江苏省扬州市梅岭中学教育集团2023-2024学年九年级下学期3月学科素养体验数学试题（含解析）

这是一份江苏省扬州市梅岭中学教育集团2023-2024学年九年级下学期3月学科素养体验数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了的倒数是，下列各式中计算正确的是，下列整数中，与最接近的是，下面的几何体中，主，关于x的方程px2＋p＝，因式分解等内容，欢迎下载使用。

1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．7
2．下列各式中计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列整数中，与最接近的是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．1.70，1.65B．1.70，1.70C．1.65，1.65D．3，4
6．如图，点A、B、C在上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．关于x的方程px2＋p＝（p、q为常数，且pq≠0）的根的情况，下列结论中正确的是（ ）
A．一个根B．二个根C．三个根D．无实数根
8．如图，已知线段在平面直角坐标系中，是原点．将绕点顺时针旋转得到，过点作轴，垂足为B．若 ，则的面积是（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把你认为正确的答案填写在答题纸相应位置）
9．函数中，自变量的取值范围是 ．
10．因式分解： ．
11．2021年5月22日，我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面．已知火星与地球的最近距离约为55000000千米，数据55000000用科学记数法表示为 ．
12．如图，一块试验田的形状是三角形（设其为△ABC），管理员从BC边上的一点D出发，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体转过 °．
13．方程的解是 .
14．若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是，则该圆锥的母线长为 ．
15．小华在如图所示的正方形网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．

16．《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，则可列方程为 ．
17．如图，将等边折叠，折痕为，使点落在边上得到点．若，则 ．
18．在平面直角坐标系中，点是y轴上一点，已知点（不与点重合），将点绕点逆时针方向旋转得到点，则称点、互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点．已知点、，点在一次函数的图像上．若在线段上存在点的和谐，则实数a的取值范围是________．
三．解答题（本大题共10小题，共96分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案填写在答题纸相应位置）
19．（1）计算：；
（2）化简．
20．解不等式组：并将解集在数轴上表示．
21．九年级(1)班和(2)班分别有一男一女共4名学生报名参加学校文艺汇演主持人的选拔.
(1)若从报名的4名学生中随机选出1名，则所选的这名学生是女生的概率是 ；
(2)若从报名的4名学生中随机选出2名，用画树状图或列表的方法写出所有可能的情况，并求出这2名学生来自同一个班级的概率.
22．扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为________；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
23．甲、乙两公司为“见义勇为基金会”各捐款3000元，已知甲公司的人数比乙公司的人数多20%，乙公司比甲公司人均多捐20元，求甲乙两公司各有多少人？
24．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，．
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若，，求OE和BG的长．
25．如图，在中，，是的角平分线，点在边上．过点、的圆的圆心在边上，它与边交于另一点．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的长．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数y=(k≠0)的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为(6，−1) ，DE=3．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标．
27．如图，在矩形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作，垂足为点，交或的延长线于点．
(1)当时， ；
(2)已知点是边的中点，当点在边上运动时，能不能经过点？若能，求出的长度；若不能，说明理由；
(3)若点在边上，且，当点从点开始运动到点停止时，求点运动的路径长．
28．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，点P是抛物线上位于点B、C之间的动点．
(1)求的度数；
(2)若，求点P的坐标；
(3)已知点，若点在抛物线上，且；
①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q；
②若，求的值．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解:∵，
∴的倒数是．
故选择A．
【点拨】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键．
2．A
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，积的乘方法则，即可得到答案．
【解答】解：A. ，故该选项正确，
B. ，故该选项错误，
C. ，故该选项错误，
D. ，故该选项错误．
故选A．
【点拨】本题主要考查整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘除法法则，合并同类项法则，积的乘方法则，是解题的关键．
3．D
【分析】
先估算出的值，进而可得出结论．
【解答】
解：∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点拨】
本题考查无理数的估算，不等式的性质，算术平方根．熟练掌握平方数和不等式的性质是解题的关键．
4．C
【分析】分别判断每个选项中的正视图是否满足条件即可．
【解答】解：A的主视图是矩形，不满足条件．
B的主视图是矩形，不满足条件．
C的主视图是三角形，满足条件．
D的主视图是矩形，不满足条件．
故选：C．
【点拨】本题主要考查空间几何体的三视图的判断，要求熟练掌握常见空间几何体的三视图．
5．A
【分析】根据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断出这些运动员跳高成绩的中位数即可；然后找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这些运动员跳高成绩的众数，据此解答即可．
【解答】解： ∵15÷2＝7……1，第8名的成绩处于中间位置，
∴男子跳高的15名运动员的成绩处于中间位置的数是1.70，
∴这些运动员跳高成绩的中位数是1.70；
∵男子跳高的15名运动员的成绩出现次数最多的是1.65，
∴这些运动员跳高成绩的众数是1.65；
综上所述，可得这些运动员跳高成绩的中位数是1.70，众数是1.65．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了众数和中位数，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确众数和中位数的含义和求法．
6．C
【分析】
根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理即可求出．
【解答】
解：，
∴圆心角，
，
，
故选：C．
【点评】
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
7．A
【分析】画出和的图象，根据图象观察的根的情况．
【解答】解：可将方程的解看成抛物线与反比例函数的图象的交点，
∵pq≠0，
∴，，
当，时，画出图形如下：
只有一个交点，
∴方程的解只有一个；
当，时，画出图形如下：

只有一个交点，
∴方程的解只有一个；
当，时，画出图形如下：

只有一个交点，
∴方程的解只有一个；
当，时，画出图形如下：

只有一个交点，
∴方程的解只有一个；
综上，不论何种情况，都只有一个根，
故选：A．
【点拨】本题考查了反比例函数与二次函数图象交点的问题，解题的关键是画出两函数的图象，数形结合解决问题．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，画出两函数的图象，利用数形结合解决交点问题是关键．
8．D
【分析】如图，过作轴于，过作于，由题意知四边形是矩形，在中，由勾股定理得，由旋转角度与旋转的性质可知，设，则，，，，在、中，根据勾股定理整理得，可得，将代入得，求得，确定合适的的值，进而可确定点坐标，的值，根据计算求解即可．
【解答】解：如图，过作轴于，过作于，

∴，
∴四边形是矩形，
在中，由勾股定理得，
由旋转角度与旋转的性质可知：三角形是等边三角形，所以，
设，则，，，，
在中，由勾股定理得，即，
在中，由勾股定理得，即，
∴，
整理得，
将代入得，
整理得，
解得，
当时，，
当时，，不合题意舍去，
∴，，，
∴
，
故选D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于正确的作辅助线．
9．
【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
10．
【分析】先提取公因式4，再根据平方差公式进行分解即可得到答案．
【解答】解：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式要先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11．
【解答】55000000=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，其形式为，且n为正整数，它等于原数的整数数位与1的差．
12．360
【分析】根据题意，管理员转过的角度正好等于三角形的外角和，然后根据三角形的外角和等于360°进行解答．
【解答】解：∵管理员走过一圈正好是三角形的外角和，
∴从出发到回到原处在途中身体转过360°．
故答案为360．
【点拨】本题主要考查了三角形的外角和等于360°，判断出走过一圈转过的度数等于三角形的外角和是解题的关键．
13．
【分析】
先去分母，将分式方程化为整式方程求解，注意结果要检验．
【解答】解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
经检验，是分式方程的解，
故答案为：．
【点拨】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．
14．4
【分析】设该园锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长即可求解．
【解答】解：设该圆锥的母线长为l，根据题意得：
，
解得：，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4
【点拨】本题考查了圆锥的计算：理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
15．
【分析】
令每个小正方形面积为1，运用“移补”的方法可知，阴影部分的面积为5，整个正方形面积为16，进而求得概率．
【解答】
解： ．
故飞镖落在阴影区域的概率是．
故答案为：．
【点拨】
本题考查几何图形中概率的求解；运用“移补”的思想求解阴影部分的面积是解题的关键．
16．
【分析】根据五只雀、六只燕共重一斤可得，根据互换其中一只，恰好一样重可得，据此可得答案．
【解答】解：设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为斤，
由题意得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
17．
【分析】由等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到，设，则，然后求出的周长，再证明，根据相似三角形周长之比等于相似比进行求解即可．
【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
由折叠的性质可得，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的周长之比对应相似比是解题的关键．
18．
【分析】如图1，B、Q为和谐点，设，为等腰直角三角形，在图2中，、为和谐点，设，为等腰直角三角形，分别利用三角形全等求出两图中的的值即可得出最后结论．
【解答】解：如图1，B、Q为和谐点，设，为等腰直角三角形，过点作轴于，
，
，，
，
，
，
，，
，
在图2中，、为和谐点，设，为等腰直角三角形，过点作轴于，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
综上所述：，
故答案为：．
【点拨】本题属于几何变换的题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转后线段长度不变，解题的关键是学会构造等腰直角三角形解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查分式的运算，实数的运算．
（1）利用负整数指数幂、特殊角三角函数值，绝对值计算各项，即可求解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
20．，数轴上表示见解析
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】

解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为：

【点拨】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．(1)；(2).
【分析】(1)直接利用概率公式计算即得.
(2)先画出树状图，得出共有12种等可能的结果，选出的2名学生来自同一个班级的结果有4种 ，然后利用概率公式计算即得.
【解答】(1)一共有4名同学，其中两个为女生，故女生的概率为=
(2)解：画树状图如图.
∵共有12种等可能的结果，选出的2名学生来自同一个班级的结果有4种，
∴这2名学生来自同一个班级的概率为=.
【点拨】此题考查列表法与树状图法，概率公式 ，解题关键在于利用概率公式进行计算
22．（1）500；108；（2）见解析；（3）估计该校需要培训的学生人数为200人
【分析】（1）根据条形统计图中A项为150人，扇形统计图中A项为30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算360°的30%即360°×30%即可；
（2）根据扇形统计图中B选项占40%，求出条形统计图中B选项的人数，补全条形统计图即可；
（3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为×100%，由此估计2000名学生所占的百分比也为×100%，进而求出该校需要培训的学生人数．
【解答】解：（1）150÷30%=500（人），
360°×30%=108°，
故答案为：500；108；
（2）500×40%=200（人），补全条形统计图如下：
（3）×100%×2000=200（人）
∴估计该校需要培训的学生人数为200人．
【点拨】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的之间的关系是解题的关键．
23．甲公司有30人，乙公司有25人
【分析】设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人，根据人均捐款钱数=捐款总数÷人数结合乙公司比甲公司人均多捐20元，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设乙公司有x人，则甲公司有1.2x人，
依题意，得：，
解得：x=25，
经检验，x=25是原分式方程的解，且符合题意，
∴1.2x=30．
答：甲公司有30人，乙公司有25人．
【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)OE＝10，BG＝4
【分析】（1）证OE为△ABD的中位线，则OEFG，再证四边形OEFG为平行四边形，然后根据EF⊥AB，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质得到AB＝AD＝20，OB＝OD，AC⊥BD，根据直角三角形斜边中线的性质得到OE＝AE＝AD＝10，根据矩形的性质得到∠EFG＝∠AFE＝90°，OG＝EF＝8，FG＝OE＝10，根据勾股定理求出AF＝6，于是得到BG＝4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OEFG，
∵OGEF，
∴四边形OEFG为平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝20，OB＝OD，AC⊥BD，
∵点E为AD的中点，AD＝20，
∴OE＝AE＝AD＝10，
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴∠EFG＝∠AFE＝90°，OG＝EF＝8，FG＝OE＝10，
∴AF＝，
∴BG＝AB−AF−FG＝20−6−10＝4．
【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型．
25．(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）连接，由题意可得，继而证明，可得，再根据切线的判断方法解答；
（2）由三角函数的定义，可求得，再结合，可求出，据此求解即可．
【解答】（1）
解：与圆相切，
理由如下：如图，连接，
，
，
平分，
，
，
∴，
，
，且在圆上，
与圆相切；
（2）解：在中，
∵，，
∴，
在中，，
∵，
∴．
【点拨】本题考查圆的综合题，涉及切线的判定与性质、平行线的判定与性质、正弦函数定义等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
26．(1)反比例函数的关系式为y=-；一次函数的关系式为y=-x+2；
(2)点P的坐标是（-，4）或（，-4）．
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；
（2）设点P的坐标是（m，n），根据三角形面积公式求得即可．
【解答】（1）解：∵点C（6，-1）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，
∴k=6×（-1）=-6，
∴反比例函数的关系式为y=-，
∵点D在反比例函数y=-上，且DE=3，
∴y=3，代入求得：x=-2，
∴点D的坐标为（-2，3）．
∵C、D两点在直线y=ax+b上，则，解得，
∴一次函数的关系式为y=-x+2；
（2）解：设点P的坐标是（m，n）．
把y=0代入y=-x+2，解得x=4，
即A（4，0），则OA=4，
∵△POA的面积等于8，
∴×OA×|n|=8，
解得：|n|=4，
∴n1=4，n2=-4，
∴点P的坐标是（-，4）或（，-4）．
【点拨】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
27．(1)2；
(2)不能经过点，理由见解析
(3)点运动的路径长为
【分析】
（1）当时，为等腰直角三角形，从而得到也为等腰直角三角形，可以得到，即可求解．
（2）假设经过点，可证明，有，然后设，，根据比例式建立二元一次方程，判断方程是否有符合条件的解，如无解，则说明不经过点，反之亦然．
（3）先设为,然后用②中的比例关系表示出路径，求得取最大值时相应点所在的位置，再求出从该位置运动到点时点所运动的路径，然后把两个路径加起来就点共运动的路径．
【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故的长为2；
故答案为：2；
（2）解：假设过点，则有，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
设，，
则有，
整理得，
，该方程无解，不存在这样的，
∴不能经过点；
（3）解：根据（2）中，，设，，
则有
当时，有最大值，
此时点为中点时，的运动路径为，如下图：
当从中点运动到点时，如下图，，
则的运动路径为
∴运动的总路径为：．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、一元二次方程根的判别式、二次函数的最值等知识点，利用相似建立函数关系是求解这道题的关键．
28．(1)
(2)
(3)①见解析；②2024
【分析】
（1）先求出点A、B、C的坐标，得到，则是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）延长与y轴相交于点M，作于点N，先求出，再利用等积法求出，勾股定理求出，则，得到，再证明，则，即可得到，得到点，利用待定系数法求出直线的解析式为，与抛物线解析式联立，进一步即可得到点P的坐标；
（3）①在y轴上找到点，用无刻度直尺连接，则与抛物线的交点即为点Q；②求出抛物线的对称轴为，由点，点且的，，则，即，得，由，则，把和代入即可得到答案．
【解答】（1）解：当时，，
∴点C的坐标是，
∴，
当时，，解得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∴,
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（2）解：延长与y轴相交于点M，作于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得，
，
解得,
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或（舍去），
∴点P的坐标是；
（3）解：①在y轴上找到点，用无刻度直尺连接，则与抛物线的交点即为点Q，
②∵抛物线的对称轴为，点，点且，
∴，，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【点拨】此题是二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、勾股定理、解直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、整式的混合运算等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
成绩（m）
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
2
4
3
3
2