河南省郑州市中原区郑州市第七十三中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（含解析）

这是一份河南省郑州市中原区郑州市第七十三中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：100分钟；满分：120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列说法错误的是( )．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．在等腰三角形中的定理“三线合一”中，不属于“三线”的是（ ）
A．底边上的高B．腰上的中线
C．底边上的中线D．顶角的角平分线
3．用反证法证明“若，则”时，应假设（ ）
A．B．C．D．
4．如图用尺规作已知角的平分线，构造两个三角形全等，所用到的判别方法是（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠EBC的度数是（ ）
A．15°B．20°C．65°D．100°
6．已知关于2＜（1－a）x的解集为x＜，则a的取值范围是 （ ）
A．a＞1B．a＞0C．a＜0D．a＜1
7．下列命题的逆命题是真命题的个数是（ ）
①有两边相等的三角形是等腰三角形；②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；③直角三角形的两个锐角互余；④全等三角形的面积相等
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（ ）
A．14B．18C．20D．26
9．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，则的面积为（ ）
A．2B．3C．D．
10．如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．请写出一个一元一次不等式 ．
12．如图，于点B，于点D，．若要用“”判定，则需要添加的条件为 ．
13．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为 ．
14．若不等式组有两个整数解，则的取值范围是 ．
15．如图，中，，，是的边上的高，点是上动点，则的最小值是 ．
三、解答题（共75分）
16．解下列不等式或不等式组
(1)；
(2)
17．先填空，后作图：
（1）角的内部，到角两边距离相等的点，在它的______________上；
（2）到线段两端距离相等的点在它的_______________上；
（3）如图，两条公路与是两个村庄，现在要建一个菜市场P，使它到两个村庄的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，用尺规作图画出菜市场P的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
18．阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为①，
所以②，
所以③．
问：
(1)上述解题过程中，从第 步开始出现错误；
(2)错误的原因 ．
(3)请写出正确的解题过程．
19．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．
(1)求∠PAQ的度数．
(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．
20．问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图①，中，平分，垂直平分．试判断与的数量关系；
探究展示：智慧小组发现，与互为补角，并展示了如下的证明方法：
证明：如图②，作交的延长线于点F，于点G，
平分，，（依据1）
垂直平分，，（依据2）
……

反思交流：
(1)上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
(2)请按照上面的证明思路，完整写出该题证明过程．
21．4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动．
甲书店：所有书籍按标价8折出售；
乙书店：一次购书中标价总额不超过100元的按原价计费，超过100元后的部分打6折．
以x（单位：元）表示标价总额，（单位：元）表示在甲书店应支付金额，（单位：元）表示在乙书店应支付金额．
(1)就两家书店的优惠方式，分别求，关于x的函数表达式；
(2)“少年正是读书时”，“世界读书日”这一天，八年级学生奇思计划去甲、乙两个书店购书，如何选择这两家书店购书更省钱？
22．我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是 ．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______；不等式的解是______；
【拓展延伸】：
（3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C．
①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______．
②若x轴上有一动点，是否存在点P，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系 ；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；
（3）若动点P满足＝，求的值（请利用图3进行探求）．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了不等式的性质．不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．据此进行判断即可．
【解答】解：A、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，据此进行分析即可得出结果．
【解答】解：等腰三角形的“三线合一”是指顶角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，
故选项B不符合条件，
故选：B．
3．A
【分析】结合反证法的步骤即可求解
【解答】解：反证法的一般步骤是先假设结论不成立，
故用反证法证明“若a>b>0，则a2>b2”的第一步是假设a2⩽b2，
故选：A
【点拨】本题主要考查反证法，属于数学方法基本步骤的考查，难度不大．解题的关键是掌握反证法的解题步骤．反证法解题步骤：①假设命题的结论不成立；②从假设出发，通过推演证明，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确．
4．C
【分析】
本题考查了作图作已知角平分线．利用作图痕迹得到，，加上为公共边，则根据“”可判断，从而得到．
【解答】
解：由作图痕迹得到，，
，，，
，
，
即平分．
故选：C．
5．A
【分析】先根据△ABC中，AB=AC，∠A=50°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=50°即可解答．
【解答】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=50°，
∴∠ABC=，
∵DE是线段AB垂直平分线的交点，
∴AE=BE，∠A=∠ABE=50°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=65°-50°=15°．
故选：A．
【点拨】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
6．A
【分析】因为不等式的两边同时除以1﹣a，不等号的方向发生了改变，所以1﹣a＜0，再根据不等式的基本性质便可求出不等式的解集．
【解答】解：由题意可得1﹣a＜0，
移项得﹣a＜﹣1，
化系数为1得a＞1．
故选：A．
【点拨】本题考查了同学们解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
7．C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、角平分线定义、互余的定义、全等三角形以及逆命题、假命题等知识点．分别写出个命题的逆命题，然后再判定真假即可解答．
【解答】解：①有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题为：等腰三角形是两边相等的三角形，此命题是真命题；
②到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上的逆命题为：角平分线上的点到角的两边的距离相等，此命题为真命题；
③直角三角形的两个锐角互余的逆命题为有两个角互余的三角形为直角三角形，此命题为真命题；
④全等三角形的面积相等的逆命题为面积相等的三角形全等，此命题为假命题．
故命题的逆命题中真命题的个数是3个．
故选：C．
8．A
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴AB+AC＝14，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，
故选A．
【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．D
【分析】
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识．如图，过点作于．利用角平分线的性质定理求出即可解决问题．
【解答】
解：如图，过点作于．
，，平分，
，
，
故选：D．
10．B
【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论
【解答】解：分三种情况：
①构造中垂线，、即为所求，如图所示：
②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示：
③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示：
综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个，
故选：B．
11．x﹣1＞0（答案不唯一）
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【解答】一元一次不等式有：x﹣1＞0．
故答案为x﹣1＞0（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了不等式的定义；写出的不等式只需符合条件，越简单越好．
12．
【分析】
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．
【解答】
添加的条件为，
，
，
∵于点B，于点D，
，
在和中，
，
∴．
故答案为：．
【点拨】
本题考查直角三角形的判定，关键是掌握直角三角形的判定方法“”．
13．或
【分析】分该三角形顶角为锐角和该三角形顶角为钝角两种情况，结合“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用以及等腰三角形的性质，即可获得答案．
【解答】解：（1）当该三角形顶角为锐角时，如下图，

由题意可知，，，且，
∴，
∴；
（2）当该三角形顶角为钝角时，如下图，

由题意可知，，，且，
∴，
∴．
综上所述，这个等腰三角形的底角为或．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
14．
【分析】利用不等式的性质解不等式方程组.
【解答】 解得
不等式的解集为 ，恰有两个整数解，则整数解是1，2.
则 .
故答案是：
【点拨】本题考查解不等式，利用不等式的性质是解题的关键.
15．
【分析】
本题考查垂线段最短，涉及等腰三角形的性质、勾股定理等知识．过点作于点，由勾股定理得．继而证明当、、三点共线且时，的值最小为．由等腰三角形腰上的高相等，解出的长，即为的长．
【解答】
解：，，
．
过点作于点，由勾股定理得．
．
当、、三点共线，且时，
的值最小为．
中，，，，
由等腰三角形腰上的高相等，
，
在中，．
故．
故答案为：．
16．(1)；
(2)．
【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
（1）先去分母，然后再移项合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】（1）解：，
去分母得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
17．（1）角平分线；（2）垂直平分线；（3）见解析
【分析】（1）直接利用角平分线的性质分析得出答案；
（2）直接利用线段垂直平分线的性质分析得出答案；
（3）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法画出符合题意的图形即可．
【解答】解：（1）到一个角的两边距离相等的点在它的角平分线上；
故答案为：角平分线；
（2）到线段两端点距离相等的点在它的垂直平分线上；
故答案为：垂直平分线；
（3）如图所示：点P即为所求．
【点拨】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
18．(1)②；
(2)不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变
(3)见解析
【分析】
本题考查的是不等式的基本性质的应用，熟记不等式的基本性质是解本题的关键．
（1）由不等式的性质可得第②步开始出现错误；
（2）由不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向要改变可得错误原因；
（3）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案．
【解答】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误；
（2）解：错误地运用了不等式的基本性质3，即不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
故答案为：不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向没有改变；
（3）解：∵，
∴，
∴；
19．(1)∠PAQ＝20°；(2)PQ＝2．
【分析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，根据线段垂直平分线的性质得：AP＝PB，AQ＝CQ，由等腰三角形的性质得：∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，再由三角形内角和定理相加可得结论；
（2）根据△APQ周长为12，列等式为AQ+PQ+AP＝12，由等量代换得BC+2PQ＝12，可得PQ的长．
【解答】(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，
∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP＝PB，AQ＝CQ，
∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝100°，
即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°，
∴x＝20°，
∴∠PAQ＝20°；
(2)∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP＝12，
∵AQ＝CQ，AP＝PB，
∴CQ+PQ+PB＝12，
即CQ+BQ+2PQ＝12，
BC+2PQ＝12，
∵BC＝8，
∴PQ＝2．
【点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和.
20．(1)依据1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等
(2)详见解析
【分析】
（1）根据角平分线和线段垂直平分线的性质即可求解；
（2）证即可．
【解答】（1）解：依据1：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
依据2：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等
（2）解：图②中作交延长线交于点F．
于点G，
平分，，
垂直平分，，
，，
，，
，
，
，
，
∴与互为补角
【点拨】本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质．根据条件进行严密的几何推理是解题关键．
21．(1)甲书店：，乙书店：
(2)当100＜x＜200时，选择甲书店更省钱，当x=200，甲乙书店所需费用相同，当x＞200，选择乙书店更省钱．
【分析】（1）根据题意列出函数表达式即可；
（2）根据（1）中的函数关系式，当x＞100时，令0.8x=0.6x+40，即可求解．
【解答】（1）根据题意可得，甲书店：，
乙书店：超过100元后的部分打6折．
乙书店：
（2）当x＞100时，
令0.8x=0.6x+40，
解得：x=200，
当100＜x＜200时，选择甲书店更省钱，
当x=200，甲乙书店所需费用相同，
当x＞200，选择乙书店更省钱．
综上所述：当100＜x＜200时，选择甲书店更省钱，
当x=200，甲乙书店所需费用相同，
当x＞200，选择乙书店更省钱．
【点拨】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系．
22．（1）；（2），；（3）①；②P点坐标为或或或
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．
（1）结合图象即可求解；
（2）通过观察图象求解即可；
（3）①根据函数图象上点的特征，求函数与坐标轴的交点坐标，通过观察图象求解即可；
②分别求出，，，再由等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可．
【解答】
解：（1）∵的图象经过点，
∴观察图象，不等式的解集是，
故答案为：；
（2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为，
∵的解为两直线交点的横坐标，
∴由图象可得，当时，，
∴不等式的解是，
故答案为：，；
（3）①联立方程组，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴；
由的图象可知，当时，，
当时，，
∴关于x的不等式组的解集为，
故答案为：；
②存在点P，使得为等腰三角形，理由如下：
令，则，
∴，
∴，
∴，，，
当时，则，
解得（舍）或，
∴P点坐标为；
当时，则，
∴或，
∴P点坐标为或；
当时，则，
解得，
∴P点坐标为；
综上所述：P点坐标为或或或．
23．（1）AP2+BP2=PQ2；（2）证明见解析；（3）或
【分析】（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP=（AD+PD）=（DC+PD），PB=（DP-BD）=（PD-DC），可证明AP2+BP2=2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2=2CP2，所以可得出AP2+BP2=PQ2的结论；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，方法同（1）；
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
【解答】AP2+BP2＝PQ2．理由如下：
如图①：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB．
∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC•PD+PD2，
PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC•PD+PD2，
∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴AP2+BP2＝2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2＝PQ2．
∴AP2+BP2＝PQ2．
故答案为：AP2+BP2＝PQ2；
（2）AP2+BP2＝PQ2．理由如下：
如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB．
∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC•PD+PD2，
PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC•PD+PD2，
∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴AP2+BP2＝2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2＝PQ2．
∴AP2+BP2＝PQ2．
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①当点P位于点P1处时．
＝，

在Rt△CPD中，由勾股定理得： ，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：，
②当点P位于点P2处时．
＝，
在Rt△CPD中，由勾股定理得：，
在Rt△ACD中，由勾股定理得： ，
综上所述，的比值为或
【点拨】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；解本题的关键是作图辅助线，熟练应用勾股定理和构造全等三角形．