2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题12数列(学生版+解析)
展开知识点1:等差数列基本量运算
知识点2:等比数列基本量运算
知识点3:数列的实际应用
知识点4:数列的最值问题
知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
知识点7:数列新定义问题
知识点8:数列通项与求和问题
知识点9:数列不等式
近三年高考真题
知识点1:等差数列基本量运算
1.(2023•甲卷(文))记为等差数列的前项和.若,,则
A.25B.22C.20D.15
2.(2022•乙卷(文))记为等差数列的前项和.若,则公差 .
3.(2022•上海)已知等差数列的公差不为零,为其前项和,若,则,2,,中不同的数值有 个.
4.(2023•新高考Ⅰ)设等差数列的公差为,且.令,记,分别为数列,的前项和.
(1)若,,求的通项公式;
(2)若为等差数列,且,求.
5.(2021•新高考Ⅱ)记是公差不为0的等差数列的前项和,若,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求使成立的的最小值.
6.(2021•甲卷(理))已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列是等差数列;②数列是等差数列;③.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
7.(2023•乙卷(文))记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
8.(2021•甲卷(文))记为数列的前项和,已知,,且数列是等差数列,证明:是等差数列.
知识点2:等比数列基本量运算
9.(2022•乙卷(文))已知等比数列的前3项和为168,,则
A.14B.12C.6D.3
10.(2021•甲卷(文))记为等比数列的前项和.若,,则
A.7B.8C.9D.10
11.(2023•甲卷(文))记为等比数列的前项和.若,则的公比为 .
12.(2021•上海)已知为无穷等比数列,,的各项和为9,,则数列的各项和为 .
13.(2023•乙卷(理))已知为等比数列,,,则 .
14.(2021•甲卷(理))等比数列的公比为,前项和为.设甲:,乙:是递增数列,则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
15.(2023•天津)已知为等比数列,为数列的前项和,,则的值为
A.3B.18C.54D.152
16.(2023•甲卷(理))已知等比数列中,,为前项和,,则
A.7B.9C.15D.30
17.(2022•上海)已知等比数列的前项和为,前项积为,则下列选项判断正确的是
A.若,则数列是递增数列
B.若,则数列是递增数列
C.若数列是递增数列,则
D.若数列是递增数列,则
18.(2023•新高考Ⅱ)记为等比数列的前项和,若,,则
A.120B.85C.D.
知识点3:数列的实际应用
19.(2022•新高考Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构,,,,是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中,,,是举,,,,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为,,,.已知,,成公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则
A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9
20.(2022年全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列bn:b1=1+1α1,b2=1+1α1+1α2,b3=1+1α1+1α2+1α3,…,依此类推,其中αk∈N∗(k=1,2,⋯).则( )
A.b1
A.64B.96C.128D.160
知识点4:数列的最值问题
22.(2021•北京)已知是各项为整数的递增数列,且,若,则的最大值为
A.9B.10C.11D.12
23.(2021•上海)已知,2,,对任意的,或中有且仅有一个成立,,,则的最小值为 .
知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
24.(2023•北京)数列满足,下列说法正确的是
A.若,则是递减数列,,使得时,
B.若,则是递增数列,,使得时,
C.若,则是递减数列,,使得时,
D.若,则是递增数列,,使得时,
25.(2022•浙江)已知数列满足,,则
A.B.C.D.
26.(2021•浙江)已知数列满足,.记数列的前项和为,则
A.B.C.D.
知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
27.(2023•新高考Ⅰ)记为数列的前项和,设甲:为等差数列;乙:为等差数列,则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
28.(2022•天津)设是等差数列,是等比数列,且.
(1)求与的通项公式;
(2)设的前项和为,求证:;
(3)求.
29.(2022•浙江)已知等差数列的首项,公差.记的前项和为.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)若对于每个,存在实数,使,,成等比数列,求的取值范围.
30.(2022•新高考Ⅱ)已知是等差数列,是公比为2的等比数列,且.
(1)证明:;
(2)求集合,中元素的个数.
31.(2022•甲卷(文))记为数列的前项和.已知.
(1)证明:是等差数列;
(2)若,,成等比数列,求的最小值.
32.(2021•乙卷(文))设是首项为1的等比数列,数列满足,已知,,成等差数列.
(1)求和的通项公式;
(2)记和分别为和的前项和.证明:.
知识点7:数列新定义问题
33.(多选题)(2021•新高考Ⅱ)设正整数,其中,,记,则
A.B.
C.D.
知识点8:数列通项与求和问题
34.(2023•北京)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且,,,则 ,数列的所有项的和为 .
35.(2021•新高考Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ,如果对折次,那么
36.(2023•天津)已知是等差数列,,.
(Ⅰ)求的通项公式和;
(Ⅱ)已知为等比数列,对于任意,若,则.
当时,求证:;
求的通项公式及其前项和.
37.(2023•甲卷(理))已知数列中,,设为前项和,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
38.(2021•乙卷(理))记为数列的前项和,为数列的前项积,已知.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求的通项公式.
39.(2021•新高考Ⅰ)已知数列满足,
(1)记,写出,,并求数列的通项公式;
(2)求的前20项和.
知识点9:数列不等式
40.(2023•新高考Ⅱ)已知为等差数列,,记,为,的前项和,,.
(1)求的通项公式;
(2)证明:当时,.
41.(2022•新高考Ⅰ)记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)证明:.
42.(2021•天津)已知数列是公差为2的等差数列,其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,.
证明:是等比数列;
证明:.
43.(2021•浙江)已知数列的前项和为,,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足,记的前项和为,若对任意恒成立,
求实数的取值范围.
专题12数列
知识点目录
知识点1:等差数列基本量运算
知识点2:等比数列基本量运算
知识点3:数列的实际应用
知识点4:数列的最值问题
知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
知识点7:数列新定义问题
知识点8:数列通项与求和问题
知识点9:数列不等式
近三年高考真题
知识点1:等差数列基本量运算
1.(2023•甲卷(文))记为等差数列的前项和.若,,则
A.25B.22C.20D.15
【答案】
【解析】等差数列中,,
所以,
,
故,
则,,
则.
故选:.
2.(2022•乙卷(文))记为等差数列的前项和.若,则公差 .
【答案】2.
【解析】,
,
为等差数列,
,
,解得.
故答案为:2.
3.(2022•上海)已知等差数列的公差不为零,为其前项和,若,则,2,,中不同的数值有 个.
【答案】98.
【解析】等差数列的公差不为零,为其前项和,,
,解得,
,
,,1,,中,
,,
其余各项均不相等,
,,中不同的数值有:.
故答案为:98.
4.(2023•新高考Ⅰ)设等差数列的公差为,且.令,记,分别为数列,的前项和.
(1)若,,求的通项公式;
(2)若为等差数列,且,求.
【解析】(1),,
根据题意可得,
,
,又,
解得,,
,;
(2)为等差数列,为等差数列,且,
根据等差数列的通项公式的特点,可设,则,且;
或设,则,且,
①当,,时,
则,
,,又,
解得;
②当,,时,
则,
,,又,
此时无解,
综合可得.
5.(2021•新高考Ⅱ)记是公差不为0的等差数列的前项和,若,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求使成立的的最小值.
【解析】(Ⅰ)数列是公差不为0的等差数列的前项和,若,.
根据等差数列的性质,,故,
根据可得,
整理得,可得不合题意),
故.
(Ⅱ),,
,
,即,
整理可得,
当或时,成立,
由于为正整数,
故的最小正值为7.
6.(2021•甲卷(理))已知数列的各项均为正数,记为的前项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.
①数列是等差数列;②数列是等差数列;③.
注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.
【解析】选择①③为条件,②结论.
证明过程如下:
由题意可得:,,
数列的前项和:,
故,
据此可得数列 是等差数列.
选择①②为条件,③结论:
设数列的公差为,则:
,
数列 为等差数列,则:,
即:,整理可得:,.
选择③②为条件,①结论:
由题意可得:,,
则数列 的公差为,
通项公式为:,
据此可得,当时,,
当时上式也成立,故数列的通项公式为:,
由,可知数列是等差数列.
7.(2023•乙卷(文))记为等差数列的前项和,已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【解析】(1)在等差数列中,,.
,即,
得,,
则.
(2),
即时,,
当时,,
当时,数列的前项和,
当时,数列的前项和.
8.(2021•甲卷(文))记为数列的前项和,已知,,且数列是等差数列,证明:是等差数列.
【解析】证明:设等差数列的公差为,
由题意得;,
则,所以,
所以①;
当时,有②.
由①②,得③,
经检验,当时也满足③.
所以,,
当时,,
所以数列是等差数列.
知识点2:等比数列基本量运算
9.(2022•乙卷(文))已知等比数列的前3项和为168,,则
A.14B.12C.6D.3
【答案】
【解析】设等比数列的公比为,,由题意,.
前3项和为,,
,,
则,
故选:.
10.(2021•甲卷(文))记为等比数列的前项和.若,,则
A.7B.8C.9D.10
【答案】
【解析】为等比数列的前项和,,,
由等比数列的性质,可知,,成等比数列,
,2,成等比数列,
,解得.
故选:.
11.(2023•甲卷(文))记为等比数列的前项和.若,则的公比为 .
【答案】.
【解析】等比数列中,,
则,
所以,
解得.
故答案为:.
12.(2021•上海)已知为无穷等比数列,,的各项和为9,,则数列的各项和为 .
【答案】.
【解析】设的公比为,
由,的各项和为9,可得,
解得,
所以,
,
可得数列是首项为2,公比为的等比数列,
则数列的各项和为.
故答案为:.
13.(2023•乙卷(理))已知为等比数列,,,则 .
【答案】.
【解析】等比数列,
,解得,
而,可得,
即,
.
故答案为:.
14.(2021•甲卷(理))等比数列的公比为,前项和为.设甲:,乙:是递增数列,则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若,,则,则是递减数列,不满足充分性;
,
则,
,
若是递增数列,
,
则,,
满足必要性,
故甲是乙的必要条件但不是充分条件,
故选:.
15.(2023•天津)已知为等比数列,为数列的前项和,,则的值为
A.3B.18C.54D.152
【答案】
【解析】因为为等比数列,,
所以,,
由等比数列的性质可得,,
即,
所以或(舍,
所以,,
则.
故选:.
16.(2023•甲卷(理))已知等比数列中,,为前项和,,则
A.7B.9C.15D.30
【答案】
【解析】等比数列中,设公比为,
,为前项和,,显然,
(如果,可得矛盾,如果,可得矛盾),
可得,
解得,即或,
所以当时,.
当时,.没有选项.
故选:.
17.(2022•上海)已知等比数列的前项和为,前项积为,则下列选项判断正确的是
A.若,则数列是递增数列
B.若,则数列是递增数列
C.若数列是递增数列,则
D.若数列是递增数列,则
【答案】
【解析】如果数列,公比为,满足,但是数列不是递增数列,所以不正确;
如果数列,公比为,满足,但是数列不是递增数列,所以不正确;
如果数列,公比为,,数列是递增数列,但是,所以不正确;
数列是递增数列,可知,可得,所以,可得正确,所以正确;
故选:.
18.(2023•新高考Ⅱ)记为等比数列的前项和,若,,则
A.120B.85C.D.
【答案】
【解析】等比数列中,,,显然公比,
设首项为,则①,②,
化简②得,解得或(不合题意,舍去),
代入①得,
所以.
故选:.
知识点3:数列的实际应用
19.(2022•新高考Ⅱ)图1是中国古代建筑中的举架结构,,,,是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中,,,是举,,,,是相等的步,相邻桁的举步之比分别为,,,.已知,,成公差为0.1的等差数列,且直线的斜率为0.725,则
A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9
【答案】
【解析】设,则,,,
由题意得:,,
且,
解得,
故选:.
20.(2022年全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列bn:b1=1+1α1,b2=1+1α1+1α2,b3=1+1α1+1α2+1α3,…,依此类推,其中αk∈N∗(k=1,2,⋯).则( )
A.b1
【解析】
【分析】
根据αk∈N∗k=1,2,…,再利用数列bn与αk的关系判断bn中各项的大小,即可求解.
【详解】
解:因为αk∈N∗k=1,2,⋯,
所以α1<α1+1α2,1α1>1α1+1α2,得到b1>b2,
同理α1+1α2>α1+1α2+1α3,可得b2
又因为1α2>1α2+1α3+1α4, α1+1α2+1α3<α1+1α2+1α3+1α4,
故b2
以此类推,可得b1>b3>b5>b7>…,b7>b8,故A错误;
b1>b7>b8,故B错误;
1α2>1α2+1α3+…1α6,得b2
21.(2021•北京)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长,,,, (单位: 成等差数列,对应的宽为,,,,(单位:,且长与宽之比都相等.已知,,,则
A.64B.96C.128D.160
【答案】
【解析】和是两个等差数列,且是常值,由于,,
故,
由于
所以.
另,解得:
故:.
故选:.
知识点4:数列的最值问题
22.(2021•北京)已知是各项为整数的递增数列,且,若,则的最大值为
A.9B.10C.11D.12
【答案】
【解析】数列是递增的整数数列,
要取最大,递增幅度尽可能为小的整数,
假设递增的幅度为1,
,
,
则,
当时,,,
,即可继续增大,非最大值,
当时,,,
,不满足题意,
即为最大值.
故选:.
23.(2021•上海)已知,2,,对任意的,或中有且仅有一个成立,,,则的最小值为 .
【答案】31.
【解析】设,由题意可得,,恰有一个为1,
如果,那么,,,,
同样也有,,,,,
全部加起来至少是;
如果,那么,,,
同样也有,,,,,
全部加起来至少是,
综上所述,最小应该是31.
故答案为:31.
知识点5:数列的递推问题(蛛网图问题)
24.(2023•北京)数列满足,下列说法正确的是
A.若,则是递减数列,,使得时,
B.若,则是递增数列,,使得时,
C.若,则是递减数列,,使得时,
D.若,则是递增数列,,使得时,
【答案】
【解析】对原式进行变形,得,
当,则,,
设,则,所以是递减数列,
当,,错误,同理可证明错误,
当,则,即,又因为,所以,
假设,则,即,又因为,所以,
所以当,,正确,
对于,当,代入进去很明显不是递减数列,错误,
故选:.
25.(2022•浙江)已知数列满足,,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】,
为递减数列,
又,且,
,
又,则,
,
,
,则,
;
由得,得,
累加可得,,
,
;
综上,.
故选:.
26.(2021•浙江)已知数列满足,.记数列的前项和为,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】因为,所以,所以,
,
,故,
由累加法可得当 时,
,
又因为当 时, 也成立,所以,
所以,
,故,
由累乘法可得当 时,,
所以.
另设,,,可得在递增,接下来运用待定系数法估计的上下界,设,则探索也满足上界的条件.
.
在此条件下,有,
注意到,取,,从而,此时可得.
故选:.
知识点6:等差数列与等比数列的综合应用
27.(2023•新高考Ⅰ)记为数列的前项和,设甲:为等差数列;乙:为等差数列,则
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若是等差数列,设数列的首项为,公差为,
则,
即,
故为等差数列,
即甲是乙的充分条件.
反之,若为等差数列,则可设,
则,即,
当时,有,
上两式相减得:,
当时,上式成立,所以,
则(常数),
所以数列为等差数列.
即甲是乙的必要条件.
综上所述,甲是乙的充要条件.
故本题选:.
28.(2022•天津)设是等差数列,是等比数列,且.
(1)求与的通项公式;
(2)设的前项和为,求证:;
(3)求.
【解析】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
,
,,
解得,
,.
(2)证明:,
要证明,
即证明,
即证明,
即证明,
由数列的通项公式和前项和的关系得:,
.
(3)
,
设.
则,①
,②
①②,得:
,
,
.
29.(2022•浙江)已知等差数列的首项,公差.记的前项和为.
(Ⅰ)若,求;
(Ⅱ)若对于每个,存在实数,使,,成等比数列,求的取值范围.
【解析】(Ⅰ)因为等差数列的首项,公差,
因为,可得,即,
,即,
整理可得:,解得,
所以,
即;
(Ⅱ)因为对于每个,存在实数,使,,成等比数列,
则,,
整理可得:,则△恒成立在,
整理可得,
当时,可得或,而,
所以的范围为;
时,不等式变为,解得,而,
所以此时,,
当时,,则符合要求,
综上所述,对于每个,的取值范围为,,使,,成等比数列.
30.(2022•新高考Ⅱ)已知是等差数列,是公比为2的等比数列,且.
(1)证明:;
(2)求集合,中元素的个数.
【解析】(1)证明:设等差数列的公差为,
由,得,则,
由,得,
即,
.
(2)由(1)知,,
由知,,
,即,
又,故,则,
故集合,中元素个数为9个.
31.(2022•甲卷(文))记为数列的前项和.已知.
(1)证明:是等差数列;
(2)若,,成等比数列,求的最小值.
【解析】(1)证明:由已知有:①,
把换成,②,
②①可得:,
整理得:,
由等差数列定义有为等差数列;
(2)由已知有,设等差数列的首项为,由(1)有其公差为1,
故,解得,故,
所以,
故可得:,,,
故在或者时取最小值,,
故的最小值为.
32.(2021•乙卷(文))设是首项为1的等比数列,数列满足,已知,,成等差数列.
(1)求和的通项公式;
(2)记和分别为和的前项和.证明:.
【解析】(1),,成等差数列,,
是首项为1的等比数列,设其公比为,
则,,
,
.
(2)证明:由(1)知,,
,
,①
,②
①②得,,
,
,
.
知识点7:数列新定义问题
33.(多选题)(2021•新高考Ⅱ)设正整数,其中,,记,则
A.B.
C.D.
【答案】
【解析】,,对;
当时,,(7).
,(2),(7)(2),错;
,
.
,
.对;
,,对.
故选:.
知识点8:数列通项与求和问题
34.(2023•北京)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且,,,则 ,数列的所有项的和为 .
【答案】48;384.
【解析】数列的后7项成等比数列,,
,
,
公比.
,
又该数列的前3项成等差数列,
数列的所有项的和为.
故答案为:48;384.
35.(2021•新高考Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ,如果对折次,那么
【答案】5;.
【解析】易知有,,共5种规格;
由题可知,对折次共有种规格,且面积为,故,
则,记,则,
,
,
.
故答案为:5;.
36.(2023•天津)已知是等差数列,,.
(Ⅰ)求的通项公式和;
(Ⅱ)已知为等比数列,对于任意,若,则.
当时,求证:;
求的通项公式及其前项和.
【解析】(Ⅰ)是等差数列,,.
,得,,
则的通项公式,
中的首项为,项数为,
则.
(Ⅱ),,,
即,
当时,.
,且,
即,
综上,
即成立.
成立,
为等比数列,设公比为,
当时,,,
则,
即,
即,
当,,,
,
时,,
,
即,
即,
当,,,
则,
则,即的通项公式为,
则的其前项和.
37.(2023•甲卷(理))已知数列中,,设为前项和,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【解析】(1)当时,,解得,
当时,,
,,
当时,可得,
,
当或时,,适合上式,
的通项公式为;
(2)由(1)可得,
,,
,
.
38.(2021•乙卷(理))记为数列的前项和,为数列的前项积,已知.
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求的通项公式.
【解析】(1)证明:当时,,
由,解得,
当时,,代入,
消去,可得,所以,
所以是以为首项,为公差的等差数列.
(2)由题意,得,
由(1),可得,
由,可得,
当时,,显然不满足该式,
所以.
39.(2021•新高考Ⅰ)已知数列满足,
(1)记,写出,,并求数列的通项公式;
(2)求的前20项和.
【解析】(1)因为,,
所以,,,
所以,,
,,
所以数列是以为首项,以3为公差的等差数列,
所以.
另由题意可得,,
其中,,
于是,.
(2)由(1)可得,,
则,,
当时,也适合上式,
所以,,
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列,
则的前20项和为.
知识点9:数列不等式
40.(2023•新高考Ⅱ)已知为等差数列,,记,为,的前项和,,.
(1)求的通项公式;
(2)证明:当时,.
【解析】(1)设等差数列的公差为,
,为的前项和,,,
则,即,解得,
故;
(2)证明:由(1)可知,,
,
当为偶数时,,
,
,
当为奇数时,,,
,
故原式得证.
41.(2022•新高考Ⅰ)记为数列的前项和,已知,是公差为的等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)证明:.
【解析】(1)已知,是公差为的等差数列,
所以,整理得,①,
故当时,,②,
①②得:,
故,
化简得:,,,,;
所以,
故(首项符合通项).
所以.
证明:(2)由于,
所以,
所以.
42.(2021•天津)已知数列是公差为2的等差数列,其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列,,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记,.
证明:是等比数列;
证明:.
【解析】证明:(1)由数列是公差为2的等差数列,其前8项的和为64,
可得,解得,
所以,;
由数列是公比大于0的等比数列,,,
可得,解得舍去),
所以,;
(2)证明:因为,,
所以,
则
,
所以,
又,
所以数列是以8为首项,4为公比的等比数列;
证明:设,
考虑,则,
所以,
则,
两式相减可得,,
所以,
则,
故.
43.(2021•浙江)已知数列的前项和为,,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足,记的前项和为,若对任意恒成立,
求实数的取值范围.
【解析】(Ⅰ)由 可得,
两式作差,可得:,
,
很明显,,
所以数列 是以为首项,为公比的等比数列,
其通项公式为:.
(Ⅱ)由,得,
,
,
两式作差可得:
,
则.
据此可得 恒成立,即 恒成立.
时不等式成立;
时,,由于时,故;
时,,而,故:;
综上可得,.
2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题08平面解析几何(解答题)(学生版+解析): 这是一份2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题08平面解析几何(解答题)(学生版+解析),共49页。试卷主要包含了如图,已知椭圆,已知椭圆的一个顶点为,焦距为等内容,欢迎下载使用。
【讲通练透】专题12 数列-2021-2023年高考真题分享汇编(全国通用): 这是一份【讲通练透】专题12 数列-2021-2023年高考真题分享汇编(全国通用),文件包含专题12数列全国通用原卷版docx、专题12数列全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共40页, 欢迎下载使用。
专题12 数列(学生版)2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用): 这是一份专题12 数列(学生版)2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用),共9页。试卷主要包含了记为等差数列的前项和,设等差数列的公差为,且,记为等差数列的前项和,已知,,记为等比数列的前项和等内容,欢迎下载使用。