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    2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题12数列(学生版+解析)
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    2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题12数列(学生版+解析)

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    这是一份2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题12数列(学生版+解析),共38页。试卷主要包含了记为等差数列的前项和,设等差数列的公差为,且,记为等差数列的前项和,已知,,记为等比数列的前项和等内容,欢迎下载使用。

    知识点1:等差数列基本量运算
    知识点2:等比数列基本量运算
    知识点3:数列的实际应用
    知识点4:数列的最值问题
    知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
    知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
    知识点7:数列新定义问题
    知识点8:数列通项与求和问题
    知识点9:数列不等式
    近三年高考真题
    知识点1:等差数列基本量运算
    1.(2023•甲卷(文))记为等差数列的前项和.若,,则
    A.25B.22C.20D.15
    2.(2022•乙卷(文))记为等差数列的前项和.若,则公差 .
    3.(2022•上海)已知等差数列的公差不为零,为其前项和,若,则,2,,中不同的数值有 个.
    4.(2023•新高考Ⅰ)设等差数列的公差为,且.令,记,分别为数列,的前项和.
    (1)若,,求的通项公式;
    (2)若为等差数列,且,求.
    5.(2021•新高考Ⅱ)记是公差不为0的等差数列的前项和,若,.
    (Ⅰ)求数列的通项公式;
    (Ⅱ)求使成立的的最小值.
    6.(2021•甲卷(理))已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
    ①数列是等差数列;②数列是等差数列;③.
    注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
    7.(2023•乙卷(文))记为等差数列的前项和,已知,.
    (1)求的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    8.(2021•甲卷(文))记为数列的前项和,已知,,且数列是等差数列,证明:是等差数列.
    知识点2:等比数列基本量运算
    9.(2022•乙卷(文))已知等比数列的前3项和为168,,则
    A.14B.12C.6D.3
    10.(2021•甲卷(文))记为等比数列的前项和.若,,则
    A.7B.8C.9D.10
    11.(2023•甲卷(文))记为等比数列的前项和.若,则的公比为 .
    12.(2021•上海)已知为无穷等比数列,,的各项和为9,,则数列的各项和为 .
    13.(2023•乙卷(理))已知为等比数列,,,则 .
    14.(2021•甲卷(理))等比数列的公比为,前项和为.设甲:,乙:是递增数列,则
    A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
    B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
    C.甲是乙的充要条件
    D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
    15.(2023•天津)已知为等比数列,为数列的前项和,,则的值为
    A.3B.18C.54D.152
    16.(2023•甲卷(理))已知等比数列中,,为前项和,,则
    A.7B.9C.15D.30
    17.(2022•上海)已知等比数列的前项和为,前项积为,则下列选项判断正确的是
    A.若,则数列是递增数列
    B.若,则数列是递增数列
    C.若数列是递增数列,则
    D.若数列是递增数列,则
    18.(2023•新高考Ⅱ)记为等比数列的前项和,若,,则
    A.120B.85C.D.
    知识点3:数列的实际应用
    19.(2022•新高考Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构,,,,是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中,,,是举,,,,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为,,,.已知,,成公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则
    A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9
    20.(2022年全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列bn:b1=1+1α1,b2=1+1α1+1α2,b3=1+1α1+1α2+1α3,…,依此类推,其中αk∈N∗(k=1,2,⋯).则( )
    A.b121.(2021•北京)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长,,,, (单位: 成等差数列,对应的宽为,,,,(单位:,且长与宽之比都相等.已知,,,则
    A.64B.96C.128D.160
    知识点4:数列的最值问题
    22.(2021•北京)已知是各项为整数的递增数列,且,若,则的最大值为
    A.9B.10C.11D.12
    23.(2021•上海)已知,2,,对任意的,或中有且仅有一个成立,,,则的最小值为 .
    知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
    24.(2023•北京)数列满足,下列说法正确的是
    A.若,则是递减数列,,使得时,
    B.若,则是递增数列,,使得时,
    C.若,则是递减数列,,使得时,
    D.若,则是递增数列,,使得时,
    25.(2022•浙江)已知数列满足,,则
    A.B.C.D.
    26.(2021•浙江)已知数列满足,.记数列的前项和为,则
    A.B.C.D.
    知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
    27.(2023•新高考Ⅰ)记为数列的前项和,设甲:为等差数列;乙:为等差数列,则
    A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
    B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
    C.甲是乙的充要条件
    D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
    28.(2022•天津)设是等差数列,是等比数列,且.
    (1)求与的通项公式;
    (2)设的前项和为,求证:;
    (3)求.
    29.(2022•浙江)已知等差数列的首项,公差.记的前项和为.
    (Ⅰ)若,求;
    (Ⅱ)若对于每个,存在实数,使,,成等比数列,求的取值范围.
    30.(2022•新高考Ⅱ)已知是等差数列,是公比为2的等比数列,且.
    (1)证明:;
    (2)求集合,中元素的个数.
    31.(2022•甲卷(文))记为数列的前项和.已知.
    (1)证明:是等差数列;
    (2)若,,成等比数列,求的最小值.
    32.(2021•乙卷(文))设是首项为1的等比数列,数列满足,已知,,成等差数列.
    (1)求和的通项公式;
    (2)记和分别为和的前项和.证明:.
    知识点7:数列新定义问题
    33.(多选题)(2021•新高考Ⅱ)设正整数,其中,,记,则
    A.B.
    C.D.
    知识点8:数列通项与求和问题
    34.(2023•北京)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且,,,则 ,数列的所有项的和为 .
    35.(2021•新高考Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ,如果对折次,那么
    36.(2023•天津)已知是等差数列,,.
    (Ⅰ)求的通项公式和;
    (Ⅱ)已知为等比数列,对于任意,若,则.
    当时,求证:;
    求的通项公式及其前项和.
    37.(2023•甲卷(理))已知数列中,,设为前项和,.
    (1)求的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    38.(2021•乙卷(理))记为数列的前项和,为数列的前项积,已知.
    (1)证明:数列是等差数列;
    (2)求的通项公式.
    39.(2021•新高考Ⅰ)已知数列满足,
    (1)记,写出,,并求数列的通项公式;
    (2)求的前20项和.
    知识点9:数列不等式
    40.(2023•新高考Ⅱ)已知为等差数列,,记,为,的前项和,,.
    (1)求的通项公式;
    (2)证明:当时,.
    41.(2022•新高考Ⅰ)记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列.
    (1)求的通项公式;
    (2)证明:.
    42.(2021•天津)已知数列是公差为2的等差数列,其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列,,.
    (1)求数列和的通项公式;
    (2)记,.
    证明:是等比数列;
    证明:.
    43.(2021•浙江)已知数列的前项和为,,且.
    (Ⅰ)求数列的通项公式;
    (Ⅱ)设数列满足,记的前项和为,若对任意恒成立,
    求实数的取值范围.
    专题12数列
    知识点目录
    知识点1:等差数列基本量运算
    知识点2:等比数列基本量运算
    知识点3:数列的实际应用
    知识点4:数列的最值问题
    知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
    知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
    知识点7:数列新定义问题
    知识点8:数列通项与求和问题
    知识点9:数列不等式
    近三年高考真题
    知识点1:等差数列基本量运算
    1.(2023•甲卷(文))记为等差数列的前项和.若,,则
    A.25B.22C.20D.15
    【答案】
    【解析】等差数列中,,
    所以,

    故,
    则,,
    则.
    故选:.
    2.(2022•乙卷(文))记为等差数列的前项和.若,则公差 .
    【答案】2.
    【解析】,

    为等差数列,

    ,解得.
    故答案为:2.
    3.(2022•上海)已知等差数列的公差不为零,为其前项和,若,则,2,,中不同的数值有 个.
    【答案】98.
    【解析】等差数列的公差不为零,为其前项和,,
    ,解得,

    ,,1,,中,
    ,,
    其余各项均不相等,
    ,,中不同的数值有:.
    故答案为:98.
    4.(2023•新高考Ⅰ)设等差数列的公差为,且.令,记,分别为数列,的前项和.
    (1)若,,求的通项公式;
    (2)若为等差数列,且,求.
    【解析】(1),,
    根据题意可得,

    ,又,
    解得,,
    ,;
    (2)为等差数列,为等差数列,且,
    根据等差数列的通项公式的特点,可设,则,且;
    或设,则,且,
    ①当,,时,
    则,
    ,,又,
    解得;
    ②当,,时,
    则,
    ,,又,
    此时无解,
    综合可得.
    5.(2021•新高考Ⅱ)记是公差不为0的等差数列的前项和,若,.
    (Ⅰ)求数列的通项公式;
    (Ⅱ)求使成立的的最小值.
    【解析】(Ⅰ)数列是公差不为0的等差数列的前项和,若,.
    根据等差数列的性质,,故,
    根据可得,
    整理得,可得不合题意),
    故.
    (Ⅱ),,

    ,即,
    整理可得,
    当或时,成立,
    由于为正整数,
    故的最小正值为7.
    6.(2021•甲卷(理))已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
    ①数列是等差数列;②数列是等差数列;③.
    注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
    【解析】选择①③为条件,②结论.
    证明过程如下:
    由题意可得:,,
    数列的前项和:,
    故,
    据此可得数列 是等差数列.
    选择①②为条件,③结论:
    设数列的公差为,则:

    数列 为等差数列,则:,
    即:,整理可得:,.
    选择③②为条件,①结论:
    由题意可得:,,
    则数列 的公差为,
    通项公式为:,
    据此可得,当时,,
    当时上式也成立,故数列的通项公式为:,
    由,可知数列是等差数列.
    7.(2023•乙卷(文))记为等差数列的前项和,已知,.
    (1)求的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    【解析】(1)在等差数列中,,.
    ,即,
    得,,
    则.
    (2),
    即时,,
    当时,,
    当时,数列的前项和,
    当时,数列的前项和.
    8.(2021•甲卷(文))记为数列的前项和,已知,,且数列是等差数列,证明:是等差数列.
    【解析】证明:设等差数列的公差为,
    由题意得;,
    则,所以,
    所以①;
    当时,有②.
    由①②,得③,
    经检验,当时也满足③.
    所以,,
    当时,,
    所以数列是等差数列.
    知识点2:等比数列基本量运算
    9.(2022•乙卷(文))已知等比数列的前3项和为168,,则
    A.14B.12C.6D.3
    【答案】
    【解析】设等比数列的公比为,,由题意,.
    前3项和为,,
    ,,
    则,
    故选:.
    10.(2021•甲卷(文))记为等比数列的前项和.若,,则
    A.7B.8C.9D.10
    【答案】
    【解析】为等比数列的前项和,,,
    由等比数列的性质,可知,,成等比数列,
    ,2,成等比数列,
    ,解得.
    故选:.
    11.(2023•甲卷(文))记为等比数列的前项和.若,则的公比为 .
    【答案】.
    【解析】等比数列中,,
    则,
    所以,
    解得.
    故答案为:.
    12.(2021•上海)已知为无穷等比数列,,的各项和为9,,则数列的各项和为 .
    【答案】.
    【解析】设的公比为,
    由,的各项和为9,可得,
    解得,
    所以,

    可得数列是首项为2,公比为的等比数列,
    则数列的各项和为.
    故答案为:.
    13.(2023•乙卷(理))已知为等比数列,,,则 .
    【答案】.
    【解析】等比数列,
    ,解得,
    而,可得,
    即,

    故答案为:.
    14.(2021•甲卷(理))等比数列的公比为,前项和为.设甲:,乙:是递增数列,则
    A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
    B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
    C.甲是乙的充要条件
    D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
    【答案】
    【解析】若,,则,则是递减数列,不满足充分性;

    则,

    若是递增数列,

    则,,
    满足必要性,
    故甲是乙的必要条件但不是充分条件,
    故选:.
    15.(2023•天津)已知为等比数列,为数列的前项和,,则的值为
    A.3B.18C.54D.152
    【答案】
    【解析】因为为等比数列,,
    所以,,
    由等比数列的性质可得,,
    即,
    所以或(舍,
    所以,,
    则.
    故选:.
    16.(2023•甲卷(理))已知等比数列中,,为前项和,,则
    A.7B.9C.15D.30
    【答案】
    【解析】等比数列中,设公比为,
    ,为前项和,,显然,
    (如果,可得矛盾,如果,可得矛盾),
    可得,
    解得,即或,
    所以当时,.
    当时,.没有选项.
    故选:.
    17.(2022•上海)已知等比数列的前项和为,前项积为,则下列选项判断正确的是
    A.若,则数列是递增数列
    B.若,则数列是递增数列
    C.若数列是递增数列,则
    D.若数列是递增数列,则
    【答案】
    【解析】如果数列,公比为,满足,但是数列不是递增数列,所以不正确;
    如果数列,公比为,满足,但是数列不是递增数列,所以不正确;
    如果数列,公比为,,数列是递增数列,但是,所以不正确;
    数列是递增数列,可知,可得,所以,可得正确,所以正确;
    故选:.
    18.(2023•新高考Ⅱ)记为等比数列的前项和,若,,则
    A.120B.85C.D.
    【答案】
    【解析】等比数列中,,,显然公比,
    设首项为,则①,②,
    化简②得,解得或(不合题意,舍去),
    代入①得,
    所以.
    故选:.
    知识点3:数列的实际应用
    19.(2022•新高考Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构,,,,是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中,,,是举,,,,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为,,,.已知,,成公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则
    A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9
    【答案】
    【解析】设,则,,,
    由题意得:,,
    且,
    解得,
    故选:.
    20.(2022年全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列bn:b1=1+1α1,b2=1+1α1+1α2,b3=1+1α1+1α2+1α3,…,依此类推,其中αk∈N∗(k=1,2,⋯).则( )
    A.b1【答案】D
    【解析】
    【分析】
    根据αk∈N∗k=1,2,…,再利用数列bn与αk的关系判断bn中各项的大小,即可求解.
    【详解】
    解:因为αk∈N∗k=1,2,⋯,
    所以α1<α1+1α2,1α1>1α1+1α2,得到b1>b2,
    同理α1+1α2>α1+1α2+1α3,可得b2b3
    又因为1α2>1α2+1α3+1α4, α1+1α2+1α3<α1+1α2+1α3+1α4,
    故b2b4;
    以此类推,可得b1>b3>b5>b7>…,b7>b8,故A错误;
    b1>b7>b8,故B错误;
    1α2>1α2+1α3+…1α6,得b2α1+1α2+1α3+1α4>α1+1α2+…1α6+1α7,得b4故选:D.
    21.(2021•北京)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长,,,, (单位: 成等差数列,对应的宽为,,,,(单位:,且长与宽之比都相等.已知,,,则
    A.64B.96C.128D.160
    【答案】
    【解析】和是两个等差数列,且是常值,由于,,
    故,
    由于
    所以.
    另,解得:
    故:.
    故选:.
    知识点4:数列的最值问题
    22.(2021•北京)已知是各项为整数的递增数列,且,若,则的最大值为
    A.9B.10C.11D.12
    【答案】
    【解析】数列是递增的整数数列,
    要取最大,递增幅度尽可能为小的整数,
    假设递增的幅度为1,


    则,
    当时,,,
    ,即可继续增大,非最大值,
    当时,,,
    ,不满足题意,
    即为最大值.
    故选:.
    23.(2021•上海)已知,2,,对任意的,或中有且仅有一个成立,,,则的最小值为 .
    【答案】31.
    【解析】设,由题意可得,,恰有一个为1,
    如果,那么,,,,
    同样也有,,,,,
    全部加起来至少是;
    如果,那么,,,
    同样也有,,,,,
    全部加起来至少是,
    综上所述,最小应该是31.
    故答案为:31.
    知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
    24.(2023•北京)数列满足,下列说法正确的是
    A.若,则是递减数列,,使得时,
    B.若,则是递增数列,,使得时,
    C.若,则是递减数列,,使得时,
    D.若,则是递增数列,,使得时,
    【答案】
    【解析】对原式进行变形,得,
    当,则,,
    设,则,所以是递减数列,
    当,,错误,同理可证明错误,
    当,则,即,又因为,所以,
    假设,则,即,又因为,所以,
    所以当,,正确,
    对于,当,代入进去很明显不是递减数列,错误,
    故选:.
    25.(2022•浙江)已知数列满足,,则
    A.B.C.D.
    【答案】
    【解析】,
    为递减数列,
    又,且,

    又,则,


    ,则,

    由得,得,
    累加可得,,


    综上,.
    故选:.
    26.(2021•浙江)已知数列满足,.记数列的前项和为,则
    A.B.C.D.
    【答案】
    【解析】因为,所以,所以,

    ,故,
    由累加法可得当 时,

    又因为当 时, 也成立,所以,
    所以,
    ,故,
    由累乘法可得当 时,,
    所以.
    另设,,,可得在递增,接下来运用待定系数法估计的上下界,设,则探索也满足上界的条件.

    在此条件下,有,
    注意到,取,,从而,此时可得.
    故选:.
    知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
    27.(2023•新高考Ⅰ)记为数列的前项和,设甲:为等差数列;乙:为等差数列,则
    A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
    B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
    C.甲是乙的充要条件
    D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
    【答案】
    【解析】若是等差数列,设数列的首项为,公差为,
    则,
    即,
    故为等差数列,
    即甲是乙的充分条件.
    反之,若为等差数列,则可设,
    则,即,
    当时,有,
    上两式相减得:,
    当时,上式成立,所以,
    则(常数),
    所以数列为等差数列.
    即甲是乙的必要条件.
    综上所述,甲是乙的充要条件.
    故本题选:.
    28.(2022•天津)设是等差数列,是等比数列,且.
    (1)求与的通项公式;
    (2)设的前项和为,求证:;
    (3)求.
    【解析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,

    ,,
    解得,
    ,.
    (2)证明:,
    要证明,
    即证明,
    即证明,
    即证明,
    由数列的通项公式和前项和的关系得:,

    (3)

    设.
    则,①
    ,②
    ①②,得:



    29.(2022•浙江)已知等差数列的首项,公差.记的前项和为.
    (Ⅰ)若,求;
    (Ⅱ)若对于每个,存在实数,使,,成等比数列,求的取值范围.
    【解析】(Ⅰ)因为等差数列的首项,公差,
    因为,可得,即,
    ,即,
    整理可得:,解得,
    所以,
    即;
    (Ⅱ)因为对于每个,存在实数,使,,成等比数列,
    则,,
    整理可得:,则△恒成立在,
    整理可得,
    当时,可得或,而,
    所以的范围为;
    时,不等式变为,解得,而,
    所以此时,,
    当时,,则符合要求,
    综上所述,对于每个,的取值范围为,,使,,成等比数列.
    30.(2022•新高考Ⅱ)已知是等差数列,是公比为2的等比数列,且.
    (1)证明:;
    (2)求集合,中元素的个数.
    【解析】(1)证明:设等差数列的公差为,
    由,得,则,
    由,得,
    即,

    (2)由(1)知,,
    由知,,
    ,即,
    又,故,则,
    故集合,中元素个数为9个.
    31.(2022•甲卷(文))记为数列的前项和.已知.
    (1)证明:是等差数列;
    (2)若,,成等比数列,求的最小值.
    【解析】(1)证明:由已知有:①,
    把换成,②,
    ②①可得:,
    整理得:,
    由等差数列定义有为等差数列;
    (2)由已知有,设等差数列的首项为,由(1)有其公差为1,
    故,解得,故,
    所以,
    故可得:,,,
    故在或者时取最小值,,
    故的最小值为.
    32.(2021•乙卷(文))设是首项为1的等比数列,数列满足,已知,,成等差数列.
    (1)求和的通项公式;
    (2)记和分别为和的前项和.证明:.
    【解析】(1),,成等差数列,,
    是首项为1的等比数列,设其公比为,
    则,,


    (2)证明:由(1)知,,

    ,①
    ,②
    ①②得,,



    知识点7:数列新定义问题
    33.(多选题)(2021•新高考Ⅱ)设正整数,其中,,记,则
    A.B.
    C.D.
    【答案】
    【解析】,,对;
    当时,,(7).
    ,(2),(7)(2),错;



    .对;
    ,,对.
    故选:.
    知识点8:数列通项与求和问题
    34.(2023•北京)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且,,,则 ,数列的所有项的和为 .
    【答案】48;384.
    【解析】数列的后7项成等比数列,,


    公比.

    又该数列的前3项成等差数列,
    数列的所有项的和为.
    故答案为:48;384.
    35.(2021•新高考Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ,如果对折次,那么
    【答案】5;.
    【解析】易知有,,共5种规格;
    由题可知,对折次共有种规格,且面积为,故,
    则,记,则,



    故答案为:5;.
    36.(2023•天津)已知是等差数列,,.
    (Ⅰ)求的通项公式和;
    (Ⅱ)已知为等比数列,对于任意,若,则.
    当时,求证:;
    求的通项公式及其前项和.
    【解析】(Ⅰ)是等差数列,,.
    ,得,,
    则的通项公式,
    中的首项为,项数为,
    则.
    (Ⅱ),,,
    即,
    当时,.
    ,且,
    即,
    综上,
    即成立.
    成立,
    为等比数列,设公比为,
    当时,,,
    则,
    即,
    即,
    当,,,

    时,,

    即,
    即,
    当,,,
    则,
    则,即的通项公式为,
    则的其前项和.
    37.(2023•甲卷(理))已知数列中,,设为前项和,.
    (1)求的通项公式;
    (2)求数列的前项和.
    【解析】(1)当时,,解得,
    当时,,
    ,,
    当时,可得,

    当或时,,适合上式,
    的通项公式为;
    (2)由(1)可得,
    ,,


    38.(2021•乙卷(理))记为数列的前项和,为数列的前项积,已知.
    (1)证明:数列是等差数列;
    (2)求的通项公式.
    【解析】(1)证明:当时,,
    由,解得,
    当时,,代入,
    消去,可得,所以,
    所以是以为首项,为公差的等差数列.
    (2)由题意,得,
    由(1),可得,
    由,可得,
    当时,,显然不满足该式,
    所以.
    39.(2021•新高考Ⅰ)已知数列满足,
    (1)记,写出,,并求数列的通项公式;
    (2)求的前20项和.
    【解析】(1)因为,,
    所以,,,
    所以,,
    ,,
    所以数列是以为首项,以3为公差的等差数列,
    所以.
    另由题意可得,,
    其中,,
    于是,.
    (2)由(1)可得,,
    则,,
    当时,也适合上式,
    所以,,
    所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列,
    则的前20项和为.
    知识点9:数列不等式
    40.(2023•新高考Ⅱ)已知为等差数列,,记,为,的前项和,,.
    (1)求的通项公式;
    (2)证明:当时,.
    【解析】(1)设等差数列的公差为,
    ,为的前项和,,,
    则,即,解得,
    故;
    (2)证明:由(1)可知,,

    当为偶数时,,


    当为奇数时,,,

    故原式得证.
    41.(2022•新高考Ⅰ)记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列.
    (1)求的通项公式;
    (2)证明:.
    【解析】(1)已知,是公差为的等差数列,
    所以,整理得,①,
    故当时,,②,
    ①②得:,
    故,
    化简得:,,,,;
    所以,
    故(首项符合通项).
    所以.
    证明:(2)由于,
    所以,
    所以.
    42.(2021•天津)已知数列是公差为2的等差数列,其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列,,.
    (1)求数列和的通项公式;
    (2)记,.
    证明:是等比数列;
    证明:.
    【解析】证明:(1)由数列是公差为2的等差数列,其前8项的和为64,
    可得,解得,
    所以,;
    由数列是公比大于0的等比数列,,,
    可得,解得舍去),
    所以,;
    (2)证明:因为,,
    所以,


    所以,
    又,
    所以数列是以8为首项,4为公比的等比数列;
    证明:设,
    考虑,则,
    所以,
    则,
    两式相减可得,,
    所以,
    则,
    故.
    43.(2021•浙江)已知数列的前项和为,,且.
    (Ⅰ)求数列的通项公式;
    (Ⅱ)设数列满足,记的前项和为,若对任意恒成立,
    求实数的取值范围.
    【解析】(Ⅰ)由 可得,
    两式作差,可得:,

    很明显,,
    所以数列 是以为首项,为公比的等比数列,
    其通项公式为:.
    (Ⅱ)由,得,


    两式作差可得:

    则.
    据此可得 恒成立,即 恒成立.
    时不等式成立;
    时,,由于时,故;
    时,,而,故:;
    综上可得,.
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