【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题14 初等数论 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版

这是一份【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题14 初等数论 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）原卷版，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2021·北京·高三强基计划）2021年是北大建校123周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（ ）
A．4B．8C．12D．前三个选项都不对
2．（2021·北京·高三强基计划）设a，b是正整数n的正因数，使得，则n可以等于（ ）
A．B．
C．D．前三个选项都不对
3．（2021·北京·高三强基计划）在十进制下的末两位数字是（ ）
A．01B．21C．81D．前三个选项都不对
4．（2021·北京·高三强基计划）设n为正整数，且是完全平方数，则这样的n的个数为（ ）
A．1B．2
C．无穷个D．前三个选项都不对
5．（2021·北京·高三强基计划）设，若，则n的最小值为（ ）
A．71B．72C．80D．81
6．（2021·北京·高三强基计划）方程的正整数解的组数为（ ）
A．0B．2C．无穷多D．以上答案都不对
7．（2021·北京·高三强基计划）已知，则S的个位数字是（ ）
A．4B．5C．7D．以上答案都不对
8．（2021·北京·高三强基计划）方程的整数解的组数为（ ）
A．0B．1C．2D．以上答案都不对
9．（2020·北京·高三强基计划）已知整数数列满足，且对任意，有，则的个位数字是（ ）
A．8B．4C．2D．前三个答案都不对
10．（2021·北京·高三强基计划）设正整数，且是完全平方数，则可能的n的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．以上答案都不对
11．（2020·北京·高三强基计划）对于不小于3的正整数n，若存在正整数使得构成等差数列，其中为组合数，则称n为“理想数”．不超过2020的“理想数"的个数为（ ）
A．40B．41C．42D．前三个答案都不对
12．（2020·北京·高三强基计划）在的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数则最多可选因数个数为（ ）
A．16B．31C．32D．前三个答案都不对
13．（2020·北京·高三强基计划）方程的整数解个数为（ ）
A．4B．8C．16D．前三个答案都不对
14．（2019·北京·高三校考强基计划）已知不定方程有正整数解，则正整数n的最小值为（ ）
A．11B．13C．15D．17
15．（2019·北京·高三校考强基计划）满足方程的有序正整数组的个数为（ ）
A．12B．13C．24D．25
16．（2019·北京·高三校考强基计划）在十进制数下，设a是的各位数字之和，而b是a的各位数字之和，则b的各位数字之和是（ ）
A．5B．6C．7D．16
17．（2021·北京·高三强基计划）若为非负整数，则方程的解有（ ）
A．83组B．84组
C．85组D．以上答案都不对
18．（2021·北京·高三强基计划）设是与的差的绝对值最小的整数，是与的差的绝对值最小的整数．记的前n项和为，的前n项和为，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．以上答案都不对
二、多选题
19．（2021·北京·高三校考强基计划）若x，y为两个不同的质数，n为不小于2的正整数且，则（ ）
A．存在奇数n符合题意B．不存在奇数n符合题意
C．存在偶数n符合题意D．不存在偶数n符合题意
20．（2020·北京·高三校考强基计划）设的三边长a，b，c都是整数，面积是有理数，则a的值可以为（ ）
A．1B．2C．3D．4
21．（2020·北京·高三校考强基计划）设x，y为不同的正整数，则下列结论中正确的有（ ）
A．与不可能同时为完全平方数
B．与不可能同时为完全平方数
C．与不可能同时为完全平方数
D．以上答案都不正确
三、填空题
22．（2018·江西·高三竞赛）、为正整数，满足，则所有正整数对的个数为______．
23．（2018·全国·高三竞赛）设n为正整数.从集合中任取一个正整数n恰为方程的解的概率为_______（表示不超过实数x的最大整数）.
24．（2018·安徽·高三竞赛）设n是正整数，且满足，则n=__________.
25．（2018·全国·高三竞赛）用表示不超过实数x的最大整数.则__________．
26．（2018·山东·高三竞赛）已知，，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．
27．（2021·全国·高三竞赛）为正整数列，满足为的最小素因子，，构成集合A，P为所有质数构成的集合，则集合的最小元素为___________．
28．（2021·全国·高三竞赛）集合整除中元素的个数为__________.
29．（2020·北京·高三强基计划）已知表示不超过x的最大整数，记，则方程的整数解个数为__________．
30．（2021·北京·高三强基计划）若可化简为最简分数，则_________．
31．（2021·北京·高三强基计划）若正整数m，n满足，则有_________组．
32．（2021·北京·高三强基计划）若存在正整数n，使得，则正整数m的最大值是_________．
33．（2021·北京·高三强基计划）已知表示不超过x的最大整数，则的值域为_________．
34．（2020·北京·高三强基计划）已知表示不超过x的最大整数，如等，则__________．
35．（2021·北京·高三强基计划）已知是常数项不为0的整系数多项式，，则中有_________项为0．
四、解答题
36．（2018·全国·高三竞赛）求最小的两个正整数m，使得为完全平方数.
37．（2018·全国·高三竞赛）证明：存在无穷多个正整数n，使得，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数．
38．（2018·全国·高三竞赛）求所有素数p，使得.
39．（2018·全国·高三竞赛）证明：存在无穷多个素数，使得对于这些素数中的每一个p，至少存在一个，满足.
40．（2018·江西·高三竞赛）求最小的正整数，使得当正整数点时，在前个正整数构成的集合中，对任意总存在另一个数且，满足为平方数．
41．（2019·全国·高三校联考竞赛）求满足以下条件的所有正整数n：
（1）n至少有4个正因数；
（2）若是n的所有正因数，，构成等比数列.
42．（2019·上海·高三校联考竞赛）求证：不存在无穷多项的素数数列，使得.
43．（2019·吉林·高三校联考竞赛）求所有的正整数n，使得方程有正整数解.
44．（2019·江西·高三校联考竞赛）试求所有由互异正奇数构成的三元集{a，b，c}，使其满足：.
45．（2021·全国·高三竞赛）求方程的所有正整数解．
46．（2021·全国·高三竞赛）求方程的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.
47．（2021·全国·高三竞赛）证明：对任意正整数，都存在正整数和个互不相同的正整数，使是完全平方数．
48．（2018·全国·高三竞赛）对于素数p，定义集合.
及.试求所有的素数p，使得
.
49．（2021·全国·高三竞赛）已知是两个整数集合，且对于任意整数，存在唯一的使得.记.证明：对任意的，存在，使得.
50．（2021·全国·高三竞赛）设为n个正整数，并且满足，令，并记.求证：对于任意，必存在正整数u、v，使得，等于A或.
51．（2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛）设数列满足，且对任意整数是最小的不同于的正整数，使得与互质，但不与互质.证明：每个正整数都在中出现.