2022-2023学年湖南师大附中高一（下）第一次大练习数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南师大附中高一（下）第一次大练习数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. 若x2+1=0，则x=iB. 实部为零的复数是纯虚数
C. z=(x2+1)i可能是实数D. 复数z=2+i的虚部是i
2.设集合A={x|y=lg(x−1)},B={x|2x>14}，则(∁RA)∩B=( )
A. (1,+∞)B. (−2,1]C. (−2,1)D. [1,+∞)
3.若命题“∀x∈R，x2−4x+a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,4]B. (−∞,4)C. (−∞,−4)D. [−4,+∞)
4.下列说法正确的是( )
A. “ac=bc”是“a=b”的充分条件
B. “x≥1”是“x2≥1”的必要条件
C. “y=cs(x+φ)的一个对称中心是原点”是“φ=2kπ−π2,k∈Z”的充分不必要条件
D. “a⋅b<0”的充分不必要条件是“a与b的夹角为钝角”
5.设a=12lg322,b=lg52,c=(23)−15，则a，b，c的大小关系为( )
A. a6.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−20恒成立，则m的取值范围为( )
A. (−∞,4 3]B. (−∞,4 3)C. [13,+∞)D. (−∞,13)
7.若向量a=(x,2)，b=(2,3)，c=(2,−4)，且a/​/c，则a在b上的投影向量为( )
A. (813,1213)B. (−813,1213)C. (8,12)D. 4 1313
8.已知函数f(x)=2sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1A. 5B. 6C. 7D. 8
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的是( )
A. 向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上
B. 零向量与零向量共线
C. 若a=b，b=c，则a=c
D. 温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
10.下列说法正确的是( )
A. 若α为第一象限角，则α2为第一或第三象限角
B. 函数f(x)=sin(x+φ+π4)是偶函数，则φ的一个可能值为3π4
C. x=π3是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一条对称轴
D. 若扇形的圆心角为60°，半径为1cm，则该扇形的弧长为60cm
11.已知a>b>0，c>0，则下列结论一定正确的是( )
A. baa2b−ab2
C. b2a+a2b(ab)a+b2
12.已知函数f(x)的定义域为R，f(x−1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈(−1,1)时，f(x)=x2−1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)为周期函数且最小正周期为8
B. f(72)=34
C. f(x)在(6,8)上为增函数
D. 方程f(x)+|lgx|=0有且仅有7个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数y=ax−2+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，若点P也在函数y=2lg3(x+1)+b的图象上，则b= ______．
14.计算：tan12°− 3(4cs212°−2)sin12°= ______．
15.已知函数f(x)=|lg2x|,016.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b,c= 3，sinA=35,cs2A−cs2B= 3sinAcsA− 32sin2B，则△ABC的面积是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2−32bc=a2．
(1)求csA的值；
(2)若B=2A，b=3，求a的值．
18.(本小题12分)
如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P．
(1)若AP⋅AC=8，求AP的长；
(2)设|AB|=6,|AC|=8,∠BAC=π3,AP=xAB+yAC，求y−x的值．
19.(本小题12分)
有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v=12lg5x10−lgx0，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，x0代表测量过程中某类候鸟每分钟的耗氧量偏差.(参考数据：lg2≈0.30，51.4≈9.52)
(1)当x0=5，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为多少单位？
(2)若雄鸟的飞行速度为1.75km/min，同类雌鸟的飞行速度为1.5km/min，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
20.(本小题12分)
已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时f(x)<0，且f(−1)=2．
(1)求f(x)在区间[−2,4]上的最小值；
(2)若f(x)21.(本小题12分)
如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈(0,π))，x∈[−4,0]的图像，图像的最高点为B(−1,2).边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD//EF.游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE．
(1)曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF的距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；
(2)如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且∠POE=θ，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时θ的值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ae2x−ex，g(x)=lnx．
(1)求函数g(x2−x−6)的单调递减区间；
(2)若对任意x2∈[1e,e]，存在x1∈(−∞,0)，f(x1)≠g(x2)，求实数a的取值范围；
(3)若函数F(x)=f(x)+f(−x)，求函数F(x)零点的个数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对于A，x=±i，说法不正确；
对于B，实部为零的复数可能虚部也为零，从而是实数，说法不正确；
对于C，当x=i时，z=(x2+1)i是实数，说法正确；
对于D，复数z=2+i的虚部是1，说法不正确．
故选：C．
根据复数的概念即可求解．
本题考查复数的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：对于y=lg(x−1)，易得x−1>0，则x>1，故A=(1,+∞)；
所以∁RA=(−∞,1]，
对于2x>14=2−2，得x>−2，故B=(−2,+∞)，
所以(∁RA)∩B=(−2,1]．
故选：B．
利用对数函数的定义域与指数的单调性化简集合A，B，再利用集合的交并补运算即可．
本题主要考查对数函数的定义域与指数的单调性，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：“∀x∈R，x2−4x+a≠0”为假命题，
∴∃x∈R，x²−4x+a=0，是真命题，
方程x2−4x+a=0有实数根，则Δ=(−4)2−4a≥0，解得a≤4．
故选：A．
由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案．
本题考查全称命题的否定，一元二次方程的性质相关知识，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，当c=0时，满足ac=bc，此时可能有a≠b，A错误；
对于B，x2≥1等价于x≥1或x≤−1，故“x≥1”是“x2≥1”的充分不必要条件，B错误；
对于C，“y=cs(x+φ)的一个对称中心是原点”等价于φ=π2+kπ(k∈Z)，
故“y=cs(x+φ)的一个对称中心是原点”是“φ=2kπ−π2,k∈Z的必要不充分条件，C错误；
对于D，a⋅b<0等价于a与b的夹角θ∈(π2,π]，故“a⋅b<0”的充分不必要条件是“a与b的夹角为钝角”，D正确．
故选：D．
A选项，举出反例；B选项，求出x2≥1的解集，得到“x≥1”是“x2≥1”的充分不必要条件；C选项，求出y=cs(x+φ)的一个对称中心是原点时满足的条件，判断出答案；D选项，由a⋅b<0求出a与b的夹角θ∈(π2,π]，从而得到D正确．
本题考查充分必要条件，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为a=12lg322=lg32 212lg3232=12，b=lg52(23)0=1，
故b故选：B．
利用函数单调性得到a∈(12,1)，b<12，c>1，从而比较出大小关系．
本题主要考查函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−2故a<0且−ba=−2+3=1,ca=(−2)×3=−6，即b=−a，c=−6a，
则不等式bx2+amx+2c>0即为−ax2+amx−12a>0，
由于a<0，x∈[1,5]，则上式可转化为m又x+12x≥2 x⋅12x=4 3，当且仅当x=2 3时等号成立，
故m<4 3．
故选：B．
由不等式的解集为{x|−20中并用参数分离与基本不等式求得m的取值范围．
本题考查了一元二次不等式的解法、基本不等式的应用及转化思想，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】解：因为a/​/c，
所以x2=2−4，解得x=−1，
所以a=(−1,2)，
又b=(2,3)，
所以b|b|=1 13(2,3)，
cs=a⋅b|a||b|=−2+6 5× 13=4 65，
所以a在b上的投影向量为|a|cs⋅b|b|= 5×4 65×1 13(2,3)=413(2,3)=(813,1213).
故选：A．
根据投影向量的定义进行计算．
本题考查了向量的运算，投影向量，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：作出f(x)=2sinx在区间[0,4π]上的图象如下图所示：
因为对任意xi，xj(i,j=1,2,…,m)，都有|f(xi)−f(xj)|≤f(x)max−f(x)min=2−(−2)=4，
在区间[0,4π]上，f(x)取得最大值和最小值共有4个点，4×3=12，16−12=4，
要使m取得最小值，则可取|0−2|+|2−(−2)|+|−2−2|+|2−(−2)|+|−2−0|=16，
即m的最小值为6．
故选：B．
根据正弦型函数的图象和最值进行分析，从而确定正确答案．
本题考查了正弦函数的图象、数形结合思想，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：如图，
向量AB与CD是共线向量，A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故A错误；
由零向量与任意向量共线，可知B正确；
若a=b，b=c，则a=c，故C正确；
温度只有正负，没有方向，温度是数量，不是向量，故D错误．
故选：AD．
由向量的概念逐一分析四个选项得答案．
本题考查向量及其概念，是基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A：若α为第一象限角，则2kπ<α<2kπ+π2,k∈Z，
则：kπ<α2故A选项正确；
对于B：当φ=3π4时，f(x)=sin(x+π)=−sinx，函数为奇函数，
故B选项错误；
对于C：因为f(π3)=2csπ=−2，所以x=π3是函数f(x)=2cs(2x+π3)的一条对称轴，
故C选项正确；
对于D：扇形圆心角为π3，半径为1cm，则该扇形的弧长为π3cm，
故D选项错误．
故选：AC．
对于A：直接代入象限角的范围即可求解；
对于B：代入φ=3π4即可判断奇偶性；
对于C：代入x=π3根据余弦函数对称轴的性质即可判断；
对于D：根据弧长公式即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由a>b>0，c>0，得b−a<0，
则ba−b+ca+c=c(b−a)a(a+c)，所以c(b−a)a(a+c)<0，所以ba对于B，a3−b3−(a2b−ab2)=(a−b)(a2+ab+b2−ab)=(a−b)(a2+b2)>0，故B正确；
对于C，b2a+a2b−a−b=b2−a2a+a2−b2b=(b2−a2)(1a−1b)=(b+a)(b−a)2ab>0，故C错误；
对于D，aabb>(ab)a+b2等价于alna+blnb>a+b2(lna+lnb)，
等价于alna+blnb−blna−alnb>0，即(a−b)(lna−lnb)>0，因为函数y=lnx在其定义域上单调递增，故D正确．
故选：ABD．
根据作差法可判断ABC，利用对数函数的单调性结合条件可判断D．
本题主要考查不等式的性质，以及对数函数的单调性，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为f(x−1)为奇函数，所以f(−x−1)=−f(x−1)，即f(x)关于点(−1,0)对称；
因为f(x+1)为偶函数，所以f(−x+1)=f(x+1)，即f(x)关于直线x=1对称；
则f(x)=f((x−1)+1)=f(−x+2)=f(−(x−3)−1)=−f(x−4)，
所以f(x)=f(x−8)，故f(x)的周期为8，结合条件可得函数的大致图象，进而可得A正确；f(72)=f(52+1)=f(−52+1)=f(−12−1)=−f(12−1)=−f(−12)=−[(−12)2−1]=34，B正确；
由于f(x)在(−1,0)上单调递减，且f(x)关于点(−1,0)对称，故f(x)在(−2,0)上单调递减，又f(x)的周期为8，则f(x)在(6,8)上也为减函数，C错误；
作出函数f(x)的图象和函数y=−|lgx|的大致图象，函数y=f(x)的图象与函数y=−|lgx|的图象恰有7个交点，故D正确．
故选：ABD．
由条件得函数的对称性，进而得到函数的周期性，然后利用数形结合结合条件逐项分析即得．
本题主要考查了函数的奇偶性，对称性，周期性的综合应用，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：令x−2=0，解得x=2，y=a2−2+3=4，
所以函数y=ax−2+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(2,4)，
因为点P(2,4)在函数y=2lg3(x+1)+b的图象上，
所以2lg3(2+1)+b=4，解得b=2．
故答案为：2．
利用指数函数的性质及点在函数的图象上，结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数函数及对数函数性质的应用，属于基础题．
14.【答案】−4
【解析】【分析】
由题设，可根据特殊角的使用，巧妙解决问题．本题主要考查倍角公式的应用．此类题往往与三角函数中其他常用公式如诱导公式、两角和公式等一块考查．应注意灵活掌握．
【解答】
解：∵tan12°− 3(4cs212°−2)sin12°=sin12°− 3cs12°2sin12°cs12°cs24°=2sin(12°−60°)12sin48°=−4．
故答案为−4．
15.【答案】(20,32)
【解析】解：作出函数f(x)=|lg2x|,0因为f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，x1所以，由图象知，x1∈(0,1)，x2∈(1,2)，x3∈(2,4)，x4∈(8,9)，
所以由|lg2x1|=|lg2x2|得−lg2x1=lg2x2，所以x1x2=1，
又y=sin(π4x)的图象关于直线x=6对称，则x3+x4=2×6=12，
所以x3x4=x3(12−x3)=−x32+12x3，x3∈(2,4)
由于y=−x32+12x3在x3∈(2,4)上单调递增，所以20故答案为：(20,32)．
作出函数y=f(x)的图象，利用|lg2x1|=|lg2x2|进行去绝对值得出x1x2的值，由曲线y=sinπx4的对称轴得出x3+x4=12，从而得x3x4=x3(12−x3)，再利用二次函数可得出x3x4的范围，从而得出答案．
本题考查了分段函数的图象与性质应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
16.【答案】36+9 350
【解析】解：由题意得1+cs2A2−1+cs2B2= 32sin2A− 32sin2B，
即 32sin2A−12cs2A= 32sin2B−12cs2B，所以sin(2A−π6)=sin(2B−π6)，
由a≠b得A≠B，则2A−π6≠2B−π6，
又A+B∈(0,π)，2A−π6∈(0,11π6),2B−π6∈(0,11π6)，
得2A−π6+2B−π6=π或2A−π6+2B−π6=2×3π2，即A+B=2π3或A+B=5π3(舍去)，
所以C=π3；由c= 3,sinA=35,asinA=csinC，得a=65，
由a故sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=35×12+45× 32=3+4 310，
所以△ABC的面积为S=12acsinB=12×65× 3×3+4 310=36+9 350．
故答案为：36+9 350．
根据二倍角公式化简可得sin(2A−π6)=sin(2B−π6)，结合题设求得A+B=2π3，从而可得C=π3，进而求得sinB，再根据三角形面积公式求得答案．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，三角恒等变换的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，b2+c2−a2=32bc，
由余弦定理csA=b2+c2−a22bc=32bc2bc=34；
(2)由(1)知，0∴sinA= 1−cs2A= 74，
∵B=2A，
∴sinB=sin2A=2sinAcsA=2× 74×34=3 78，
又∵b=3,asinA=bsinB，
∴a=bsinAsinB=3× 743 78=2．
【解析】(1)根据题意，由余弦定理结合条件即可得到结果；
(2)根据题意，可得sinB，然后再由正弦定理即可得到结果．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，
∴AP⋅AC=AP⋅2AO=2AP⋅(AP+PO)=2AP⋅AP+0=8，
∴(AP)2=|AP|2=4，
解得|AP|=2，故AP长为2．
(2)∵AP=xAB+yAC=xAB+2yAO，且B，P，O三点共线，∴x+2y=1①，
又∵|AB|=6,|AC|=8,∠BAC=π3，
则AB⋅AO=|AB|⋅12|AC|cs∠BAC=12，
由AP⊥BD可知AP⋅BO=(xAB+2yAO)⋅(AO−AB)=0，
展开2yAO2−xAB2+(x−2y)AB⋅AO=0，化简得到y=3x②
联立①②解得x=17,y=37，故y−x=27．
【解析】(1)利用线性运算将AC转化为2(AP+PO)，然后根据AP⋅AC=8和AP⋅PO=0得到|AP|2=4，然后求AP即可；
(2)根据B，P，O三点共线得到x+2y=1，根据数量积公式得到AB⋅AO=12，2yAO2−xAB2+(x−2y)AB⋅AO=0，即可得到y=3x，然后解方程即可．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，还考查了向量共线定理的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由题意得，当候鸟停下休息时，它的速度是0km/min，
将x0=5和v=0代入题目所给的公式，可得0=12lg5x10−lg5，
即lg5x10=2lg5=2(1−lg2)≈1.4，从而x≈10×51.4≈95.2，
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量约为95.2单位．
(2)设雄鸟每分钟的耗氧量为x1，雌鸟每分钟的耗氧量为x2，
由题意得：1.75=12lg5x110−lgx01.5=12lg5x210−lgx0，
两式相减可得14=12lg5(x1x2)，解得：x1x2= 5，
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的 5倍．
【解析】(1)候鸟休息时，速度为0，代入公式即可求解；
(2)分别将雌鸟与雄鸟的速度代入公式作差即可得到x1x2的值．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，
取x=y=0，则f(0+0)=2f(0)，∴f(0)=0，
取y=−x，则f(x−x)=f(x)+f(−x)=f(0)=0，
∴f(−x)=−f(x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)为奇函数；
任取x1，x2∈(−∞,+∞)，且x1则x2−x1>0，f(x2)+f(−x1)=f(x2−x1)<0，∴f(x2)<−f(−x1)，又f(x)为奇函数，
∴f(x1)>f(x2).
故f(x)为R上的减函数．∵x∈[−2,4]，∴f(x)≥f(4)，
∵f(4)=2f(2)=4f(1)=−4×f(−1)=−8，
故f(x)在[−2,4]上的最小值为−8．
(2)∵f(x)在[−1,1]上是减函数，∴f(x)≤f(−1)=2，
∵f(x)∴m2−2am+2>2对∀a∈[−1,1]恒成立；
即m2−2am>0对∀a∈[−1,1]恒成立，令g(a)=−2am+m2，
则g(−1)>0g(1)>0，即2m+m2>0−2m+m2>0，
解得m<−2或m>2．
∴实数m的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)．
【解析】(1)利用赋值法与函数奇偶性的定义证得f(x)为奇函数，再利用函数单调性的定义证得f(x)为减函数，从而利用f(x)的单调性与奇偶性即可得解；
(2)利用恒成立的解法，将问题转化为m2−2am>0对∀a∈[−1,1]恒成立，再利用一次函数的单调性得到关于a的不等式组，从而得解．
本题主要考查了抽象函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间上的最值以及单调性的应用，属中档题．
21.【答案】(1)由已知条件，得A=2，又∵T4=3，T=2πω=12，∴ω=π6，
又当x=−1时，有y=2sin(−π6+φ)=2，且φ∈(0,π)，∴φ=2π3，
∴曲线段FGBC的解析式为y=2sin(π6x+2π3),x∈[−4,0]．
由y=2sin(π6x+2π3)=1，根据图像得到π6x+2π3=π6+2kπ(k∈Z)，
解得x=−3+12k(k∈Z)，又x∈[−4,0]，∴k=0，x=−3，∴G(−3,1)．
∴OG= (−3)2+12= 10.∴景观路长为 10千米．
(2)如图，OC= 3,CD=1，
∴OD=2，∠COD=π6，
作PP1⊥x轴于P1点，在Rt△OPP1中，PP1=OPsinθ=2sinθ，
在△OMP中，由正弦定理得OPsin2π3=OMsin(π3−θ)，
∴OM=OPsin(π3−θ)sin2π3=2csθ−2 33sinθ，
SQMPQ=OM⋅PP1=(2csθ−2 33sinθ)×2sinθ
=4sinθcsθ−4 33sin2θ=2sin2θ+2 33cs2θ−2 33
=4 33sin(2θ+π6)−2 33，θ∈(0,π3)，
当2θ+π6=π2，即θ=π6时，平行四边形面积有最大值为2 33平方千米．
【解析】(1)根据图像求曲线段FGBC的解析式，再求出G点坐标，即可求景观路GO长；
(2)由OC= 3,CD=1，可得圆弧DE的半径OD=2，∠COD=π6，结合正弦定理和三角函数，把平行四边形OMPQ面积表示成关于θ的函数，再利用倍角公式和辅助角公式化简，由正弦函数的性质求取最大值．
本题考查三角函数在实际问题中的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1))由x2−x−6>0得：x<−2或x>3，
即g(x2−x−6)的定义域为{x|x<−2或x>3}，
令m=x2−x−6，y=lnm在m∈(0,+∞)内单调递增，
而x∈(−∞,−2)时，m=x2−x−6为减函数，x∈(3,+∞)时，m=x2−x−6为增函数，
故函数g(x2−x−6)的单调递减区间是(−∞,−2)；
(2)由x2∈[1e,e]与x1∈(−∞,0)可知g(x2)∈[−1,1],ex1∈(0,1)，
所以ae2x1−ex1>1或ae2x1−ex1<−1，
分离参数得a>1e2x1+1ex1，或a<1ex1−1e2x1有解，
令n=1ex1，则n>1，a>n2+n或an2+n=(n+12)2−14，或a得a>2或a<0，
即实数a的取值范围为(−∞,0)∪(2,+∞)；
(3)依题意F(x)=ae2x−ex+ae−2x−e−x=a(ex+e−x)2−(ex+e−x)−2a，
令t=ex+e−x≥2 ex⋅e−x=2，当且仅当ex=e−x时取等号，即x=0时取等号，
则函数F(x)转化为h(t)=at2−t−2a(t≥2)，
此时只需讨论方程at2−t−2a=0大于等于2的解的个数，
①当a=0时，h(t)=−t=0没有大于等于2的解，此时F(x)没有零点；
②当a>0时，h(0)=−2a<0，
当h(2)>0时，a>1，方程没有大于等于2的解，此时F(x)没有零点；
当h(2)=0时，a=1，方程有一个等于2的解，函数F(x)有一个零点；
当h(2)<0时，0③当a<0时，h(0)=−2a>0，h(2)=2a−2<0恒成立，
即方程不存在大于等于2的解，此时函数F(x)没有零点；
综上所述，当a=1时，F(x)有一个零点；当01时，F(x)没有零点．
【解析】(1)根据对数型函数的定义域和单调性进行求解即可；
(2)利用常变量分离法、换元法，结合二次函数的性质进行求解即可；
(3)利用换元法，结合一元二次方程根的情况分类讨论进行求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用因式分解法、换元法、分类讨论法、转化法是解题的关键，是中档题．