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上海市延安中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题-ce
展开数学试卷分享2022.9-2023.6 群728806400
一、填空题
1.所有正奇数组成的集合用描述当表示为_________.
2.不等式的解集为______________________.
3.已知集合,或,则_________.
4.已知集合,,且,则实数的取值范围是_________.
5.已知集合,,,则_________.
6.设,关于的方程的解集为,若只有1个元素,则实数的取值范围是_________.
7.不等式的解集是_________.
8.集合满足,则这样的集合有_________个.
9.对任意实数都有,则实数的最大值为_________.
10.若关于的不等式在上恒成立,则实数的取值范围是__________.
11.关于的不等式的整数解恰有3个,则实数的取值范围是_________.
数学试卷分享2022.9-2023.6 群728806400
二、解答题
12.若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长,则实数的取值范围是______________.
13.(1)已知集合,,求;
(2)已知集合,,求.
14.已知 ,.
(1),求的取值范围;
(2)“”是“”的必要不充分条件,求的取值范围.
15.求关于的不等式的解集.
16.由于浓酸泄漏对河流形成了污染,现决定向河中投入固体碱,1个单位的固体碱在水中逐步溶化,水中的碱浓度与时间的关系,可近似地表示为,只有当河流中碱的浓度不低于1时,才能对污染产生有效的抑制作用.
(1)如果只投放1个单位的固体碱,则能够维持有效抑制作用的时间有多长?
(2)当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放1个单位的固体碱,此后,每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和,求河中碱浓度可能取得的最大值.
17.已知实数,,.
(1)若,求的值;
(2)求证:;
(3)用反证法证明:.
三、单选题
18.已知为实数,若且,则下列结论中,正确的是( )
A.B.
C.D.
19.若用反证法证明命题:“,若可被5整除,那么,中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应该是( )
A.,都不能被5整除B.,都能被5整除
C.,不都能被5整除D.能被5整除
20.“”是“关于的不等式的解集为”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
21.对于使成立的所有常数中,我们把的最小值叫做的上确界,若,则的上确界为
A.B.C.D.
参考答案:
1.
【分析】根据正奇数的性质进行求解即可.
【详解】因为正奇数除以,余数为,
所以所有正奇数组成的集合用描述当表示为,
故答案为:
2.或
【分析】将题设分式不等式转化为,求解集即可.
【详解】由得:.
故,解得或.
故答案为:或
3.,或
【分析】根据集合并集的定义进行求解即可.
【详解】因为集合,或,
所以,或,
故答案为:,或
4.
【分析】根据即可求得实数的取值范围.
【详解】解:,,若,则.
故答案为:.
5.
【分析】化简集合,求出,即可求解.
【详解】,
,
,
,
故答案为:.
6.
【分析】根据交集的定义,将问题等价于方程在上存在唯一实数根,由一元二次方程的解法,分与两种情况进行讨论,结合二次函数的性质,可得答案.
【详解】由题意,方程在上存在唯一实数根,
当,即时,方程为,解得,符合题意;
当,即时,令,则,解得,符合题意.
故答案为:.
7.
【分析】转化为不等式求解即可.
【详解】由题得,
所以,所以或且.
故答案为:.
8.15
【分析】分析集合中的元素个数,由于,则符合的集合个数即可确定.
【详解】解:,则当时,;当时,;当时,;所以
又,集合中有4个元素,为真子集,故符合这样的集合有:,,,,,,,,,,,,,,,共15个.
故答案为:15.
9.2
【分析】由绝对值的定义得,然后确定取最大值时,再利用不等式恒成立求得参数范围得最大值.
【详解】,取最大值,显然有,
因此,,,所以的最大值是2.
故答案为:2.
10.
【分析】根据绝对值的意义表示数轴上的对应点到2和对应点的距离之和,它的最小值等于,可得答案.
【详解】表示数轴上的对应点到2和对应点的距离之和,它的最小值等于,由不等式恒成立知,,
解得:
故答案为:.
11.
【分析】根据不等式的整数解恰有3个,先确定且有得出,再用表示出不等式解集为,可以确定,故三个整数解为,从而可列出另一个端点的取值范围为 ,从而解得的范围.
【详解】关于的不等式等价于,
此不等式整数解恰有3个,则有且有,故有,
令即得, ,
故不等式的解集为,
因为,所以
所以解集中一定恰有三个整数 ,可得,解得.
故答案为:.
12.
【解析】方程的三根是一个三角形三边的长,则方程有一根是,即三角形的一边是,另两边是方程的两个根,根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.则方程的两个根设是和,一定是两个正数,且一定有,结合根与系数的关系,以及根的判别式即可确定的范围.
【详解】解:方程有三根,
,有根,
方程的,得.
又原方程有三根,且为三角形的三边和长.
有,,而已成立;
当时,两边平方得:.
即:.解得.
.
故答案为:
【点睛】思路点睛:本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系,
利用了:①一元二次方程的根与系数的关系,
②根的判别式与根情况的关系判断,
③三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.
13.(1)
(2)
【分析】(1)分析出两集合为点集,则集合的交集为两个函数的交点,联立求出交点坐标即可.
(2)两集合为数集,则集合的交集为两个函数值域的交集.
【详解】(1)集合均为点集,求其交集即是求函数与函数的交点坐标.
即 ,解得.
故.
(2)集合均为数集,求其交集即是求函数与函数值域的交集.
,
故.
14.(1)
(2)
【分析】(1)利用建立不等式,解出的取值范围即可.
(2)由“”是“”的必要不充分条件可以得到集合是集合的真子集,建立满足条件的不等关系式组,解出来即可
【详解】(1)因为,所以;
又因为,所以;
可知集合为非空集合,
所以,则有: 或,
解的: 或,
所以若,则的取值范围为:
(2)由“”是“”的必要不充分条件,
所以有集合是集合的真子集,
所以由
当时,满足题意;
当时,满足题意;
所以当“”是“”的必要不充分条件时,
的取值范围为:
15.答案见解析
【分析】对进行分类讨论,然后结合一元一次或一元二次不等式的求法即可求解.
【详解】解:
当时,则不等式为,所以,解集为;
当时,方程的两根为:,
①当时,,不等式的解集为;
②当时,则,则不等式的解集为:;
③当时,则,则不等式的解集为:;
④当时,则,则不等式的解集为:或;
综上,当时,解集为;当时,解集为;当时解集为:;当时,解集为:;当时,解集为:或.
16.(1);(2).
【详解】(1),
,
综上,得.
即若1个单位的固体碱只投放一次,则能够维持有效抑制作用的时间为.
(2)当时,单调递增,
当时,y=4-x单调递减,
所以当河中的碱浓度开始下降时,即刻第二次投放1个单位的固体碱,
即时,,
故当且仅当时,y有最大值.
本试题主要考查了函数在实际生活中的运用.
17.(1);
(2)证明过程见解析;
(3)证明过程见解析.
【分析】(1)根据完全平方公式进行求解即可;
(2)利用一元二次方程根与系数的关系,结合二次函数的性质进行证明即可;
(3)运用反证法,结合(2)的结论进行证明即可.
【详解】(1)因为,所以,,
又因为,
因为,
所以;
(2)由,
因为,
所以由,
由,
所以实数可以看成关于的一元二次方程的两个不相等的大于的实数根,设,
因此有,
显然;
(3)假设不成立,即,由(2)可知:,显然矛盾,
故假设不成立,因此.
18.C
【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.
【详解】当为负数时,A选项显然不成立;
当时,B选项显然不成立;
根据不等式的同向可加性可知C正确;
当为负数时,D选项显然不成立;
故选:C.
19.A
【分析】根据命题的结论的否定进行判断即可.
【详解】因为,中至少有一个能被5整除的否定是,都不能被5整除,
所以假设的内容应该是,都不能被5整除,
故选:A
20.C
【分析】根据“关于的不等式的解集为”求得的范围,从而可判断两个条件之间的关系.
【详解】解:关于的不等式的解集为,当时,不等式为,解集为,符合题意;当时,不等式化为,则,不符合题意;当时,不等式化为,则,不符合题意;综上,
所以“”是“关于的不等式的解集为”的充要条件.
故选:C.
21.B
【详解】试题分析:由题意可知,只需求的最大值即可,因此可先求 的最小值,,当且仅当 ,即时取等号,所以 的最大值是 ,故选B.
考点:基本不等式.
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