安徽省合肥市寿春中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析）

这是一份安徽省合肥市寿春中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．2024相反数的倒数是（ ）
A．B．C．2024D．
2．据水利部介绍，自从南水北调东、中线建成以来，已经累计调水量超过698亿立方米，其中698亿用科学记数法表示（ ）
A．B．
C．D．
3．如图所示的几何体的左视图（ ）
A．B．
C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．若关于的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A．B．1C．D．
6．如图，是的内接四边形，连接、，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．春节期间，小明和小华分别从三部春节档影片《飞驰人生2》《热辣滚烫》和《第二十条》中随机选择两部部观看，则小明和小华选择的两部影片相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，的边上有D、E、F三点，若，，，根据图中标示的长度，四边形与的面积比是（ ）
A．B．C．D．
9．一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是（ ）
A．当点P与点A重合时，最小B．当点P与点D重合时，最小
C．当最小时，A、E、C三点共线D．当最小时，
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知a为整数，且，则 ；
12．化简的结果为 ．
13．下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ．
14．如图，在平面直角坐标系的第一象限中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1） ；
（2）若直线轴，交一次函数与点，交反比例函数与点，当点在点的上方时，面积的最大值是 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解不等式，并把解在数轴上表示出来．
16．某快餐店有线上和线下两种消费方式．2022年，该快餐店的年收入总额达50万元，线上收入与线下收入的比是．2023年，该快餐店转变运营模式，同时加大了线上推广的力度，因而收入总额明显提升．与2022年相比，年收入总额增长了，其中线上收入增长了．求该快餐店2023年的线下收入的增长率．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．观察下列关于自然数的等式：
，①
，②
，③
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)完成第四个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性；
(3)根据你发现的规律，可知 ．（直接写出结果即可）
18．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，画出；
(2)用无刻度直尺画图（要求：保留关键作图痕迹，无需写作法）
①过点作的垂线，交于点，并标出点；
②在上找一点，使得，并标出点．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．随着《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的落实，劳动课已成为各中小学不可或缺的独立课程．某学校利用空地建成劳动实践基地．已知空地南北边界，西边界，经测量得到如下数据，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，米，求空地的面积（参考数据：，）．
20．如图1，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是弧的“幸运角”,如图，
(1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是弧的“幸运角”；
(2)如图3，若直径，弦，弧的“幸运角”为，求的长．
六、解答题（本大题共1小题，满分12分）
21．某校七、八年级各有500名学生，为了解两个年级学生对“防电信诈骗”的关注程度，现从这两个年级各随机抽取n名学生进行“防诈反诈”知识测试，将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）：：，：，：，：，：，：．并绘制了七、八各年级的统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩组的全部数据如下：85，85，86，86，87，88，89．
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)______，______；
(2)八年级测试成绩的中位数是______；
(3)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对“防电信诈骗”关注程度高，请估计该校七、八两个年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生一共有多少人，并说明理由．
七、解答题（本大题共1小题，满分12分）
22．如图，已知正方形，点E在边上，点在边的延长线上，且．连接并延长，交于点G．
(1)如图1，①求证；；②连接，求的度数；
(2)如图2，若，求的值．
八、解答题（本大题共1小题，满分14分）
23．如图，平面直角坐标系中，点、在抛物线上，该抛物线的顶点为，点是抛物线第一象限内一点，且在抛物线对称轴右侧，其横坐标为．

(1)求该抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
(2)过点作轴，交抛物线于点，分别过点、作轴的垂线，垂直分别是、，当矩形的周长最大时，求的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】
本题考查了相反数和倒数的定义，正确理解相反数和倒数的概念是解题的关键．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数， 倒数：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数就互为倒数．根据相反数和倒数的概念即可判断答案．
【解答】的相反数是，
相反数的倒数是．
故选：B．
2．B
【分析】
本题考查科学记数法的表示．科学记数法的表示形式为，其中，为整数，根据表示形式，不难表示出698亿．
【解答】1亿
698亿．
故选：B．
3．C
【分析】
此题考查了简单几何体的三视图，能看到的线条用实线，看不到的线条用虚线表示，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
【解答】解：从左边看，是一个矩形，矩形中间靠上有一条竖向的虚线．
故选：C．
4．D
【分析】
根据同底数幂乘除法法则、积的乘方及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．
【解答】A．，故该选项计算错误，不符合题意，
B．，故该选项计算错误，不符合题意，
C．，故该选项计算错误，不符合题意，
D．，故该选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点拨】本题考查同底数幂乘除法、积的乘方及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．
5．A
【分析】整理成一般式后，根据方程有两个相等的实数根，可得△=0，得到关于a的方程，解方程即可得．
【解答】解：x(x+1)+ax=0，
∴x2+(a+1)x=0，
由方程有两个相等的实数根，可得△=（a+1）2-4×1×0=0，
解得：a1=a2=-1，
故选A．
【点拨】本题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
6．A
【分析】
本题考查了圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．利用圆周角定理求解即可．
【解答】解：，
,
故选：A．
7．B
【分析】
本题考查了列表法计算概率，熟练掌握列表法是解题的关键．
【解答】
解：把三部影片分别记为A、B、C，
列表如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小华选择的影片相同的结果有3种，
∴小明和小华选择的影片相同的概率为39=13，
故选：B．
8．D
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．证明，再利用相似三角形的性质求出，得出，再证明，求出，即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知，，，
，
，，
，
，
∴，
，
（负值舍去），
，
，
同理可证，
，
，
，
,
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键．
【解答】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、，则，
二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的正半轴，
故选：B．
10．D
【分析】
以为边向右作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，推出点在射线上运动，且，设交于点，再证明，利用等腰三角形的性质，可得结论．
【解答】解：如图，以为边向右作等边，连接．

是等边三角形，
，，，
，
，
，，
点在射线上运动，且，设交于点，
则，
当时，的长最小，此时，则，
，，
，
，即：点为中点
，
，
．
综上，当点为中点时，的长最小，此时；
故选：D．
【点拨】本题考查矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．
11．4
【分析】
本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题关键．根据，即可求出的值．
【解答】解：，
，
，
又，
，
故答案为：4
12．
【分析】
本题主要考查了异分母分式加法计算，先把原式分母进行统一，然后分子合并化简，最后约分即可得到答案．
【解答】解：
，
故答案为：．
13．
【分析】
本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键．
【解答】解：由题意可知，，
∴的外心与内心之间的距离，
故答案为：．
14． 2 2
【分析】
本题考查反比例函数与一次函数的综合问题．
（1）根据题意，点，都在反比例函数上，即可得出，可解得的值；
（2）由的值知点的坐标，然后可求出一次函数和反比例函数的解析式，再假设点的坐标，最后表示出面积求其最大值即可，具体见解答．
【解答】解：（1），都在反比例函数上
解得（舍弃）；
（2）如图
一次函数的解析式为
反比例函数的解析式为
设
当时，有最大值为2．
15．，数轴上表示见解答
【分析】
此题主要考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式是解题关键．
直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．
【解答】解：去分母得：
，
则，
解得：．
解集在数轴上表示为：
16．
【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【解答】解：设2022年线上收入万元，线下收入万元，
则，解得：，
则，，
即：2022年线上收入20万元，线下收入30万元，
设该快餐店2023年的线下收入的增长率为，
则，解得：，
答：该快餐店2023年的线下收入的增长率为．
17．(1)
(2)第n个等式为：，验证见解析
(3)
【分析】
（1）观察前三个等式，找到相同点和不同点，相同点每个式子第一个都是3，不同点在于第二个就是序号数字，第三个是序号数字加1，根据此即可解出此题．
（2）根据所给的等式的特点，不难得出第n个等式为：，对等式右边进行整理即可求证；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【解答】（1）
解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，
所以第四个式子右边应该是：；
故答案为：；
（2）
由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1，
再由（1）可知，第n个式子应该就是：；
等式右边左边，
所以猜想正确；
（3）
，
故答案为：．
【点拨】
本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
18．(1)见解答
(2)①见解答；②见解答
【分析】本题主要考查了旋转作图，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，画三角形的高．
（1）先将绕点逆时针旋转，画出相应的线，再连接即可；
（2）①如图所示， 取格点K，连接交于H，点H即为所求；②如图所示，取于格线的交点P，点即为所求．
【解答】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①如图所示， 取格点K，连接交于H，点H即为所求；
易证明，则点H即为所求；
②如图所示，取于格线的交点P，点即为所求．
易证明，即可得到。
19．1680平方米
【分析】
本题考查解直角三角形．根据题意，过点作于，把空地分成一个矩形和一个直角三角形即可．
【解答】解：如图所示，过点作于
，
四边形是矩形
在中，
,,
（米）
在中，
,,
（平方米）．
20．(1)见解答
(2)
【分析】
本题考查垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质．
（1）根据垂径定理易得是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的知识及对顶角的性质可得；
（2）连接，根据垂径定理求得,进而得出，再用勾股定理即可．
【解答】（1）解：是直径，
平分
是等腰三角形
是弧的“幸运角”；
（2）如图，连接
弧的“幸运角”为
即的长为．
21．(1)，4
(2)87
(3)275
【分析】
本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答．
（1）根据八年级组人数及其所占百分比即可得出的值，用的值分别减去其它各组的频数即可得出的值；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）用样本估计总体即可．
【解答】（1）
解：八年级测试成绩组：的频数为7，由扇形统计图知D组占
∴进行冬奥会知识测试学生数为（人），
∴，解得
故答案为：，4；
（2）A、B、C三组的频率之和为，
A、B、C、D四组的频率之和为，
∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，88，88，89
∵，即：第6个数据在组
则，第10与第11两个数据为86，88，
∴中位数为，
故答案为：87；
（3）
八年级E：，F：，两组占，
该校七年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生有人
七年级E：，F：两组人数为人
该校八年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生有人
∴该校七、八两个年级对“防电信诈骗”关注程度高的学生一共有人．
22．(1)①见解析；②
(2)
【分析】
（1）①根据正方形的性质，结合，利用可证明，再利用全等三角形的性质可证明，即可证明结论；
②连接，可知，由①可知，，则点、、、四点共圆，结合圆周角定理即可求解；
（2）由题意设，则，，，再证，得，求出即可求解．
【解答】（1）解：①证明：∵四边形是正方形，
∴，，则，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：；
②连接，
∵，，
∴，
由①可知，，则点、、、四点共圆，
∴；
（2）∵，设，则，
∴，，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【点拨】
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
23．(1),顶点的坐标为
(2)的值为2
【分析】
本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数的解析式、顶点坐标、最值．
（1）将、代入即可，将求出的解析式化成顶点式就能写出顶点的坐标；
（2）先将矩形的周长表示成关于的二次函数，再求其最值即可，具体见解答．
【解答】（1）解：将、代入得
解得
该抛物线的解析式为
顶点的坐标为；
（2）
的对称轴为
矩形的周长为
当时，周长最大为10
故的值为2．
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC