csα，再证得△ACN∽△MCA，得出CNAC=ACCM=ANAM=2csα，CN=AC⋅2csα=AB⋅(2csα)2，再由△CEN∽△BEA，可得出CEBE=CNAB=4cs2α.
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数中k的几何意义，正方形的性质，菱形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，涉及知识点较多，综合性强，难度较大，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．x
…
−2
0
1
3
…
y
…
12
−8
−12
−8
…
1.下列各数中，倒数是它本身的数是( )
A. 1B. 0C. 2D. −2
2.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为( )
A. 8.23×10−6B. 8.23×10−7C. 8.23×106D. 8.23×107
3.下列运算中，正确的是( )
A. x3⋅x3=x6B. 3x2÷2x=x
C. (x2)3=x5D. (x+y)2=x2+y2
4.如图，某几何体由6个大小相同的小立方体组成，则它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.剪纸艺术是中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标为(m,3)，其关于y轴对称的点F的坐标为(4,n)，则m+n的值为( )
A. −1
B. 0
C. 1
D. −9
6.已知不等式组x<12x−1≥−5，其解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
7.小明制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的90°刻度线与三角板的底边平行.将用细线和铅锤做成的重锤线顶端固定在量角器中心点O处，现将三角板底边紧贴被测物体表面，如图所示，此时重锤线在量角器上对应的刻度为27°，那么被测物体表面的倾斜角α为( )
A. 63°B. 36°C. 27°D. 18°
8.由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=( )
A. 13B. 12C. 33D. 32
9.如表中列出的是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是( )
A. abc<0
B. 这个函数的最小值是−12
C. 一元二次方程ax2+bx+c+8=0的根是x1=0，x2=3
D. 当x>1时，y的值随x值的增大而增大
10.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，CD的中点，AE，AF分别交BD于点G，H，则图中阴影部分图形的面积之和与平行四边形ABCD的面积之比为( )
A. 712B. 724C. 1336D. 1372
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：2a2+4a+2=______．
12.有6张背面完全相同的卡片，正面分别标有0，1，−1，2，−2，3，把这6张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张，卡片上的数是负数的概率为______．
13.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P(4,4)处，木杆AB两端的坐标分别为(0,2)，(6,2).则木杆AB在x轴上的影长CD为______．
14.如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB点D，则∠ACD的度数等于______．
15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是AC的中点，连接BD，过点A作AH⊥BD于点H，连接CH.若AB=CH，AH=6，则CH的长为________．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：2cs30°−(π−4)0+(12)−1−|− 3|．
17.(本小题8分)
先化简，再求值：x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2，其中x=2+ 2．
18.(本小题8分)
为提高学生数学运算能力核心素养，某中学开展了速算能力竞赛.为了解学生某一周的计算训练情况，学校随机抽取部分学生，并对该周学生计算训练次数进行了统计，绘制成两幅尚不完整的统计图，如图．
(1)本次抽取的学生共______人，抽取学生这周训练次数的众数是______，中位数是______；
(2)请先计算，再将条形统计图补充完整．
(3)若规定周训练5次以上(含5次)者为“数学学习优秀学员”，则该校七年级900名学生中估计有多少人为“数学学习优秀学员”？
19.(本小题8分)
如图，在⊙O中，半径OD⊥直径AB，CD与⊙O相切于点D，连接AC交⊙O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交圆于点F，连接AD，EF．
(1)求证：∠ACD=∠F；
(2)若tan∠F=13，求证：四边形ABCD是平行四边形．
20.(本小题8分)
在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg.生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
(1)求每盒产品的成本(成本=原料费+其他成本)；
(2)当每盒产品的售价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
21.(本小题8分)
如图1，木匠陈师傅现有一块五边形ABFED木板，它是矩形ABCD木板用去△CEF后的余料，AD=4，AB=5，DE=1，F是BC边上一点.陈师傅打算利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在AD上．
[初步探究]
(1)当BF=2时．
①若截取的矩形有一边是DE，则截取的矩形面积的最大值是 ；
②若截取的矩形有一边是BF，则截取的矩形面积的最大值是 ；
[问题解决]
(2)如图2，陈师傅还有另一块余料，∠BAF=∠AFE=90°，AB=EF=1，CD=3，AF=8，CD//AF，且CD和AF之间的距离为4，若以AF所在直线为x轴，AF中点为原点构建直角坐标系，则曲线DE是反比例函数y=kx图象的一部分，陈师傅想利用该余料截取一块矩形MNGH材料，其中一条边在AF上，所截矩形MNGH材料面积是736.求GN的长．
22.(本小题8分)
在四边形ABCD中，∠EAF=12∠BAD(E、F分别为边BC、CD上的动点)，AF的延长线交BC延长线于点M，AE的延长线交DC延长线于点N．
(1)问题证明：如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：△ACN∽△MCA；
(2)拓展应用：如图②所示平面直角坐标系，在△ABC中，∠BAC=45°，点A坐标为(−2,−2)，B，C分别在x轴和y轴上，且反比例函数y=kx(x>0)图象经过BC上的点D，且BD：DC=1：2，求k的值．
(3)深入探究：如图③，若四边形ABCD是菱形，连接MN，当MN=MA时，且∠EAF=α，试用关于α的式子来表示CEBE的值，则CEBE= ______.(直接写出结果)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：倒数是它本身的数是±1，
故选：A．
根据倒数的定义，可知倒数是它本身的数是±1．
本题考查了倒数的意义，关键是搞清互为倒数的两数之积为1．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此解答即可．
【解答】
解：0.000000823=8.23×10−7．
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查的是同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则及完全平方公式，掌握相关运算法则是解题的关键．
分别根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方法则及完全平方公式进行计算即可．
【解答】
解：A、由同底数幂的乘法法则可知x3⋅x3=x6，故本选项正确；
B、由同底数幂的除法法则可知3x2÷2x=32x，故本选项错误；
C、由幂的乘方法则可知(x2)3=x6，故本选项错误；
D、由完全平方公式可知(x+y)2=x2+y2+2xy，故本选项错误．
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：从左边看有两列，左边一列是三个小正方形，右边一列是两个小正方形．
故选：D．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
5.【答案】A
【解析】解：∵图中点E的坐标为(m,3)，其关于y轴对称的点F的坐标为(4,n)，
∴m=−4，n=3，
∴m+n=−4+3=−1，
故选：A．
利用轴对称的性质，求出m，n，可得结论．
本题考查坐标与图形变化−对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：解不等式2x−1≥−5得，x≥−2，
∴原不等式组的解集为−2≤x<1．
故选：C．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到确定不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解答本题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵MN//AB，OD⊥MN，
∴OD⊥AB，
∴∠PQO=90°，
∵OC⊥AD，
∴∠ACP=90°，
∵∠APC=∠OPQ，
∴∠BAC=∠COD=27°，
∴被测物体表面的倾斜角α为27°．
故选：C．
由平行线的性质，垂直的定义得到∠PQO=90°，∠ACP=90°，由对顶角的性质得到∠APC=∠OPQ，由三角形内角和定理即可得到∠BAC=∠COD=27°．
本题考查垂直的定义，平行线的性质，三角形内角和定理，关键是理解题意，应用以上知识点来解决问题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，延长BC于点D，
∵网格是由4个形状相同，大小相等的菱形组成，
∴OD=OB，OA=AD，
∵∠O=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴BA⊥OD，∠ADB=60°，
∴∠ABC=180°−90°−60°=30°，
∴tan∠ABC=tan30°= 33，
故选：C．
延长BC于点D，根据菱形的性质可得：△OBD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BA⊥OD，∠ADB=60°，进而可得∠ABC=30°，进而可得tan∠ABC的值．
本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵抛物线经过点(0,−8)，(3,−8)，
∴抛物线对称轴为直线x=32，c=−8<0，
∵抛物线经过点(−2,12)，
∴当x<32时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴a>0，
∵−b2a=32，
∴b<0，
∴abc>0，故A不符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x=32，抛物线开口向上，
∴当x=32时，y有最小值，故B不符合题意；
∵抛物线经过点(0,−8)，(3,−8)，
∴一元二次方程ax2+bx+c=−8的根是x1=0，x2=3，故C符合题意；
∵抛物线对称轴为直线x=32，抛物线开口向上，
∴x>32时，y随x增大而增大，故D不符合题意．
故选：C．
根据抛物线经过点(0,−8)，(3,−8)可得抛物线对称轴为直线x=32，由抛物线经过点(−2,12)可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵BE//AD，E是BC的中点，
∴△BEG∽△DAG，
∴BGDG=BEDA=12，即BG=13BD，
同理可得，DH=13BD，
∴GH=13BD，
∴S△AGH=13S△ABD=16S四边形ABCD，
∵E、F分别是边BC、CD的中点，
∴EF//BD，EF=12BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴S△CEFS△CBD=(12)2=14，
∴S△CEF=14S△BCD=18S四边形ABCD，，
∴图中阴影部分图形的面积=(16+18)S四边形ABCD=724S四边形ABCD，
即图中阴影部分图形的面积与▱ABCD的面积之比为=7：24，
故选：B．
依据相似三角形的对应边成比例，即可得到GH=13BD，进而得出S△AGH=13S△ABD=16S四边形ABCD；依据三角形中位线定理，即可得到S△CEF=14S△BCD=18S四边形ABCD，据此可得阴影部分图形的面积与▱ABCD的面积之比．
本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形．
11.【答案】2(a+1)2
【解析】【分析】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键，属于基础题．
原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式=2(a2+2a+1)
=2(a+1)2，
故答案为：2(a+1)2．
12.【答案】13
【解析】解：把这6张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张共有6种等可能结果，其中卡片上的数是负数的有2种结果，
所以把这6张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张，卡片上的数是负数的概率为26=13，
故答案为：13．
把这6张卡片背面朝上，随机抽取其中的一张共有6种等可能结果，其中卡片上的数是负数的有2种结果，再根据概率公式求解即可．
本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
13.【答案】12
【解析】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，
∵P(4,4)，A(0,2)，B(6,2)．
∴PM=2，PE=4，AB=6，
∵AB//CD，
∴ABCD=PMPE．
∴6CD=24，
∴CD=12，
故答案为：12．
利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长．
本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．
14.【答案】50°
【解析】解：如图，作点D关于AC的对称点E，则点E在⊙O上，连接AE，由翻折的性质可知，AE=AD，CD=CE，∠CAE=∠CAD=20°，
∴CE=CB，
∴CD=CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BAC=20°，
∴∠B=∠BDC=90°−20°=70°，
∴∠ACD=∠BDC−∠BAC
=70°−20°
=50°．
故答案为：50°．
根据对称轴的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质进行计算即可．
本题考查翻折的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，圆周角定理以及等腰三角形的性质是正确解答的关键．
15.【答案】6 3
【解析】解：延长BD点E，使BD=DE，作CE⊥DE，如图所示，
，
∴D是AC中点，
∴AD=CD，
在△ABD和△CED中，
AD=CD，∠ADH=∠CDF，BD=DE，
∴△ABD≌△CED(SAS)，
∴CH=CE，
∴CE=AB，△ECH为等腰三角形，
∵CF⊥HE，
∴HF=EF．
在△ADH和△CDF中，
∠ADH=∠CDF，∠AHD=∠CFD，AD=CD，
∴△AHD≌△CFD(AAS)，
∴HD=DF.AH=CF=6，
设DF=m，则EF=HF=2m，
∵∠E+∠FDC=90°，∠E+∠ECF=90°，
∴∠FDC=∠ECF，
∠EFC=∠ECD，
∴Rt△FEC∽Rt△FCD，
∴CFDF=EFCF，
∴CF²=DF×EF，
即36=m×2m，解得m=3 2，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得：
CE= CF2+EF2=6 3．
即CH=CE=6 3，
故答案为6 3．
已知D是中点，构造与△ABD、△ADH全等的三角形，找到AH与线段CH的关系，利用勾股定理进行求解．
本题主要考查勾股定理的使用，解题关键是利用中点构造全等三角形，将边进行转化，构造所需的直角三角形．
16.【答案】解：原式=2× 32−1+2− 3
= 3−1+2− 3
=1．
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂，代入特殊角的函数值化简绝对值，再加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握特殊角的函数值、零指数、负整数指数幂的意义是解决本题的关键．
17.【答案】解：x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2
=(x+2)(x−2)(x−2)2×x+1x+2−xx−2
=x+1x−2−xx−2
=1x−2，
当x=2+ 2时，原式=1 2= 22．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】50 5 5
【解析】解：(1)本次抽取的学生有6÷12%=50(人)，
∵阅读5次的人数为50−(4+10+14+6)=16，
∴阅读次数的众数为5，中位数为5+52=5，
故答案为：50，5，5；
(2)补全图形如下：
(3)900×16+14+650=648(名)．
答：该校七年级900名学生中估计“数学学习优秀学员”的人数大约为648名．
(1)由7次人数及其所占百分比可得总人数，先求出阅读5次的人数，再根据众数和中位数的定义求解即可；
(2)根据以上所求结果即可补全图形；
(3)用总人数乘以样本中阅读5、6、7次人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】证明(1)∵CD与⊙O相切于点D，
∴半径OD⊥CD，
∵半径OD⊥直径AB，
∴CD//AB，
∴∠ACD=∠BAE，
∵∠F=∠BAE，
∴∠ACD=∠F；
(2)∵∠OAG=∠F，
∴tan∠OAG=tanF=13，
∴OGAO=13，
∵OD=OA，
∴OG：OD=1：3，
∴OG：GD=1：2，
∵CD//AO，
∴△AOG∽△CDG，
∴AO：CD=OG：DG=1：2，
∵AO：AB=1：2，
∴DC=AB，
∵DC//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】(1)由切线的性质得到半径OD⊥CD，又半径OD⊥直径AB，推出CD//AB，得到∠ACD=∠BAE，由圆周角定理得到∠F=∠BAE，即可证明∠ACD=∠F；
(2))由∠OAG=∠F，得到tan∠OAG=tanF=13，推出OG：GD=1：2，由△AOG∽△CDG，得到AO：CD=OG：DG=1：2，而AO：AB=1：2，得到DC=AB，又DC//AB，即可证明四边形ABCD是平行四边形．
本题考查切线的性质，平行四边形的判定，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
20.【答案】解：(1)设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，
根据题意，得−=100，
解得m=3，
经检验m=3是方程的解，
∴1.5m=4.5，
∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9=30(元)，
答：每盒产品的成本为30元；
(2)设每盒产品的售价是x元(x是整数)，每天的利润是w元，
根据题意，得w=(x−30)[500−10(x−60)]=−10x2+1400x−33000=−10(x−70)2+16000，
∴当x=70时，每天的利润最大，最大利润为16000元，
答：当每盒产品的售价定为70元时，每天的利润最大，最大利润是16000元．
【解析】(1)根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本=原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；
(2)根据利润等于售价减去成本列出函数关系式，利用函数的性质求最值即可．
本题主要考查二次函数的性质和分式方程，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．
21.【答案】4 10
【解析】解：(1)①当DE为矩形一条边，AD为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
∵AD=4，DE=1，
∴S=4×1=4，
∴截取的矩形面积的最大值4；
故答案为：4；
②当BF为矩形一条边，AB为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大，
∵AB=5，BF=2，
∴S=5×2=10，
∴截取的矩形面积的最大值10；
故答案为：10；
(2)∵AF=8，
∴A(−4,0)，F(4,0)，
∵AB=EF=1，
∴B(−4,1)，E(4,1)，
∵E点在函数y=kx图象上，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
∵CD和AF之间的距离为4，CD//AF，
∴D(1,4)，
∵CD=3，
∴C(−2,4)，
设直线BC的解析式为y=k′x+b，
∴−4k′+b=1−2k′+b=4，
解得k′=32b=7，
∴y=32x+7，
设G(4t,t)，则H(23t−143,t)，
∴S=(4t−23t+143)⋅t=736，
解得t=72，
∴GN的长为72．
(1)①当DE为矩形一条边，AD为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；
②当BF为矩形一条边，AB为矩形另一条边时，截取的矩形面积的最大；
(2)由题意可知A(−4,0)，F(4,0)，B(−4,1)，E(4,1)，再由E点在函数y=kx图象上，求出反比例函数的解析式为y=4x，再求点D(1,4)，C(−2,4)，用待定系数法求出直线BC的解析式，设G(4t,t)，则H(23t−143,t)，再由方程S=(4t−23t+143)⋅t=736，求出t的值即可求GN的长．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，矩形的性质，矩形的面积是解题的关键．
22.【答案】4cs2α
【解析】(1)证明：如图①，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠ACB=∠ACD=45°，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠EAF=45°，
即∠CAN+∠CAM=45°，
∵∠CAN+∠N=∠ACD=45°，
∴∠N=∠CAM，
∵∠ACN=180°−∠ACD=135°，∠ACM=180°−∠ACB=135°，
∴∠ACN=∠ACM，
∴△ACN∽△MCA；
(2)解：如图②，过点A作AE⊥x轴于E，作AF⊥y轴于F，过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，
则∠AEO=∠AFO=∠EOF=90°，
∵A(−2,−2)，
∴AE=AF=OE=OF=2，OA= 2OE=2 2，
∴∠AOE=∠AOF=45°，
∴∠AOB=∠AOC=135°，
∴∠BAO+∠ABO=∠AOF=45°，
∵∠BAC=45°，即∠BAO+∠CAO=45°，
∴∠ABO=∠CAO，
∴△ABO∽△CAO，
∴OAOB=OCOA，
∴OB⋅OC=OA2=(2 2)2=8，
∵DG⊥y轴，OC⊥y轴，
∴DG//OC，
∴DGOC=BDBC，
同理可得：DHOB=CDBC，
∵BD：DC=1：2，
∴BDBC=13，CDBC=23，
∴DGOC=13，DHOB=23，
∴DG=13OC，DH=23OB，
∴DG⋅DH=13×23OB⋅OC=29×8=169，
∴k=DG⋅DH=169．
(3)如图③，连接BD交AC于G，
∵MN=MA，
∴∠ANM=∠MAN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA，AC⊥BD，CG=AG=12AC，AB//CD，
∵∠EAF=12∠BAD，∠MAN=∠EAF=α，
∴∠BAC=∠BCA=∠MAN=∠MNA=α，
∴△MAN∽△BAC，
∴ANAM=ACAB，
在Rt△BCG中，CGBC=cs∠BCA=csα，
∴12AC=BC⋅csα，
∴ACBC=2csα，AC=BC⋅2csα=AB⋅2csα，
∴ANAM=ACAB=2csα，
由(1)知：△ACN∽△MCA，
∴CNAC=ACCM=ANAM=2csα，
∴CN=AC⋅2csα=AB⋅(2csα)2，
∴CNAB=4cs2α，
∵AB//CD，
∴△CEN∽△BEA，
∴CEBE=CNAB=4cs2α，
故答案为：4cs2α.
(1)由正方形性质可得∠BAD=90°，∠ACB=∠ACD=45°，根据∠EAF=12∠BAD，可得出∠EAF=45°，推出∠N=∠CAM，∠ACN=∠ACM，即可证得结论；
(2)过点A作AE⊥x轴于E，作AF⊥y轴于F，过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，可证得△ABO∽△CAO，得出OAOB=OCOA，进而推出OB⋅OC=OA2=(2 2)2=8，由BD：DC=1：2，DG//OC，DH//OB，推出DGOC=13，DHOB=23，即可得出k=DG⋅DH=169．
(3)连接BD交AC于G，由菱形性质可得：∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA，AC⊥BD，CG=AG=12AC，AB//CD，利用解直角三角形可得：CGBC=cs∠BCA=csα，进而得出ANAM=ACAB=2csα，再证得△ACN∽△MCA，得出CNAC=ACCM=ANAM=2csα，CN=AC⋅2csα=AB⋅(2csα)2，再由△CEN∽△BEA，可得出CEBE=CNAB=4cs2α.
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数中k的几何意义，正方形的性质，菱形性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等，涉及知识点较多，综合性强，难度较大，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键．x
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−2
0
1
3
…
y
…
12
−8
−12
−8
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