上海市松江二中2022-2023学年高一上学期期中数学试题-c1

这是一份上海市松江二中2022-2023学年高一上学期期中数学试题-c1，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、填空题
1．已知，.若，则______.
2．将化成有理数指数幂的形式为______.
3．若集合是空集，则实数的值为________
4．已知，，则______.（结果用，表示）
5．已知实数，满足，则的取值范围为______.
6．若对数方程的两根为，则______.
7．函数的图像关于点中心对称，则______.
8．设关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________．
9．已知实数，，满足，以及，则______.
10．已知，则的最小值为__________．
11．对一切实数x不等式恒成立，则a的取值范围为_________．
12．考虑集合的非空子集，若其子集中的奇数的个数不少于偶数个数，则称这个子集叫做“奇子集”，则S的“奇子集”的个数为_________．
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二、单选题
13．对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（ ）
A．B．C．D．
14．若，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
15．已知，，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
16．已知对任意及，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
17．已知全集为，，.
(1)求；
(2)求.
18．命题甲：关于的不等式的解集是空集.命题乙：函数随着增大不增大.
(1)若命题甲、命题乙中至少有一个真，求的取值范围；
(2)求的取值范围，使命题甲是命题乙的必要条件.
19．某公司生产的某批产品的销售量万件（生产量与销售量相等）与促销费用万元满足（其中，）.已知生产该批产品还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；
(2)设.当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
20．若集合是整数集的子集，且满足对任意的，总存在，使得，或者，则称集合具有性质.
(1)若，，判断，中哪个集合具有性质；
(2)已知集合具有性质且，求元素个数最少的集合；
(3)已知集合，具有性质，判断和是否具有性质，并说明理由.
21．给定无理数．若正整数，，，满足．
(1)试比较三数，，的大小；
(2)证明存在两组不完全相同的正整数a，b，c，d满足且；
(3)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立
① ② ③
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参考答案：
1．2
【分析】根据集合相等的定义进行求解即可.
【详解】因为，，，
所以，
故答案为：2
2．
【分析】根据分数指数幂与根式的关系集合指数幂运算法则计算即可.
【详解】解：.
故答案为：.
3．0
【分析】根据题意可知：方程无解即可.
【详解】由题意可得：
方程无解，
所以.
故答案为：0
【点睛】本题考查了空集的概念，属于基础题.
4．
【分析】首先利用指对互换公式，将化成再利用对数加法即可求解.
【详解】，又，则.
故答案为：
5．
【分析】通过两个不等式，即可得到答案.
【详解】，即，
根据得，则，
根据得，则，
故，
故答案为：.
6．##
【分析】利用因式分解法，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】，或，
由，由，
所以，
故答案为：
7．4
【分析】根据分式函数的对称性进行求解即可.
【详解】因为
所以该函数的对称中心为，由已知可知该函数的图像关于点中心对称，
所以有，
故答案为：4
8．
【分析】不等式组解集为，即该不等式组内的两个不等式解集均为，由此求解即可.
【详解】不等式组的解集为，
即不等式与不等式的解集均为，
对于不等式，若其解集为，则有，
解得，
对于不等式，等价于，若其解集为，则有，
解得，
综上所述，实数的取值范围为，即.
故答案为：.
9．2
【分析】本题将条件整体代换到后式得，则可解出的值，再代回条件解出值，最后算出结果即可.
【详解】将代入得
得
故，，，代入，
，
故答案为：2.
10．
【分析】先判断得每一项均为正，然后利用两个分布的关系得，利用均值不等式计算即可.
【详解】因为，所以，，显然，，所以，当，即时，等号成立，所以，所以的最小值为.
故答案为：
11．
【分析】首先将恒成立问题转化为求函数最小值问题，然后分类讨论求函数最小值即可.
【详解】设，则“对一切实数x不等式恒成立”等价于“”
当时，，此时，则，解得.
当时，，即，不可能恒成立，不符合题意.
当时，，此时，则，解得.
综上所述，的取值范围为
故答案为：
12．162
【分析】分类讨论，考虑子集中的奇数个数一定时，偶数的个数的可能的情况，将每种情况的自己个数相加，可得答案.
【详解】由题意知的元素中有4个奇数和4个偶数，
当子集中的奇数的个数为1个时，S的“奇子集”的个数为个；
当子集中的奇数的个数为2个时，S的“奇子集”的个数为个；
当子集中的奇数的个数为3个时，S的“奇子集”的个数为个；
当子集中的奇数的个数为4个时，S的“奇子集”的个数为个；
故S的“奇子集”的个数为，
故答案为：162.
13．D
【分析】根据对数中底数的取值要求进行求解判断即可.
【详解】对数中的实数的取值要求为：且，
A：本选项显然不符合题意；
B：，显然不符合题意；
C：，或，显然不符合题意；
D：且，所以有且，显然符合题意，
故选：D
14．A
【分析】根据不等式的性质可判断A，取特值可判断B，C，D.
【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，故C不正确；
对于D，若，则，故D不正确.
故选：A.
15．A
【分析】由知为集合的子集，集合为集合的所有子集构成的集合，从而确定集合与集合的关系.
【详解】由知为集合的子集，
即可取元素为，
所以是集合的一个元素，即，
故选：A
16．D
【分析】应用参变分离法有恒成立，令结合二次函数的性质求右侧的取值范围，只需即可确定范围.
【详解】由题设，恒成立，
令，则，
所以只需即可，故.
故选：D
17．(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得集合，根据补集运算得；
（2）求解集合，在根据交集运算得，由补集运算得.
【详解】（1）解：因为，解得或，则或，
从而.
（2）解：由题意可知或.
因此或，故.
18．(1)
(2)
【分析】（1）分别求解命题甲为真，命题乙为真时的取值范围，再根据命题甲、命题乙中至少有一个真，即可得的取值范围；
（2）将命题甲是命题乙的必要条件转化成集合间的关系求解即可.
【详解】（1）解：若命题甲：“关于的不等式的解集是空集”为真，则，即或.
若命题乙：“函数随着增大不增大.”为真，则，故.
因此命题甲、命题乙中至少一真，则.
（2）解：命题甲是命题乙的必要条件，则命题乙是命题甲的充分条件.
记使命题乙成立的的取值范围为，则或
使命题甲成立的的取值范围为，则，从而.
因此满足条件的的取值范围.
19．(1)；
(2)当促销费用投入2万元时，厂家利润最大.
【分析】（1）根据销售价、销售量、利润、成本之间的关系进行求解即可；
（2）根据基本不等式进行求解即可.
【详解】（1）由题意可知，，
将代入化简得；
（2）因为，
上式当且仅当，即时，取等号.
故当时，促销费用投入2万元时，厂家利润最大.
20．(1)
(2)
(3)具有性质，不具有性质，理由见解析
【分析】对于(1)和(2)，结合集合新定义即可求解；(3)结合新定义，利用进行举例，即可求解.
【详解】（1）结合集合新定义可知，不具有性质，
具有性质.
（2）结合集合新定义可知，
已知，因此要么存在或者；
进一步存在或者或者或者；
进一步计算可得或者或者或者或者或者或者或者.
因此可得取是使得时，元素个数最少的集合.
（3）具有性质，不具有性质.
因为对任意的，则或者，
不妨设，故总存在，使得，或者，因此具有性质.
构造，都具有性质，但是不具有性质.
故具有性质，不具有性质.
21．(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由题得，再利用作差法比较得解；
（2）构造数列即得证；
（3）利用反证法证明，，①，.② ，两式相加即得证.
【详解】（1）解：由题得，所以.
.
.
所以.
（2）构造数列
对任意的，，
此时可取即可.
（3）利用反证法，假设都成立，
，
所以，
所以，
设，所以所以. ①
,
所以,
所以，
所以.②
①+②得矛盾.
所以三个不等式中至少有一个不成立