湖南省永州市蓝山县2024届九年级上学期期末质量检测数学试卷(含解析)

这是一份湖南省永州市蓝山县2024届九年级上学期期末质量检测数学试卷(含解析)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学
满分：120分 时量：120分钟
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填在对应表格中内．）
1．下列函数不是反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法解一元二次方程化成的形式，则、的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
3．若，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
4．在一次中考模拟考试中，随机抽取了部分学生的数学成绩作为样本，成绩在100分以上的频率为0.16，于是可估计全校500名参加中考模拟考试的学生中数学成绩在100分以上学生人数为（ ）
A．160人B．80人C．60人D．16人
5．如图，在菱形中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，，和分别是和的高，若，，则与的面积的比为（ ）
A．B．C．D．
7．杭州亚运会吉祥物深受大家喜爱．某商户8月份销售吉祥物“宸宸”摆件10万个，10月份销售万个．设该摆件销售量的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知反比例函数的图象上有两点， 则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
9．对于任意实数a，b，定义一种新运算“☆”如下：，若，则实数m等于（ ）
A．8.5B．4C．4或D．4或或8.5
10．已知一元二次方程的两个实数根为，，下列说法：①若a，c异号，则方程一定有实数根；②若，则方程一定有实数根；③若，，，由根与系数的关系可得，其中结论正确的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点，另一个交点的坐标为 ．
12．如图，已知直线，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，则 ．
13．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值是 ．
14．如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为 cm2．
15．定义：在直角三角形中，斜边与锐角的对边的比叫做角的余割，记作，即，在直角三角形中，，则 ．
16．如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接，过点E作交于点F，连接，则的长为 ．
三、解答题（本题共9个小题，17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
17．解方程：
(1)
(2)
18．计算：．
19．如图，在矩形中，为边上一点，将点沿翻折恰好落到边上的点处．求证：；
20．已知x1、x2是关于x的方程x2–2（m+1）x+m2+5=0的两个不相等的实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边长，求这个三角形的周长．
21．实施乡村振兴计划以来，农村经济发展进入了快车道．为了解某村今年一季度经济发展状况，从该村360户家庭中随机抽取了20户，收集到他们一季度家庭人均收入的数据如下(单位：万元)
0.69 0.73 0.74 0.80 0.81 0.98 0.93 0.81 0.89 0.69
0.74 0.99 0.98 0.78 0.80 0.89 0.83 0.89 0.94 0.89
整理数据：
(1)表格中：________，________；
(2)试估计今年一季度该村家庭人均收入不低于0.85万元的户数；
(3)该村小明家今年一季度人均收入为0.83万元，能否超过村里一半以上的家庭？请说明理由．
22．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为60元/件的小商品进行直播销售，如果按每件100元销售，那么每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
(1)若日利润保持为1200元，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
(2)小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件125元，为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中所求的售价，则该商品至少需打几折销售？
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式；
(2)若点是点关于轴的对称点，求的面积．
24．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡比为（注：坡比是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），点、与河岸，在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别是，．（参考数据：，，）
(1)求山脚到河岸的距离；
(2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到）
25．在矩形中，点O是对角线，的交点，直角的顶点p与O重合，，分别与，边相交于E，F，连接，（为常数）．

(1)发现问题：如图1，若，猜想 ．
(2)类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．
参考答案与解析
1．D
解析：A. 与比较，即可知是反比例函数，故不符合题意；
B. 是反比例函数，故不符合题意；
C. 是反比例函数，故不符合题意；
D. 不是反比例函数，故符合题意．
故选：D．
2．D
解析：解：，
，
，
，
则，．
故选：D．
3．A
解析：解：∵，
∴，．
∴．
故选：A．
4．B
解析：解：估计全校500名学生中数学成绩在100分以上学生人数为：，
故选：B．
5．B
解析：∵四边形是菱形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．A
解析：解：和分别是和的高，，，
相似比为，
与的面积之比为，
故答案为：．
7．C
解析：解：设该摆件销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：．
故选：C．
8．B
解析：解：∵反比例函数的，可见函数位于一、三象限，
，可见、位于第三象限，
由于在一、三象限内，y随x的增大而减小，
∴．
故选：B．
9．B
解析：解：∵
∴当m≤2时，4m＋2＝36，
解得m＝8.5＞2，舍去；
当m＞2时，2m2＋m＝36，
解得m＝4或m＝（舍去）；
故选：B．
10．C
解析：解：，
当a、c异号时，，所以，所以此时方程一定有实数根，所以①正确；
若时，，则方程一定有两实数根，所以②正确；
若，，，，所以方程没有实数根，所以③错误．
故选：C．
11．
解析：解：将点代入反比例函数，得，
解得
即
再将代入正比例函数得，，
解得，
即
联立，解得或
则另一个交点的坐标为
故答案为：
12．
解析：解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：
13．2
解析：解：∵关于的一元二次方程的一个根是0，
∴，
解得或（舍去），
故答案为：2．
14．24．
解析：连接AC交BD于点O，
则可设BO=3x，AO=4x，从而在Rt△ABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长为20cm可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案：
连接AC交BD于点O，则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO．
∵tan∠ABD=，∴可设BO=3x，AO=4x，则AB=5x．
又∵菱形ABCD的周长为20，∴4×5x=20，解得：x=1．
∴AO=4，BO=3．∴AC=2AO=8，BD=2BO=6．
∴菱形ABCD的面积为AC×BD=24（cm2）．
15．##
解析：解：如下图，在中，，设，
，
在中，，设，
，
，
故答案为：．

16．
解析：解：∵矩形，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
17．(1)
(2)，
解析：（1）解：
，
，
或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，．
18．
解析：解：
19．见解析
解析：证明：在矩形中，，
根据翻折可得，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)m>2；(2)三角形的周长为17．
解析：(1)由题意得Δ=＞0，解得m＞2；
(2)由题意，∵≠时，∴只能取=7或=7，即7是方程的一个根，
将x=7代入得：49–14（m+1）++5=0，解得m=4或m=10，
当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；
当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；
故三角形的周长为17．
21．(1)3，4
(2)162户
(3)明家今年第一季度人均收入超过村里一半家庭，理由见解析
解析：（1）根据题意可得，一季度家庭人均收入在的有3户，
∴，
在的有4户，
∴，
故答案为：3，4；
（2）
答：该村家庭人均收入不低于0.85万元为162户．
（3）选择中位数，
将20户家庭人均收入的数据从小到大排列为：
0.69，0.69，0.73，0.74，0.74，0.78，0.80，0.80，0.81，0.81，0.83，0.89，0.89，0.89，0.89，0.93，0.94，0.98，0.98，0.99，
∴中位数，
说明该村有一半以上家庭人均收入达到0.82万元，
而0.83万元0.82万元，说明小明家今年第一季度人均收入超过村里一半家庭．
22．(1)80元
(2)六四折
解析：（1）解：设每件售价应定为元，
依题意得：，
解得：，，
又商家想尽快销售完该款商品，
．
答：每件售价应定为80元．
（2）设该商品打折销售，
依题意得：，
解得：，
该商品至少需打六四折销售．
23．(1)一次函数解析式，反比例函数解析式
(2)
解析：（1）解：将代入得，，
反比例函数的关系式为．
在反比例函数的图象上，
，
，
，
将，代入，
可得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：在中，令，得，
，
点是点关于轴的对称点，
，
，
；
24．(1)山脚到河岸的距离为
(2)河宽的长度为
解析：（1）由题意得：，，
∴.
在中，，
∴，
∴，
∴山脚到河岸的距离为；
（2）在中，，
∴，
∴，
∴河宽的长度为．
25．(1)1
(2)，理由见解析
(3)
解析：（1）若，则，即四边形为正方形，
∴，，，，，，，
∴，，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：1；
（2）．
理由：过作于，作于，

∵，
∴四边形是矩形．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在矩形中，，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
由（2），，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，

令，则
由题意，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴在中，，
∴．分组
频数
2
1
5
2
3