广东省茂名市高州市2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含解析）

这是一份广东省茂名市高州市2023-2024学年八年级下学期月考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分为120分，考试时间为120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．有一直角三角板，30°角所对直角边长是6cm，则斜边的长是（ ）
A．3cmB．6cmC．10cmD．12cm
2．若，则下列式子错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．明明在玩摆木棒游戏，帮他看一看哪一组长度的木棒可以构成直角三角形（ ）
A．2，3，4B．3，4，6C．6，7，11D．5，12，13
4．已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ）
A．P＞R＞S＞QB．Q＞S＞P＞RC．S＞P＞Q＞RD．S＞P＞R＞Q
6．等腰三角形的一个内角是，则它的一个底角的度数是（ ）
A．B．C．或D．或
7．若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m=（ ）
A．±1 B．1 C．﹣1 D．0
9．如图，已知点和点，在坐标轴上确定点，使得为等腰三角形，则满足条件的点共有（ ）
A．个B．个C．个D．个
10．如图，点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上②点P在∠CBE的平分线上③点P在∠BCD的平分线上 ④点P是 ∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②③④C．②③D．④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ．
12．“x的一半减去4所得的差不小于15”，用不等式表示 ．
13．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，则线段的长为 ．
14．如图，在中，，点D是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ．
15．如图所示，运行程序规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是 ．
三、解答题（一）（本大题4小题，共26分）
16．解一元一次不等式
17．解不等式组，并把解集表示在数轴上，并写出其整数解．
18．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
19．在等腰中，三边长分别是a，b，c，并且满足，求的周长．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．如图，在中，，，．
(1)在线段上求作一点，使（保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接 ，求的长．
21．如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，垂足为点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
22．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：
因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于-3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是-3＜x＜3；
因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小大于-3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜-3或x＞3．
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜a（a＞0）的解集为______；不等式|x|＞a（a＞0）的解集为______．
（2）解不等式|x-5|＜3；
（3）解不等式|x-3|＞5．
五、解答题（三）（本大题2小题，共22分）
23．综合与实践
【问题情境】高州市传统特产品“深薯”、“爆皮王番薯”以“浓郁薯香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．我校兴趣小组为了了解以上两个品种在某特店的经营情况，经调查得知件深薯和件爆皮王番薯进货价为元，件深薯和件爆皮王番薯进货价为元．
【深入探究】
（）分别求出每件深薯、爆皮王番薯的进价；
【问题解决】
（）某特产店计划用不超过元购进深薯、爆皮王番薯共件，且深薯的数量不低于爆皮王番薯数量的，该特产店有哪几种进货方案?
（）若该特产店每件深薯售价为元，每件爆皮王番薯售价为元，在（）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元?
24．如图1，P，Q分别是边长为的等边的边，上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，运动的时间为，直线，交于点M．
(1)求的度数．
(2)当t为何值时，是直角三角形？
(3)如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线，上运动，求的度数．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长．
【解答】解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为6cm
∴斜边长为12cm
故选D．
【点拨】本题主要考查直角三角形的性质，掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
2．D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【解答】解：、∵，∴，该选项正确，不合题意；
、∵，∴，该选项正确，不合题意；
、∵，∴，该选项正确，不合题意；
、∵，∴，该选项错误，符合题意；
故选：．
3．D
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵，
∴，
∴不能组成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∴不能组成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵，，
∴，
∴不能组成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵，，
∴，
∴能组成直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4．D
【分析】
根据点在第二象限，得到，求出解集并表示在数轴上，即可得到答案．
【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
解得，
将解集表示在数轴上为，
故选：D．
【点拨】此题考查了直角坐标系中点坐标的特点，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，综合掌握各知识点是解题的关键．
5．D
【分析】本题要求掌握不等式的相关知识，利用“跷跷板”的不平衡来判断四个数的大小关系，体现了“数形结合”的数学思想．
【解答】观察前两幅图易发现S＞P＞R，再观察第一幅和第三幅图可以发现R＞Q．
故选D．
【点拨】考点：一元一次不等式的应用，利用数形结合的思想解题是关键．
6．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分的角是底角和顶角两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【解答】解：当的角是底角时，底角即为；
当的角是顶角时，底角为；
∴它的一个底角的度数是或，
故选：．
7．A
【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集与两个不等式解集间的关系是解题的关键．先求出第一个不等式的解集，再结合不等式组的解集确定的取值范围．
【解答】解：由不等式得，由不等式得，
∵不等式组的解集为，
，
解得：，
故选：A．
8．B
【解答】试题分析：根据已知和一元一次不等式的定义得出m+1≠0，|m|=1，求出即可．
解：∵（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，
∴m+1≠0，|m|=1，
解得：m=1，
故选B．
点评：本题考查了一元一次不等式的定义的应用，关键是能根据已知得出m+1≠0，|m|=1．
9．C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意画出图形，即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【解答】解：当为腰时，分别以点为圆心，的长度为半径画圆，与坐标轴有个交点、、、，，满足条件，如图所示，
当为底边时，点即为原点位置；
∴满足条件的点P共有个，
故选：．
10．B
【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，
∴点P到AE、AD的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，
故①正确；
∵点P到AE、BC的距离相等，
∴点P在∠CBE的平分线上，
故②正确；
∵点P到AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BCD的平分线上，
故③正确；
∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，
故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故选：B．
【点拨】本题考查了角平分线的判定定理，熟记“在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上”是解题的关键．
11．若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等
【分析】
根据逆命题的定义，若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等即可．
【解答】解：命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等，
故答案为：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．
【点拨】本题考查命题概念，弄清楚命题的条件和结论是写出逆命题的关键．
12．
【分析】本题主要考查不等关系的表示，抓住题中的关键词是解决本题的关键．根据题干中的关键词“不小于”即为“”，直接列不等式即可；
【解答】
解：“x的一半减去4所得的差不小于15”，用不等式表示：；
故答案是：．
13．
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，由角平分线的定义可得，，由平行线的性质可得，，进而得到，，即可得，，故可得，即可求解，掌握平行线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
【解答】解：∵和的平分线交于点，
∴平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
即，
故答案为：．
14．##28度
【分析】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数．
【解答】解：点是的垂直平分线与的交点，
，
，
，，
将沿着翻折得到，
，
．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序操作进行了两次才停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，根据运行程序正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【解答】解：由题意可得，，
解得，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，按照解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【解答】解：去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
17．不等式组的解集为；不等式组的整数解为：，，，；数轴表示见解析．
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解，先分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即得到不等式组的解集，进而可得不等式组的整数解，再根据解集在数轴上表示即可，掌握解不等式组的步骤是解题的关键．
【解答】解：，
解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：，，，，
在数轴上表示不等式组的解集为：
18．证明：（1）见解析
（2）见解析
【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再由AC=BD，AB=BA，根据HL得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD．
（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴△ABC与△BAD是直角三角形，
在△ABC和△BAD中，∵ AC=BD，AB=BA，∠ACB=∠BDA =90°，
∴△ABC≌△BAD（HL）
∴BC=AD．
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB．
∴△OAB是等腰三角形．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．
19．的周长是12或8
【分析】
本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，等腰三角形的定义，先利用非负数的性质求解，的值，再分类讨论，根据三角形的三边关系可得答案．
【解答】
解：∵，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
又∵a，b，c分别是等腰的边，
①当时，，符合三角形的三边关系，
∴的周长是：，
②当时，，符合三角形的三边关系，
∴的周长是：，
综上分析可知，的周长是12或8．
20．(1)答案见解析
(2)3
【分析】
本题考查了用直尺和圆规作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判断与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1） 作线段的垂直平分线，交于点D，根据线段垂直平分线的性质，可知；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可知，故，因此，根据等腰三角形的判定，可得，从而可得答案．
【解答】（1）如图，点D就是所求的的点；
（2）由（1）的作法可知，是边的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
．
21．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（）由角平分线可得，由平行线的性质可得，即可得，根据等角对等边即可得到；
（）由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，再由勾股定理即可求出的长；
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．
【解答】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
22．（1）-a＜x＜a；x＞a或x＜-a；（2）2＜x＜8；（3）x＞8或x＜-2．
【分析】(1)根据题中所给出的例子进行解答即可；
(2)根据题中所给的实例列出关于x的不等式组,求出其解集即可；
(3)根据题中所给的实例列出关于x的不等式组,求出其解集即可．
【解答】解： (1)不等式|x|＜a(a＞0)的解集为－a＜x＜a；
不等式|x|＞a(a＞0)的解集为x＞a或x＜－a；
(2)|x－5|＜3，
由(1)可知－3＜x－5＜3，
∴2＜x＜8；
(3)|x－3|＞5，
由(1)可知x－3＞5或x－3＜－5，
∴x＞8或x＜－2.
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键．
23．（）每件深薯的进价为，每件爆皮王番薯的进价为；（）该特产店有三种进货方案：购进深薯件，购进爆皮王番薯件；购进深薯件，购进爆皮王番薯件；购进深薯件，购进爆皮王番薯件；（）购进深薯件，购进爆皮王番薯件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为元．
【分析】（）设每件深薯的进价为，每件爆皮王番薯的进价为，根据题意，列出二元一次方程组即可求解；
（）设购进深薯件，则购进爆皮王番薯件，根据题意，列出一元一次不等式组求出的取值范围，由的取值范围即可求解；
（）设总利润为元，求出关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解；
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意，正确列出方程组、不等式组及一次函数解析式是解题的关键．
【解答】解：（）设每件深薯的进价为，每件爆皮王番薯的进价为，
由题意可得，，
解得，
答：每件深薯的进价为，每件爆皮王番薯的进价为；
（）设购进深薯件，则购进爆皮王番薯件，
由题意可得，，
解得，
∵为整数，
∴该特产店有三种进货方案：
当时，，
即购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
当时，，
即购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
当时，，
即购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
∴该特产店有三种进货方案：购进深薯件，购进爆皮王番薯件；购进深薯件，购进爆皮王番薯件；购进深薯件，购进爆皮王番薯件；
（）设总利润为元，
依题意可得，，
∵，
∴随的增大而增大，
又∵，
∴，取最大值，最大利润元，
答：购进深薯件，购进爆皮王番薯件，可使该特产店获得利润最大，最大利润为元．
24．(1)
(2)2或4
(3)
【分析】（1）先证明，从而得到，然后利用三角形的外角的性质求解即可；
（2）由题意时间为t秒，则，，①当时，②当时，列方程即可得到结果；
（3）先证明，从而得到，再依据三角形内角和定理，求解即可．
【解答】（1）
证明：∵等边三角形中，，，
又由条件得，
，
，
；
（2）
解：由题意时间为t秒，则，，
①当时，
，
，
，得，
；
②当时，
，
，得，
；
∴当第2秒或第4秒时，为直角三角形；
（3）
解：在等边三角形中，，，
，
又由条件得，
，
，
又，
．
【点拨】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．