陕西省渭南市华州区咸林中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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（一）单选题（共8小题．每小题5分，共40分）
1. 已知，则数列的图象是（ ）
A. 一条直线B. 一条抛物线
C. 一个圆D. 一群孤立的点
【答案】D
【解析】
【分析】数列的通项公式为，可以看作为关于n的一次函数，由变量即可得出答案.
【详解】数列的通项公式为，可以看作为关于n的一次函数，变量，
数列若用图象表示，从图象上看是一群孤立的点.
故选：D．
2. 已知数列1，，，，…，，则是这个数列的第（ ）
A. 20项B. 21项C. 23项D. 22项
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，令代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，令，解得，
所以是这个数列的第23项.
故选：C
3. 在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于( )
A. 32B. 33C. －33D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】由等差数列的定义，列出方程分别求出和即可.
【详解】设等差数列的公差为，
因为a5＝6，a8＝15，
所以，解得
则.
故选:B.
4. 记等比数列满足，则公比q等于（ ）
A B. 或C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出公比后计算即可得.
【详解】设该数列公比为，则有，
由，故有，即，
解得或.
故选：B.
5. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第个儿子的年龄为，则（ ）
A. 23B. 32C. 35D. 38
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得数列是公差为的等差数列，由可求出.
【详解】由题意可得年龄构成的数列是公差为的等差数列，
且，解得.
故选：C.
6. 在各项都为正数的等比数列中，首项，前3项和为21，则( )
A. 84B. 72C. 33D. 189
【答案】A
【解析】
【详解】分析：设等比数列的公比为，根据前三项的和为列方程，结合等比数列中，各项都为正数，解得，从而可以求出的值.
详解：设等比数列的公比为，
首项为3，前三项和为，
，解之得或，
在等比数列中，各项都为正数，
公比为正数， 舍去），
，故选A.
点睛：本题考查以一个特殊的等比数列为载体，通过求连续三项和的问题，着重考查了等比数列的通项，等比数列的性质和前项和等知识点，属于简单题.
7. 在等比数列中，若是方程两根，则的值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵方程的两根为，，
∴由等比数列的性质得：，
∴.
故选B.
考点：一元二次方程的根；等比数列的性质.
8. 已知函数（且）的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列的第二项与第三项，若，数列的前n项和为，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】借助对数函数性质可得、，即可得数列的通项公式，即可得，借助裂项相消法求和即可得，即可得.
【详解】函数过定点，故，，
又，，故，
则，故，
则.
故选：B.
（二）多选题（共4小题，多选或错选0分，少选2分，全选对5分）
9. 记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式
【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差，
所以，.
故选：AC.
【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.
10. 如果为递增数列，则的通项公式可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】计算的正负即可得.
【详解】对A：，故A符合；
对B：，故B不符合；
对C：，故C不符合；
对D：，故D符合.
故选：AD.
11. 设数列是等差数列，公差为d，是其前n项和，且，则（ ）
A. B.
C. 或为的最大值D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，再由，可得数列是单调递减的等差数列，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于B，由可得，又，
所以，所以，故B正确；
对于A，由，可得，
又，所以，所以数列是单调递减的等差数列，故A错误；
对于C，由，，可得，，
所以当或时，最大，故C正确；
对于D，又，所以，故D错误；
故选：BC
12. 在公比为整数等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是
A.
B. 数列是等比数列
C.
D. 数列是公差为2的等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】由，，，，公比整数．解得，．可得，，进而判断出结论．
【详解】解：，，，，公比为整数．
解得．
，．
，数列是公比为2的等比数列．
．
．数列是公差为的等差数列．
综上可得：只有ABC正确．
故选：ABC．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 在数列中，，，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得数列为等差数列，借助等差数列性质计算即可得.
【详解】由，，故数列为首项为1，公差为2的等差数列，
故.
故答案为：.
14. 三个数成等比数列，公比大于1，它们的和等于14，它们的积等于64，则这三个数是______．
【答案】、、
【解析】
【分析】设出这三个数，借助等比数列的性质计算即可得.
【详解】设这三个数分别为、、且，
由等比数列性质可得，又，故，即，
又，故有，，可得，，
故这三个数是、、.
故答案为：、、.
15. 在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝________.
【答案】2
【解析】
【分析】由及＝5d即可求解.
【详解】解:由,得,
所以＝5d＝10，所以d＝2.
故答案为：2.
16. 各项互不相等的等比数列满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质知，则，利用整体代入法可得，由均值不等式可求得最小值.
【详解】由题意知，即，
则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查等比数列的性质，均值不等式，属于基础题.
三．解答题（6小题，共70分）
17. 已知在等差数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求当n为何值时，数列的前n项和取得最大值，并求最大值.
【答案】（1）
（2）时有最大值
【解析】
【分析】（1）借助等差数列基本量计算即可得；
（2）求出前n项和后借助二次函数性质计算即可得.
【小问1详解】
设数列的公差为，则有，即，
故；
【小问2详解】
令数列的前n项为，则，
则当时，取得最大值，且最大值为.
18. 已知为等比数列，，，求的通项公式.
【答案】见解析
【解析】
【详解】设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q
所以 + 2q= , 解得q1= , q2=" 3,"
当q1=, a1=18．所以 an=18×()n－1= = 2×33－n．
当q=3时, a1= , 所以an=×3n－1=2×3n－3．[
19. 已知数列的前n项和为．
（1）求，，.
（2）求这个数列的通项公式．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分别令代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，令，则，
令，则，
令，则，
所以.
【小问2详解】
因为，
当时，，
当时，，
且也满足上式，
所以.
20. 已知数列中，（，）.
（1）求数列的通项公式．
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由迭代法代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为（，），所以当时，，
所以当时，
，
当时，也成立，
所以数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）可得，
则
，
所以.
21. 已知数列满足，．
（1）证明数列是等比数列，并求通项公式．
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）结合等比数列定义构造出，再求出首项即可得；
（2）借助分组求和法计算即可得.
【小问1详解】
由，则，
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，故；
【小问2详解】
.
22. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn＝(2n－1)an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）an＝2n－1(n∈N*)；（2）Tn＝(2n－3)×2n＋3.
【解析】
【分析】（1）结合等比数列的前n项和公式得到q2－q－2＝0，解方程求出公比，即可写出通项公式；
（2）错位相减法求数列的前n项和.
【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q，由an1，又a1＝1，则a2＝q，a3＝q2，
因为S3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，
则1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式为 (n∈N*).
（2）由（1）知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)· (n∈N*)，
则Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×，
2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×＋(2n－1)×2n，
两式相减，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×－(2n－1)×2n，
即－Tn＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，
化简得Tn＝(2n－3)×2n＋3.