2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题09三角函数(学生版+解析)

这是一份2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题09三角函数(学生版+解析)，共31页。试卷主要包含了已知函数，则，已知，关于该函数有下列四个说法，函数是，函数的最小正周期和最大值分别是，已知函数，，，设函数等内容，欢迎下载使用。

知识点1：三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性
知识点2：值域与最值问题
知识点3：伸缩变换问题
知识点4：求解析式问题
知识点5：三角恒等变换
知识点6：与的取值与范围问题
知识点7：弧长公式
近三年高考真题
知识点1：三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性
1．（2023•全国）已知函数，则
A．上单调递增B．上单调递增
C．上单调递减D．上单调递增
2．（2022•天津）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在，上单调递增；
③当，时，的取值范围为，；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
3．（2021•北京）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
4．（2022•北京）已知函数，则
A．在，上单调递减
B．在，上单调递增
C．在上单调递减
D．在，上单调递增
5．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数单调递增的区间是
A．B．，C．D．，
6．（2021•乙卷（文））函数的最小正周期和最大值分别是
A．和B．和2C．和D．和2
7．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则
A．在区间单调递减
B．在区间，有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
8．（2022•上海）函数的周期为 ．
9．（2023•北京）已知函数，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在，上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求、的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在，上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
知识点2：值域与最值问题
10．（2021•浙江）设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在，上的最大值．
11．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是
A．，B．，C．，D．，
12．（2022年全国乙卷）函数fx=csx+x+1sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（ ）
A．−π2，π2B．−3π2，π2 C．−π2，π2+2 D．−3π2，π2+2
13．（2021•浙江）已知，，是互不相同的锐角，则在，，三个值中，大于的个数的最大值是
A．0B．1C．2D．3
知识点3：伸缩变换问题
14．（2021•乙卷（文））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则
A．B．C．D．
15．（2023•甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为
A．1B．2C．3D．4
16．（2022•浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
知识点4：求解析式问题
17．（2023•乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则
A．B．C．D．
18．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
19．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则
A．1B．C．D．3
20．（2023•新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
21．（2021•甲卷(文）已知函数的部分图像如图所示，则 ．
22．（2021•甲卷（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 ．
知识点5：三角恒等变换
23．（2023•新高考Ⅰ）已知，，则
A．B．C．D．
24．（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，，则
A．B．C．D．
25．（2023•乙卷（文））若，，则 ．
26．（2023•上海）已知，则 ．
27．（2022•新高考Ⅱ）若，则
A．B．C．D．
28．（2021•新高考Ⅰ）若，则
A．B．C．D．
29．（2021•甲卷（文））若，，则
A．B．C．D．
30．（2022•上海）若，则 ．
31．（2021•乙卷（文））
A．B．C．D．
32．（2022•浙江）若，，则 ．
知识点6：与的取值与范围问题
33．（2022•甲卷（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
34．（2023•新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
35．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ．
36．（2021•北京）若点关于轴的对称点为，，则的一个取值为 ．
37．（2021•上海）已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是
A．B．C．D．
38．（2022•甲卷（理））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是
A．B．C．D．
知识点7：弧长公式
39．（2022•甲卷（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，
A．B．C．D．
专题09 三角函数
知识点目录
知识点1：三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性
知识点2：值域与最值问题
知识点3：伸缩变换问题
知识点4：求解析式问题
知识点5：三角恒等变换
知识点6：与的取值与范围问题
知识点7：弧长公式
近三年高考真题
知识点1：三角函数的图像与性质：奇偶性、单调性、奇偶性
1．（2023•全国）已知函数，则
A．上单调递增B．上单调递增
C．上单调递减D．上单调递增
【答案】
【解析】，
令，，解得，，
当时，，
故在，上单调递增．
故选：．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
2．（2022•天津）已知，关于该函数有下列四个说法：
①的最小正周期为；
②在，上单调递增；
③当，时，的取值范围为，；
④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】对于，它的最小正周期为，故①错误；
在，，，，函数单调递增，故②正确；
当，时，，，的取值范围为，，故③错误；
的图象可由的图象向右平移个单位长度得到，故④错误，
故选：．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．
3．（2021•北京）函数是
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【答案】
【解析】因为，
因为，
故函数为偶函数，
令，则，，
故是开口向下的二次函数，
所以当时，取得最大值，
故函数的最大值为．
综上所述，函数是偶函数，有最大值．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的性质，二倍角公式的运用，偶函数的定义，二次函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．
4．（2022•北京）已知函数，则
A．在，上单调递减
B．在，上单调递增
C．在上单调递减
D．在，上单调递增
【答案】
【解析】，周期，
的单调递减区间为，，单调递增区间为，，
对于，在，上单调递增，故错误，
对于，在，上单调递增，在上单调递减，故错误，
对于，在上单调递减，故正确，
对于，在，上单调递减，在，上单调递增，故错误，
故选：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式，考查了余弦函数的单调性，属于基础题．
5．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数单调递增的区间是
A．B．，C．D．，
【答案】
【解析】令，．
则，．
当时，，，
，，
故选：．
【点评】本题考查正弦函数单调性，是简单题．
6．（2021•乙卷（文））函数的最小正周期和最大值分别是
A．和B．和2C．和D．和2
【答案】
【解析】，
．
当时，函数取得最大值；
函数的周期为，最大值．
故选：．
【点评】本题考查了辅助角公式、三角函数的周期性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）已知函数的图像关于点，中心对称，则
A．在区间单调递减
B．在区间，有两个极值点
C．直线是曲线的对称轴
D．直线是曲线的切线
【答案】
【解析】因为的图象关于点，对称，
所以，，
所以，
因为，
所以，
故，
令，解得，
故在单调递减，正确；
，，，，
根据函数的单调性，故函数在区间，只有一个极值点，故错误；
令，，得，，显然错误；
，
求导可得，，
令，即，解得或，
故函数在点处的切线斜率为，
故切线方程为，即，故正确．
直线显然与相切，故直线显然是曲线的切线，故正确．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．（2022•上海）函数的周期为 ．
【答案】
【解析】
，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础题．
9．（2023•北京）已知函数，，．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若在，上单调递增，且，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求、的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在，上单调递减．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（Ⅰ）因为函数，
所以，
又因为，所以．
（Ⅱ）若选①：；
因为，
所以在和时取得最大值1，这与在，上单调递增矛盾，所以、的值不存在．
若选②：；
因为在，上单调递增，且，
所以在时取得最小值，时取得最大值1，
所以的最小正周期为，计算，
又因为，所以，，
解得，；
又因为，所以；
若选③：在，上单调递减，因为在，上单调递增，且，
所以在时取得最小值，时取得最大值1，
所以的最小正周期为，所以，
又因为，所以，，
解得，；
又因为，所以．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
知识点2：值域与最值问题
10．（2021•浙江）设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在，上的最大值．
【解析】函数，
（Ⅰ）函数
，
则最小正周期为；
（Ⅱ）函数
，
因为，所以，
所以当，即时，．
【点评】本题考查了三角函数的图像性质，涉及求解函数的周期以及最值问题，考查了运算能力，属于基础题．
11．（2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】由给定区间可知，．
区间，与区间，相邻，且区间长度相同．
取，则，，区间，，可知，，故可能；
取，则，，，区间，，，可知，，故可能；
取，则，，，区间，，，可知，，故可能．
结合选项可得，不可能的是，．
故选：．
【点评】本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题．
12．（2022年全国乙卷）函数fx=csx+x+1sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为（ ）
A．−π2，π2B．−3π2，π2 C．−π2，π2+2 D．−3π2，π2+2
【答案】D
【解析】
【分析】
利用导数求得fx的单调区间，从而判断出fx在区间0,2π上的最小值和最大值.
【详解】
f'x=−sinx+sinx+x+1csx=x+1csx，
所以fx在区间0,π2和3π2,2π上f'x>0，即fx单调递增；
在区间π2,3π2上f'x<0，即fx单调递减，
又f0=f2π=2，fπ2=π2+2，f3π2=−3π2+1+1=−3π2，
所以fx在区间0,2π上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.
故选：D
13．（2021•浙江）已知，，是互不相同的锐角，则在，，三个值中，大于的个数的最大值是
A．0B．1C．2D．3
【答案】
【解析】由基本不等式可得：，，，
三式相加，可得：，
很明显，， 不可能均大于．
取，，，
则，
则三式中大于 的个数的最大值为2，
故选：．
【点评】本题主要考查三角函数的性质，基本不等式求最值的方法，同角三角函数基本关系等知识，属于难题．
知识点3：伸缩变换问题
14．（2021•乙卷（文））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，
把函数的图像，向左平移个单位长度，
得到的图像；
再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
可得的图像．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的图像变换规律，属基础题．
15．（2023•甲卷）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【解析】把函数向
左平移个单位可得
函数的图象，
而直线经过点，且斜率为，
且直线还经过点，、
，，
，
，如图，
故与的交点个数为3．
故选：．
【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题．
16．（2022•浙江）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】
【解析】把图象上所有的点向右平移个单位可得的图象．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象平移，属于基础题．
知识点4：求解析式问题
17．（2023•乙卷）已知函数在区间，单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】根据题意可知，
，取，，
又根据“五点法“可得，，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的性质，方程思想，属基础题．
18．（2023•天津）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】：若，则，
令，，则，，显然不是对称轴，不符合题意；
：若，则，
令，，则，，
故是一条对称轴，符合题意；
，则，不符合题意；
，则，不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦及余弦函数的对称性及周期性，属于基础题．
19．（2022•新高考Ⅰ）记函数的最小正周期为．若，且的图像关于点，中心对称，则
A．1B．C．D．3
【答案】
【解析】函数的最小正周期为，
则，由，得，，
的图像关于点，中心对称，，
且，则，．
，，取，可得．
，则．
故选：．
【点评】本题考查型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．
20．（2023•新高考Ⅱ）已知函数，如图，，是直线与曲线的两个交点，若，则 ．
【答案】．
【解析】由题意：设，，，，则，
由的图象可知：
，即，
，
又，，，
即，，
观察图象，可知当时，满足条件，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查根据函数的图象确定解析式的方法，属中档题．
21．（2021•甲卷(文）已知函数的部分图像如图所示，则 ．
【答案】
【解析】由图可知，的最小正周期，
所以，因为，
所以由五点作图法可得，解得，
所以，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．
22．（2021•甲卷（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数为 ．
【答案】2．
【解析】由图像可得，即周期为，
，，
，
观察图像可知当，
，，
，且，
时最小，且满足题意，
故答案为：2．
知识点5：三角恒等变换
23．（2023•新高考Ⅰ）已知，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】因为，，
所以，
所以，
则．
故选：．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
24．（2023•新高考Ⅱ）已知为锐角，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，
则，
故，即，
为锐角，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查半角的三角函数，属于基础题．
25．（2023•乙卷（文））若，，则 ．
【答案】．
【解析】，，
令，，设终边上一点的坐标，
则，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用坐标法进行求解是解决本题的关键，是基础题．
26．（2023•上海）已知，则 ．
【答案】．
【解析】，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
27．（2022•新高考Ⅱ）若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解法一：因为，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，，
所以，
所以．
解法二：由题意可得，，
即，
所以，
故．
故选：．
【点评】本题主要考查了辅助角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
28．（2021•新高考Ⅰ）若，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由题意可得：
．
故选：．
【点评】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的求值等知识，是解题的关键，属于中等题．
29．（2021•甲卷（文））若，，则
A．B．C．D．
【答案】
【解析】由，得，
即，
，，
则，解得，
则，
．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
30．（2022•上海）若，则 ．
【答案】．
【解析】若，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
31．（2021•乙卷（文））
A．B．C．D．
【答案】
【解析】法一、
．
法二、
．
故选：．
【点评】本题考查三角函数的化简求值和二倍角的余弦，是基础题．
32．（2022•浙江）若，，则 ．
【答案】；．
【解析】，，
，
，
，
，
解得，，
．
故答案为：；．
【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
知识点6：与的取值与范围问题
33．（2022•甲卷（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【解析】当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；
函数在区间恰有三个极值点、两个零点，
，，
，
求得，
故选：．
【点评】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．
34．（2023•新高考Ⅰ）已知函数在区间，有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】，．
【解析】，，函数的周期为，，可得，
函数在区间，有且仅有3个零点，
可得，
所以．
故答案为：，．
【点评】本题考查三角函数的周期的应用，函数的零点的应用，是基础题．
35．（2022•乙卷）记函数，的最小正周期为．若，为的零点，则的最小值为 ．
【答案】3．
【解析】函数，的最小正周期为，
若，，则，
所以．
因为为的零点，所以，
故，，所以，，
因为，则的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，考查了方程思想，属于基础题．
36．（2021•北京）若点关于轴的对称点为，，则的一个取值为 ．
【答案】（答案不唯一）．
【解析】因为与，关于轴对称，
故其横坐标相反，纵坐标相等，
即且，
由诱导公式，，
所以，，解得，，
则符合题意的值可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了三角函数的化简，三角函数诱导公式的应用，点关于线的对称性问题，属于基础题．
37．（2021•上海）已知，对任意的，，都存在，，使得成立，则下列选项中，可能的值是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，
，，
，，
都存在，，使得成立，
，，
，
，，
在上单调递减，
当时，，
，故选项错误，
当时，，
，
，故选项正确，
当时，，
，故选项错误，
当时，，
，故选项错误．
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．
38．（2022•甲卷（理））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是
A．B．C．D．
【答案】
【解析】将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，
则对应函数为，
的图象关于轴对称，，，
即，，
则令，可得的最小值是，
故选：．
【点评】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
知识点7：弧长公式
39．（2022•甲卷（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，
A．B．C．D．
【答案】
【解析】，，，
是的中点，在上，，
延长可得在上，，
．
故选：．
【点评】本题考查扇形及其应用，考查运算求解能力，是基础题．