湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（二）数学试题

这是一份湖南省岳阳市2024届高三下学期教学质量监测（二）数学试题，共11页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，下列说法错误的是，已知，则，设，，，则，设是关于的方程的两根，其中等内容，欢迎下载使用。
岳阳市2024届高三教学质量监测（二）
数 学
本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知为等差数列，，，则（ ）
A．6B．12C．17D．24
4．函数的极小值点为（ ）
A．B．C．4D．
5．下列说法错误的是（ ）
A．若随机变量满足且，则
B．样本数据50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位数为62
C．若事件相互独立，则
D．若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（ ）
A．16B．12C．8D．4
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设是关于的方程的两根，其中．若（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数的定义域为，对任意都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．D．
11．如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则（ ）
A．满足平面的点的轨迹为线段
B．若，则动点的轨迹长度为
C．直线与直线所成角的范围为
D．满足的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度，他首先在处，测得楼顶的仰角为，然后沿方向行走22.5米至处，又测得楼顶的仰角为，则楼高为______米．
13．若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为______．
①；②；③；④．
14．已知椭圆的左右焦点分别为，其中，过的直线与椭圆交于两点，若，则该椭圆离心率的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
16．（本题满分15分）
用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则
（1）在数字1，3相邻的条件下，求数字2，4，6也相邻的概率；
（2）对于这个六位数，记夹在三个偶数之间的奇数的总个数为，求的分布列与期望．
17．（本题满分15分）
已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
18．（本题满分17分）
已知，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）点为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点．
19．（本题满分17分）
已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．
（1）将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
（2）试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
（3）（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
岳阳市2024届高三教学质量监测（二）
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D2．B3．C4．D
5．D6．C7．A8．B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．BCD10．BCD11．AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．①②④14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本题满分13分）
（1）证明：因为底面，平面 所以，
因为四边形是矩形，所以，
又因为、平面，，
所以平面，又平面 所以，
又因为，是的中点，所以，
所以平面，
又平面，所以，
由已知得，且 所以平面，
（2）解：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，
由（1）知平面，所以为平面的一个法向量，
又，，设为平面的一个法向量，
则由得取，
则
设二面角的大小为，
则
所以二面角的正弦值为
16．（本题满分15分）
（1）设“数字1，3相邻”，设“数字2，4，6相邻”，则
；
（2）的所有可能取值为0，1，2，3，
因为3个偶数中间共有2个空隙．由题意知“”表示3个偶数相邻，
则，
“”表示3个偶数中间只插入了1个奇数，则，
“”表示3个偶数中间共插入了2个奇数，可分为两种情形：和，则；
“”表示3个偶数中间共插入了3个奇数，可分为两种情形：和，则．
所以的分布列为
的期望为．
17．（本题满分15分）
（1）当时，函数，
则，令得或，
当或时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
即当时，单调递增区间为和，单调递减区间为．
（2），所以为的一个根，
故有两个不同于1的实根，
令，则，
（ⅰ）当时，，故在上单调递增，不符合题意；
（ⅱ）当时，令，得，
当时，，故在区间上单调递增，
当时，，故在区间上单调递减，
并且当时，；当时，，
所以若要满足题意，只需且，
因为，所以，
又，所以，
所以实数的取值范围为．
18．（本题满分17分）
（1）设，则，
由 整理得
（2）证明：（方法一）设，，，
则 即
联立与曲线的方程
得且
解得（舍去）或
将代入 得
所以，其中
同理，可解得，其中
当时，即时，
此时，所以此时直线的方程为；
当时，
直线的方程为
整理得，所以直线过定点
（方法二）设，
则由及三点共线得；
将上面两式相除，再平方可得：①
因为，均在曲线上，
故满足；②
将②代入①可得
整理可得③
当直线的斜率存在时，设
将直线的方程代入曲线得
且
由韦达定理得，
将上式代入③式可得 解得（舍去）或，
故直线的方程为
当直线垂直于轴时，易求得此时的方程为，
所以直线过定点
（方法三）设，，，
易知直线不垂直于轴，所以设直线的方程为
由及三点共线得
；
由上式可得，即
将，代入可得①
因为，为曲线上的点，
由（1）可知，，所以，即
将，代入可得②
①②式相减可得
又易知，所以，所以直线的方程为，
故直线过定点
19．（本题满分17分）
（1）解：因为，所以1为该数列的“佳幂数”；
又因为，，
所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”；
所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18；
（2）解：由题意可得，数列如下：
第1组：1；
第2组：1，2；
第3组：1，2，4；
…
第组：，
则该数列的前项的和为：
，①
当时，，
则，
由于，对，，
故50不是“佳幂数”．
（3）（ⅰ）解：在①中，要使，有
出现在第44组之后，又第组的和为，前组和为
第组前项的和为．
则只需．
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：．
当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个
0
1
2
3