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    2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题04导数及其应用(解答题)(理)(学生版+解析)
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    2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题04导数及其应用(解答题)(理)(学生版+解析)

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    这是一份2021-2023年高考数学真题分类汇编(全国通用)专题04导数及其应用(解答题)(理)(学生版+解析),共38页。试卷主要包含了已知,,已知,函数,设函数,曲线在点处的切线方程为,证明,已知函数,已知函数,已知是函数的极值点等内容,欢迎下载使用。

    知识点1:恒成立与有解问题
    知识点2:极最值问题
    知识点3:证明不等式
    知识点4:双变量问题(极值点偏移、拐点偏移)
    知识点5:零点问题
    近三年高考真题
    知识点1:恒成立与有解问题
    1.(2023•甲卷(理))已知,.
    (1)若,讨论的单调性;
    (2)若恒成立,求的取值范围.
    2.(2021•天津)已知,函数.
    (1)求曲线在点,处的切线方程;
    (2)证明函数存在唯一的极值点;
    (3)若,使得对任意的恒成立,求实数的取值范围.
    3.(2023•上海)已知函数,(其中,,,若任意,均有,则称函数是函数的“控制函数”,且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为.
    (1)若,,试判断函数是否为函数的“控制函数”,并说明理由;
    (2)若,曲线在处的切线为直线,证明:函数为函数的“控制函数”,并求的值;
    (3)若曲线在,处的切线过点,且,,证明:当且仅当或时,(c)(c).
    知识点2:极最值问题
    4.(2023·北京·统考高考真题)设函数,曲线在点处的切线方程为.
    (1)求的值;
    (2)设函数,求的单调区间;
    (3)求的极值点个数.
    5.(2023•新高考Ⅱ)(1)证明:当时,;参考答案
    (2)已知函数,若为的极大值点,求的取值范围.
    6.(2023•乙卷(理))已知函数.
    (1)当时,求曲线在点,(1)处的切线方程;
    (2)是否存在,,使得曲线关于直线对称,若存在,求,的值,若不存在,说明理由;
    (3)若在存在极值,求的取值范围.
    知识点3:证明不等式
    7.(2022•新高考Ⅱ)已知函数.
    (1)当时,讨论的单调性;
    (2)当时,,求的取值范围;
    (3)设,证明:.
    8.(2023•新高考Ⅰ)已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)证明:当时,.
    9.(2021•乙卷(理))已知函数,已知是函数的极值点.
    (1)求;
    (2)设函数.证明:.
    10.(2023•天津)已知函数.
    (Ⅰ)求曲线在处的切线斜率;
    (Ⅱ)当时,求证:;
    (Ⅲ)证明:.
    知识点4:双变量问题(极值点偏移、拐点偏移)
    11.(2021•新高考Ⅰ)已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
    12.(2022•天津)已知,,函数,.
    (1)求函数在,处的切线方程;
    (2)若和有公共点.
    (ⅰ)当时,求的取值范围;
    (ⅱ)求证:.
    13.(2022•浙江)设函数.
    (Ⅰ)求的单调区间;
    (Ⅱ)已知,,曲线上不同的三点,,,,,处的切线都经过点.证明:
    (ⅰ)若,则(a);
    (ⅱ)若,,则.
    (注是自然对数的底数)
    14.(2022•北京)已知函数.
    (Ⅰ)求曲线在点,处的切线方程;
    (Ⅱ)设,讨论函数在,上的单调性;
    (Ⅲ)证明:对任意的,,有.
    知识点5:零点问题
    15.(2022•甲卷(理))已知函数.
    (1)若,求的取值范围;
    (2)证明:若有两个零点,,则.
    16.(2022•新高考Ⅰ)已知函数和有相同的最小值.
    (1)求;
    (2)证明:存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
    17.(2021•新高考Ⅱ)已知函数.
    (Ⅰ)讨论的单调性;
    (Ⅱ)从下面两个条件中选一个,证明:恰有一个零点.
    ①,;
    ②,.
    18.(2021•浙江)设,为实数,且,函数.
    (Ⅰ)求函数的单调区间;
    (Ⅱ)若对任意,函数有两个不同的零点,求的取值范围;
    (Ⅲ)当时,证明:对任意,函数有两个不同的零点,,满足.
    (注是自然对数的底数)
    19.(2021•甲卷(理))已知且,函数.
    (1)当时,求的单调区间;
    (2)若曲线与直线有且仅有两个交点,求的取值范围.20.(2022年全国乙卷)已知函数fx=ln1+x+axe−x
    (1)当a=1时,求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程;
    (2)若fx在区间−1,0,0,+∞各恰有一个零点,求a的取值范围.
    专题04 导数及其应用(解答题)(理)
    知识点目录
    知识点1:恒成立与有解问题
    知识点2:极最值问题
    知识点3:证明不等式
    知识点4:双变量问题(极值点偏移、拐点偏移)
    知识点5:零点问题
    近三年高考真题
    知识点1:恒成立与有解问题
    1.(2023•甲卷(理))已知,.
    (1)若,讨论的单调性;
    (2)若恒成立,求的取值范围.
    【解析】(1)已知,函数定义域为,
    若,此时,
    可得

    因为,,
    所以当,即时,,单调递增;
    当,即时,,单调递减;
    (2)不妨设,函数定义域为,

    令,,
    此时,
    不妨令,
    可得,
    所以单调递增,
    此时(1),
    ①当时,,
    所以在上单调递减,
    此时,
    则当时,恒成立,符合题意;
    ②当时,
    当时,,
    所以,
    又(1),
    所以在区间上存在一点,使得,
    即存在,使得,
    当时,,
    所以当时,,单调递增,
    可得当时,,不符合题意,
    综上,的取值范围为,.
    2.(2021•天津)已知,函数.
    (1)求曲线在点,处的切线方程;
    (2)证明函数存在唯一的极值点;
    (3)若,使得对任意的恒成立,求实数的取值范围.
    【解析】(1)因为,所以,而,
    所以在,处的切线方程为;
    (2)证明:令,则,
    令,则,令,解得,
    当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    当时,,当时,,
    作出图象,如图,
    所以当时,与仅有一个交点,令,
    则,且,
    当时,,,为增函数;
    当时,,,为减函数;
    所以时是的极大值点,故仅有一个极值点;
    (3)由(2)知,
    此时,,
    所以,
    令,
    若存在,使对任意的恒成立,
    则等价于存在,使得,即,
    而,,
    当时,,为单调减函数,
    当时,,为单调增函数,
    所以(1),故,
    所以实数的取值范围,.
    3.(2023•上海)已知函数,(其中,,,若任意,均有,则称函数是函数的“控制函数”,且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为.
    (1)若,,试判断函数是否为函数的“控制函数”,并说明理由;
    (2)若,曲线在处的切线为直线,证明:函数为函数的“控制函数”,并求的值;
    (3)若曲线在,处的切线过点,且,,证明:当且仅当或时,(c)(c).
    【解析】(1),设,
    ,当,时,易知,即单调减,
    ,即,
    是的“控制函数“;
    (2),

    ,即为函数的“控制函数“,
    又,且,;
    证明:(3),,
    在处的切线为,
    ,,(1)(1),




    恒成立,
    函数必是函数的“控制函数“,
    是函数的“控制函数“,
    此时“控制函数“必与相切于点,与在处相切,且过点,
    在之间的点不可能使得在切线下方,所以或,
    所以曲线在处的切线过点,且,,
    当且仅当或时,.
    知识点2:极最值问题
    4.(2023·北京·统考高考真题)设函数,曲线在点处的切线方程为.
    (1)求的值;
    (2)设函数,求的单调区间;
    (3)求的极值点个数.
    【解析】(1)因为,所以,
    因为在处的切线方程为,
    所以,,
    则,解得,
    所以.
    (2)由(1)得,
    则,
    令,解得,不妨设,,则,
    易知恒成立,
    所以令,解得或;令,解得或;
    所以在,上单调递减,在,上单调递增,
    即的单调递减区间为和,单调递增区间为和.
    (3)由(1)得,,
    由(2)知在,上单调递减,在,上单调递增,
    当时,,,即
    所以在上存在唯一零点,不妨设为,则,
    此时,当时,,则单调递减;当时,,则单调递增;
    所以在上有一个极小值点;
    当时,在上单调递减,
    则,故,
    所以在上存在唯一零点,不妨设为,则,
    此时,当时,,则单调递增;当时,,则单调递减;
    所以在上有一个极大值点;
    当时,在上单调递增,
    则,故,
    所以在上存在唯一零点,不妨设为,则,
    此时,当时,,则单调递减;当时,,则单调递增;
    所以在上有一个极小值点;
    当时,,
    所以,则单调递增,
    所以在上无极值点;
    综上:在和上各有一个极小值点,在上有一个极大值点,共有个极值点.
    5.(2023•新高考Ⅱ)(1)证明:当时,;参考答案
    (2)已知函数,若为的极大值点,求的取值范围.
    【解析】(1)证明:设,,
    则,,
    在上单调递减,

    在上单调递减,

    即,,
    ,,
    设,,
    则,
    在上单调递增,
    ,,
    即,,
    ,,
    综合可得:当时,;
    (2),,
    且,,
    ①若,即时,
    易知存在,使得时,,
    在上单调递增,,
    在上单调递增,这显然与为函数的极大值点相矛盾,故舍去;
    ②若,即或时,
    存在,使得,时,,
    在,上单调递减,又,
    当时,,单调递增;
    当时,,单调递减,满足为的极大值点,符合题意;
    ③若,即时,为偶函数,
    只考虑的情况,
    此时,时,

    在上单调递增,与显然与为函数的极大值点相矛盾,故舍去.
    综合可得:的取值范围为,,.
    6.(2023•乙卷(理))已知函数.
    (1)当时,求曲线在点,(1)处的切线方程;
    (2)是否存在,,使得曲线关于直线对称,若存在,求,的值,若不存在,说明理由;
    (3)若在存在极值,求的取值范围.
    【解析】(1)时,(1),
    ,(1),
    曲线在点,(1)处的切线方程为.
    (2),定义域为,,,
    要使函数的图像关于对称,则由,且,可知,
    即的图像关于对称,
    则(1),,
    得,解得.
    综上,,;
    (3),
    要使在存在极值点,则方程有正根,
    记,,,
    ①当时,,故在上单调递增,,不符合题意;
    ②当时,,故在上单调递减,,不符合题意;
    ③当时,令,,令,,
    故在上单调递增,,不符合题意;
    易知时,,
    故只需,
    记,,,
    故在上单调递增,
    (2),
    故取,,有,即,符合题意;
    综上所述,时,在存在极值点.
    知识点3:证明不等式
    7.(2022•新高考Ⅱ)已知函数.
    (1)当时,讨论的单调性;
    (2)当时,,求的取值范围;
    (3)设,证明:.
    【解析】(1)当时,,


    当时,,单调递增;当时,,单调递减.
    (2)令,
    ,,
    在上恒成立,
    又,
    令,则,

    ①当,即,存在,使得当时,,即在上单调递增.
    因为,所以在内递增,所以,这与矛盾,故舍去;
    ②当,即,

    若,则,
    所以在,上单调递减,,符合题意.
    若,则,
    所以在上单调递减,,符合题意.
    综上所述,实数的取值范围是.
    另的导数为,
    ①当时,,
    所以在递增,所以,与题意矛盾;
    ②当时,,
    所以在递减,所以,满足题意;.
    ③当时,.
    设,,则在递减,所以,
    ,所以在递减,所以,满足题意;
    ④当时,,
    令,则,,
    可得递减,,
    所以存在,使得.当时,,
    在递增,此时,
    所以当时,,在递增,所以,与题意矛盾.
    综上可得,的取值范围是,.
    (3)由(2)可知,当时,,
    令得,,
    整理得,,

    ,,
    即.
    另运用数学归纳法证明.
    当时,左边成立.
    假设当时,不等式成立,即.
    当时,要证,
    只要证,
    即证.
    可令,则,,则需证明,
    再令,则需证明.
    构造函数,,

    可得在,上递减,
    则(1),所以原不等式成立,
    即时,成立.
    综上可得,成立.
    8.(2023•新高考Ⅰ)已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)证明:当时,.
    【解析】(1),
    则,
    ①当时,恒成立,在上单调递减,
    ②当时,令得,,
    当时,,单调递减;当,时,,单调递增,
    综上所述,当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在,上单调递增.
    证明:(2)由(1)可知,当时,,
    要证,只需证,
    只需证,
    设(a),,
    则(a),
    令(a)得,,
    当时,(a),(a)单调递减,当,时,(a),(a)单调递增,
    所以(a),
    即(a),
    所以得证,
    即得证.
    9.(2021•乙卷(理))已知函数,已知是函数的极值点.
    (1)求;
    (2)设函数.证明:.
    【解析】(1)由题意,的定义域为,
    令,则,,
    则,
    因为是函数的极值点,则有,即,所以,
    当时,,且,
    因为,
    则在上单调递减,
    所以当时,,
    当时,,
    所以时,是函数的一个极大值点.
    综上所述,;
    (2)证明:由(1)可知,,
    要证,即需证明,
    因为当时,,
    当时,,
    所以需证明,即,
    令,
    则,
    所以,当时,,
    当时,,
    所以为的极小值点,
    所以,即,
    故,
    所以.
    10.(2023•天津)已知函数.
    (Ⅰ)求曲线在处的切线斜率;
    (Ⅱ)当时,求证:;
    (Ⅲ)证明:.
    【解析】(Ⅰ)对函数求导,可得,
    则曲线在处的切线斜率为(2);
    (Ⅱ)证明:当时,,即,即,
    而 在上单调递增,
    因此,原不等式得证;
    (Ⅲ)证明:设数列的前项和,
    则;
    当时,,
    由(2),,
    故,不等式右边得证;
    要证,只需证:对任意的,,
    令,则,
    当时,,函数在上单调递减,
    则,即,
    则,
    因此当时,,
    当时,累加得

    又,,
    故,即得证.
    知识点4:双变量问题(极值点偏移、拐点偏移)
    11.(2021•新高考Ⅰ)已知函数.
    (1)讨论的单调性;
    (2)设,为两个不相等的正数,且,证明:.
    【解析】(1)由函数的解析式可得,
    ,,单调递增,
    ,,单调递减,
    则在单调递增,在单调递减.
    (2)证明:由,得,
    即,
    由(1)在单调递增,在单调递减,
    所以(1),且(e),
    令,,
    则,为 的两根,其中.
    不妨令,,则,
    先证,即证,即证,
    令,
    则在单调递减,
    所以(1),
    故函数在单调递增,
    (1).,,得证.
    同理,要证,
    (法一)即证,
    根据(1)中单调性,
    即证,
    令,,
    则,令,
    ,,单调递增,
    ,,,单调递减,
    又时,,且(e),
    故,
    (1)(1),
    恒成立,
    得证,
    (法二),,
    又,故,,
    故,,
    令,,,
    在上,,单调递增,
    所以(e),
    即,所以,得证,
    则.
    12.(2022•天津)已知,,函数,.
    (1)求函数在,处的切线方程;
    (2)若和有公共点.
    (ⅰ)当时,求的取值范围;
    (ⅱ)求证:.
    【解析】(1),,
    ,,
    函数在处的切线方程为;
    (2)(ⅰ),,又和有公共点,
    方程有解,
    即有解,显然,
    在上有解,
    设,,

    当时,;当,时,,
    在上单调递减,在,上单调递增,
    ,且当时,;当时,,
    ,,
    的范围为,;
    (ⅱ)证明:令交点的横坐标为,则,
    由柯西不等式可得

    又易证时,,,,

    故.
    13.(2022•浙江)设函数.
    (Ⅰ)求的单调区间;
    (Ⅱ)已知,,曲线上不同的三点,,,,,处的切线都经过点.证明:
    (ⅰ)若,则(a);
    (ⅱ)若,,则.
    (注是自然对数的底数)
    【解析】(Ⅰ)函数,
    ,,
    由,得,在,上单调递增;
    由,得,在上单调递减.
    (Ⅱ)证明:过有三条不同的切线,
    设切点分别为,,,,,,
    ,,2,,方程有3个不同的根,
    该方程整理为,
    设,
    则,
    当或时,;当时,,
    在,上为减函数,在上为增函数,
    有3个不同的零点,(e)且(a),
    ,且,
    整理得到且,
    此时,,且,
    此时,,
    整理得,且,
    此时,(a),
    设(a)为上的减函数,(a),

    当时,同讨论,得:
    在,上为减函数,在上为增函数,
    不妨设,则,
    有3个不同的零点,(a),且(e),
    ,且,
    整理得,
    ,,

    设,则方程即为:
    ,即为,
    记,
    则,,为有三个不同的根,
    设,,
    要证:,
    即证,
    即证:,
    而,且,


    即证,
    即证,
    即证,
    记,则,
    在为增函数,,

    设,,
    则,
    在上是增函数,(1),

    即,
    若,,则.
    14.(2022•北京)已知函数.
    (Ⅰ)求曲线在点,处的切线方程;
    (Ⅱ)设,讨论函数在,上的单调性;
    (Ⅲ)证明:对任意的,,有.
    【解析】(Ⅰ)对函数求导可得:,
    将代入原函数可得,将代入导函数可得:,
    故在处切线斜率为1,故,化简得:;
    (Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)有:,

    令,令,
    设,恒成立,
    故在,单调递增,又因为,
    故在,恒成立,故,
    故在,单调递增;
    解法二:由(Ⅰ)有:,

    设,,则,
    由指数函数的性质得上上是增函数,且,
    ,当时,,单调递增,
    且当时,,
    在,单调递增.
    (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)有在,单调递增,又,
    故在,恒成立,故在,单调递增,
    设,,
    由(Ⅱ)有在,单调递增,又因为,所以,
    故单调递增,又因为,故,
    即:,又因为函数,
    故,得证.
    知识点5:零点问题
    15.(2022•甲卷(理))已知函数.
    (1)若,求的取值范围;
    (2)证明:若有两个零点,,则.
    【解析】(1)的定义域为,,
    令,解得,故函数在单调递减,单调递增,
    故(1),要使得恒成立,仅需,
    故,故的取值范围是,;
    (2)证明:由已知有函数要有两个零点,故(1),即,
    不妨设,要证明,即证明,
    ,,
    即证明:,又因为在单调递增,
    即证明:,
    构造函数,,

    构造函数,
    ,因为,所以,
    故在恒成立,故在单调递增,
    故(1)
    又因为,故在恒成立,故在单调递增,
    又因为(1),故(1),
    故,即.得证.
    16.(2022•新高考Ⅰ)已知函数和有相同的最小值.
    (1)求;
    (2)证明:存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
    【解析】(1)定义域为,


    若,
    则,无最小值,
    故,
    当时,,
    当时,,函数在上单调递减,
    当时,,函数在上单调递增,
    故,
    的定义域为,


    令,解得,
    当时,,函数在上单调递减,
    当时,,函数在,上单调递增,
    故,
    函数和有相同的最小值


    化为,
    令,,
    则,

    恒成立,
    在上单调递增,
    又(1),
    (a)(1),仅有此一解,

    (2)证明:由(1)知,函数在上单调递减,在上单调递增,
    函数在上单调递减,在上单调递增,
    设,
    则,当时,,
    所以函数在上单调递增,因为(1),
    所以当时,(1)恒成立,即在时恒成立,
    所以时,,
    因为,函数在上单调递增,(1),函数在上单调递减,
    所以函数与函数的图象在上存在唯一交点,设该交点为,,
    此时可作出函数和的大致图象,
    由图象知当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时,
    直线必经过点,,即,
    因为,所以,即,
    令得,解得或,由,得,
    令得,解得或,由,得,
    所以当直线与两条曲线和共有三个不同的交点时,
    从左到右的三个交点的横坐标依次为,,,,
    因为,所以,
    所以,,成等差数列.
    存在直线,其与两条曲线和共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
    17.(2021•新高考Ⅱ)已知函数.
    (Ⅰ)讨论的单调性;
    (Ⅱ)从下面两个条件中选一个,证明:恰有一个零点.
    ①,;
    ②,.
    【解析】(Ⅰ),,
    ①当时,当时,,当时,,
    在上单调递减,在上单调递增,
    ②当时,令,可得或,
    当时,
    当或时,,当时,,
    在,,上单调递增,在,上单调递减,
    时,
    且等号不恒成立,在上单调递增,
    当时,
    当或时,,当时,,
    在,,上单调递增,在,上单调递减.
    综上所述:
    当 时, 在上单调递减;在上 单调递增;
    当 时, 在, 和上单调递增;在,上单调递减;
    当 时, 在 上单调递增;
    当 时, 在和, 上单调递增;在, 上单调递减.
    (Ⅱ)证明:若选①,由 (Ⅰ)知, 在上单调递增,, 单调递减,, 上 单调递增.
    注意到.
    在 上有一个零点;

    由 得,,
    ,当 时,,此时 无零点.
    综上: 在 上仅有一个零点.
    另当,时,有,,
    而,于是

    所以在没有零点,当时,,
    于是,所以在,上存在一个零点,命题得证.
    若选②,则由(Ⅰ)知:在, 上单调递增,
    在,上单调递减,在 上单调递增.

    ,,,,
    当 时,,此时 无零点.
    当 时, 单调递增,注意到,
    取,,,又易证,

    在上有唯一零点,即在上有唯一零点.
    综上: 在 上有唯一零点.
    18.(2021•浙江)设,为实数,且,函数.
    (Ⅰ)求函数的单调区间;
    (Ⅱ)若对任意,函数有两个不同的零点,求的取值范围;
    (Ⅲ)当时,证明:对任意,函数有两个不同的零点,,满足.
    (注是自然对数的底数)
    【解析】(Ⅰ),
    ①当时,由于,则,故,此时在上单调递增;
    ②当时,令,解得,令,解得,
    此时在单调递减,在单调递增;
    综上,当时,的单调递增区间为;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为;
    (Ⅱ)注意到时,,当时,,
    由(Ⅰ)知,要使函数有两个不同的零点,只需即可,
    对任意均成立,
    令,则,即,即,即,
    对任意均成立,
    记,则,
    令(b),得,
    ①当,即时,易知(b)在,单调递增,在单调递减,
    此时(b),不合题意;
    ②当,即时,易知(b)在,单调递减,
    此时,
    故只需,即,则,即;
    综上,实数的取值范围为,;
    (Ⅲ)证明:当时,,,令,解得,
    易知,
    有两个零点,不妨设为,,且,
    由,可得,
    要证,只需证,只需证,
    而,则,
    要证,只需证,只需证,
    而,
    ,即得证.
    19.(2021•甲卷(理))已知且,函数.
    (1)当时,求的单调区间;
    (2)若曲线与直线有且仅有两个交点,求的取值范围.
    【解析】(1)时,,

    当时,,当,时,,
    故在上单调递增,在,上单调递减.
    (2)由题知在有两个不等实根,

    令,,在上单调递增,在上单调递减,
    又当时,,(1),(e),当时,,
    作出的图象,如图所示:
    由图象可得,解得且,
    即的取值范围是,,.
    20.(2022年全国乙卷)已知函数fx=ln1+x+axe−x
    (1)当a=1时,求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程;
    (2)若fx在区间−1,0,0,+∞各恰有一个零点,求a的取值范围.
    【答案】(1)y=2x (2)(−∞,−1)
    【解析】
    【分析】
    (1)先算出切点,再求导算出斜率即可
    (2)求导,对a分类讨论,对x分(−1,0),(0,+∞)两部分研究
    (1)
    f(x)的定义域为(−1,+∞)
    当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xex,f(0)=0,所以切点为(0,0) f'(x)=11+x+1−xex,f'(0)=2,所以切线斜率为2
    所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x
    (2)
    f(x)=ln(1+x)+axex
    f'(x)=11+x+a(1−x)ex=ex+a1−x2(1+x)ex
    设g(x)=ex+a1−x2
    1°若a>0,当x∈(−1,0),g(x)=ex+a1−x2>0,即f'(x)>0
    所以f(x)在(−1,0)上单调递增,f(x)故f(x)在(−1,0)上没有零点,不合题意
    2°若−1⩽a⩽0,当x∈(0,+∞),则g'(x)=ex−2ax>0
    所以g(x)在(0,+∞)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a⩾0,即f'(x)>0
    所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0
    故f(x)在(0,+∞)上没有零点,不合题意
    3°若a<−1
    (1)当x∈(0,+∞),则g'(x)=ex−2ax>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增
    g(0)=1+a<0,g(1)=e>0
    所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f'(m)=0
    当x∈(0,m),f'(x)<0,f(x)单调递减
    当x∈(m,+∞),f'(x)>0,f(x)单调递增
    所以
    当x∈(0,m),f(x)当x→+∞,f(x)→+∞
    所以f(x)在(m,+∞)上有唯一零点
    又(0,m)没有零点,即f(x)在(0,+∞)上有唯一零点
    (2)当x∈(−1,0),g(x)=ex+a1−x2
    设ℎ(x)=g'(x)=ex−2ax
    ℎ'(x)=ex−2a>0
    所以g'(x)在(−1,0)单调递增
    g'(−1)=1e+2a<0,g'(0)=1>0
    所以存在n∈(−1,0),使得g'(n)=0
    当x∈(−1,n),g'(x)<0,g(x)单调递减
    当x∈(n,0),g'(x)>0,g(x)单调递增,g(x)又g(−1)=1e>0
    所以存在t∈(−1,n),使得g(t)=0,即f'(t)=0
    当x∈(−1,t),f(x)单调递增,当x∈(t,0),f(x)单调递减
    有x→−1,f(x)→−∞
    而f(0)=0,所以当x∈(t,0),f(x)>0
    所以f(x)在(−1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点
    即f(x)在(−1,0)上有唯一零点
    所以a<−1,符合题意
    所以若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围为(−∞,−1)
    【点睛】
    方法点睛:本题的关键是对a的范围进行合理分类,否定和肯定并用,否定只需要说明一边不满足即可,肯定要两方面都说明.
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