云南省昆明市第八中学2023-2024学年特色高二下学期月考一数学试卷（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A. -3B. -6C. 3D. 6
2. 给出下列三个结论：
①若复数纯虚数，则
②若复数，则复数z在复平面内对应的点在第二象限
③若复数z满足，则z在复平面内所对应点的轨迹是圆
其中所有正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
3. 在正项等比数列中，若，，为其前项的和，则（ ）
A 6B. 9
C. 12D. 15
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 若直线与曲线相切，则（ ）
A. B. C. D.
6. 智能主动降噪耳机工作的原理如图1所示，是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪音.
已知某噪音的声波曲线在上大致如图2所示，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线可以为（ ）
A. B.
C. D.
7. 数列成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(非零常数，则（ ）
A. 两组样本数据的样本平均数相同
B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同
D. 两组样本数据的样本极差相同
10. 如图，在正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，则（ ）
A. 平面B. 平面
C. 点在平面内D. 点F在平面内
11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点（点A位于第一象限），与C的准线交于D点，F为线段AD的中点，准线与x轴的交点为E，则（ ）
A. 直线l斜率为B.
C. D. 直线AE与BE的倾斜角互补
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一次下乡送医活动中，某医院要派医生和护士分成3组到农村参加活动，每组1名医生和1名护士，则医生不和护士分到同一组的概率为__________.
13. 若函数在处取得极小值，则a=__________．
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列满足，，.
（1）求；
（2）求数列前20项的和.
16. 的角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.
17. 如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，.
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由.
18. 椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

（1）求椭圆C方程；
（2）设是椭圆C的左、右顶点，点P为直线上的动点，直线分别交椭圆于Q，R两点，求四边形面积的最大值.
19. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当，时，，证明：．