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2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题13不等式、推理与证明(学生版+解析)
展开这是一份2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题13不等式、推理与证明(学生版+解析),共17页。试卷主要包含了若,满足约束条件则的最大值是,若,满足约束条件则的最小值为等内容,欢迎下载使用。
知识点1:推理问题
知识点2:线性规划问题
知识点3:不等式大小判断问题
知识点4:利用基本不等式求最值
知识点5:解不等式
近三年高考真题
知识点1:推理问题
1.(2022•乙卷(理))嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列,,,,依此类推,其中,2,.则
A.B.C.D.
2.(2021•新高考Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ,那么
知识点2:线性规划问题
3.(2022•浙江)若实数,满足约束条件则的最大值是
A.20B.18C.13D.6
4.(2022•乙卷(文))若,满足约束条件则的最大值是
A.B.4C.8D.12
5.(2021•浙江)若实数,满足约束条件,则的最小值是
A.B.C.D.
6.(2021•乙卷(理))若,满足约束条件则的最小值为
A.18B.10C.6D.4
7.(2023•甲卷(文))若,满足约束条件,则的最大值为 .
8.(2023•乙卷(文))若,满足约束条件,则的最大值为 .
9.(2023•甲卷(理))设,满足约束条件,设,则的最大值为 .
10.(2022•上海),,求的最小值 .
11.(2021•上海)已知,,则的最大值为 .
知识点3:不等式大小判断问题
12.(2022•上海)若实数、满足,下列不等式中恒成立的是
A.B.C.D.
13.(2022•上海)若,则下列不等式恒成立的是
A.B.C.D.
14.(2021•上海)已知两两不相等的,,,,,,同时满足①,,;②;③,以下哪个选项恒成立
A.B.C.D.
知识点4:利用基本不等式求最值
15.(2021•乙卷(文))下列函数中最小值为4的是
A.B.C.D.
16.(多选题)(2022•新高考Ⅱ)若,满足,则
A.B.C.D.
17.(2023•上海)已知正实数、满足,则的最大值为 .
18.(2021•天津)已知,,则的最小值为 .
19.(2021•上海)已知函数的最小值为5,则 .
知识点5:解不等式
20.(2021•上海)不等式的解集为 .
21.(2022•上海)不等式的解集为 .
专题13 不等式、推理与证明
知识点目录
知识点1:推理问题
知识点2:线性规划问题
知识点3:不等式大小判断问题
知识点4:利用基本不等式求最值
知识点5:解不等式
近三年高考真题
知识点1:推理问题
1.(2022•乙卷(理))嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列,,,,依此类推,其中,2,.则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】,2,,可以取,
则,
,
,
,
,
,
,
,
,故错误;,故错误;,故错误;,故正确.
故选:.
2.(2021•新高考Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸,对折1次共可以得到,两种规格的图形,它们的面积之和,对折2次共可以得到,,三种规格的图形,它们的面积之和,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ,那么
【答案】5;.
【解析】易知有,,共5种规格;
由题可知,对折次共有种规格,且面积为,故,
则,记,则,
,
,
.
故答案为:5;.
知识点2:线性规划问题
3.(2022•浙江)若实数,满足约束条件则的最大值是
A.20B.18C.13D.6
【答案】
【解析】实数,满足约束条件
则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分,
由已知可得,
由图可知:当直线过点时,取最大值,
则的最大值是,
故选:.
4.(2022•乙卷(文))若,满足约束条件则的最大值是
A.B.4C.8D.12
【答案】
【解析】作出可行域如图阴影部分所示,
由图可知,当取点时,目标函数取得最大值,且最大为8.
故选:.
5.(2021•浙江)若实数,满足约束条件,则的最小值是
A.B.C.D.
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域如图,
联立,解得,
化目标函数为,由图可知,当直线过时,
直线在轴上的截距最大,有最小值为.
故选:.
6.(2021•乙卷(理))若,满足约束条件则的最小值为
A.18B.10C.6D.4
【答案】
【解析】由约束条件作出可行域如图,
联立,解得,
由,得,由图可知,当直线过时,
直线在轴上的截距最小,有最小值为.
故选:.
7.(2023•甲卷(文))若,满足约束条件,则的最大值为 .
【答案】15.
【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示,
由得,
则表示直线在轴截距,截距越大,越大,
结合图形可知,当直线经过点时,最大,
联立可得,此时取得最大值15.
8.(2023•乙卷(文))若,满足约束条件,则的最大值为 .
【答案】8.
【解析】作出不等式组表示的平面区域,如图所示:
由可得,
则表示直线在轴上的截距,截距越小,越大,
结合图形可知,当经过点时,最大,
由可得,,即,
此时取得最大值8.
故答案为:8.
9.(2023•甲卷(理))设,满足约束条件,设,则的最大值为 .
【答案】15.
【解析】由题意,作出,满足约束条件表示的平面区域,如图中阴影部分所示,
目标函数,可化为直线,
由,可得,
即,
当直线过点时,直线在轴上的截距最大,此时目标函数取得最大值,
代入可得.
故答案为:15.
10.(2022•上海),,求的最小值 .
【答案】.
【解析】如图所示:
由,,可知行域为直线的左上方和的右上方的公共部分,
联立,可得,即图中点,,
当目标函数沿着与正方向向量的相反向量平移时,离开区间时取最小值,
即目标函数过点,时,取最小值:.
故答案为:.
11.(2021•上海)已知,,则的最大值为 .
【答案】4.
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
目标函数即:,其中取得最大值时,其几何意义表示直线系在轴上的截距的相反数,
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最大值,
联立直线方程:,可得点的坐标为:,
据此可知目标函数的最大值为:.
故答案为:4.
知识点3:不等式大小判断问题
12.(2022•上海)若实数、满足,下列不等式中恒成立的是
A.B.C.D.
【答案】
【解析】因为,所以,当且仅当时取等号,
又,所以,故正确,错误,
,当且仅当,即时取等号,故错误,
故选:.
13.(2022•上海)若,则下列不等式恒成立的是
A.B.C.D.
【答案】
【解析】对于,令,,,,满足,但,故错误,
对于,,即,,
由不等式的可加性可得,,故正确,
对于,令,,,,满足,但,故错误,
对于,令,,,,满足,但,故错误.
故选:.
14.(2021•上海)已知两两不相等的,,,,,,同时满足①,,;②;③,以下哪个选项恒成立
A.B.C.D.
【答案】
【解析】设,
,,,
根据题意,应该有,
且,
则有,
则,
因为,
所以,
所以项正确,错误.
,而上面已证,
因为不知道的正负,
所以该式子的正负无法恒定.
故选:.
知识点4:利用基本不等式求最值
15.(2021•乙卷(文))下列函数中最小值为4的是
A.B.C.D.
【答案】
【解析】对于,,
所以函数的最小值为3,故选项错误;
对于,因为,所以,
当且仅当,即时取等号,
因为,所以等号取不到,
所以,故选项错误;
对于,因为,所以,
当且仅当,即时取等号,
所以函数的最小值为4,故选项正确;
对于,因为当时,,
所以函数的最小值不是4,故选项错误.
故选:.
16.(多选题)(2022•新高考Ⅱ)若,满足,则
A.B.C.D.
【答案】
【解析】方法一:由可得,,
令,则,
,,故错,对,
,,
故对,错,
方法二:对于,,由可得,,即,
,,故错,对,
对于,,由得,,
,故对;
,,
,故错误.
故选:.
17.(2023•上海)已知正实数、满足,则的最大值为 .
【答案】.
【解析】正实数、满足,则,当且仅当,时等号成立.
故答案为:.
18.(2021•天津)已知,,则的最小值为 .
【答案】.
【解析】法一:,,,
当且仅当且,即时取等号,
的最小值为,
法二:,,
,
当且仅当,即时取等号,
的最小值为,
故答案为:.
19.(2021•上海)已知函数的最小值为5,则 .
【答案】9
【解析】,
所以,经检验,时等号成立.
故答案为:9.
知识点5:解不等式
20.(2021•上海)不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】,
解得,.
故答案为:.
21.(2022•上海)不等式的解集为 .
【答案】.
【解析】由题意得,
解得,
故不等式的解集.
故答案为:.
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