浙江省金华市义乌市绣湖中学2023-2024学年八年级下学期3月学情调研数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为2次；③是整式方程这三个方面逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，该选项不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、，当时，该方程未知数次数低于2次，不是一元二次方程，不符合题意；
D、将化简得到，显然不成立，不含未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，把握一元二次方程定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为2次；③是整式方程是解决问题的关键．
2. 使式子有意义的x的取值范围是（ ）
A. 且B. 且C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由式子有意义知，解出即可.
【详解】由式子有意义知解得且，故选A.
【点睛】本题是对分式有意义的考查，熟练掌握分式及二次根式有意义是解决本题的关键.
3. 一组数据按从小到大排列为2，4，6，x，14，15，若这组数据的中位数为9，则x是（ ）
A. 7B. 9C. 12D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】根据中位数为9和数据的个数，可求出x的值．
【详解】解：由题意得，（6＋x）÷2＝9，
解得：x＝12，
故选：C．
【点睛】此题考查的是根据一组数的中位数，求未知数的值，掌握中位数的定义是解决此题的关键．
4. 把根号外因式移入根号内得（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质．由二次根式的性质，得，然后再按照二次根式的性质运算即可．
【详解】解：由二次根式的性质，得，，
.
故选：D．
5. 某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由该农机厂四月份的产量及五、六月份平均每月的增长率，可得出该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个，再结合该农机厂第二季度共生产零件182万个，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：∵该农机厂四月份生产零件50万个，五、六月份平均每月的增长率为，
∴该农机厂五月份生产零件万个，六月份生产零件万个．
根据题意得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是（坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比），坝高，则坡面的长度是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
详解】由图可知，，即，
∴，
∴（m）．
故选．
【点睛】此题主要考查学生对坡度、坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
7. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A. k>－B. k>－且C. k<－D. k－且
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根必须满足（1）二次项系数不为零；（2）根的判别式，由此即可求解．
【详解】解：由题意知，k≠0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即．
解得：k＞，
∴k＞且k≠0．
故选B．
【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键．
8. 定义表示不超过实数x的最大整数，如，，．函数的图象如图所示，则方程的解为（ ）

A. 0或B. 0或2C. 1或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，以及实数的大小比较．根据新定义和函数图象讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别解关于x的一元二次方程即可解题．
【详解】解：由图知，
当时，，解得或（舍去），
当时，，解得，
当时，，无解，
当时，，无解，
综上所述，方程的解为0或，
故选：A．
9. 若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根分别是，5．则方程a（x-1）2＋bx＝b-2c的两根为（ ）
A. -，6B. -3，10C. -2，11D. -5，21
【答案】C
【解析】
【分析】由根与系数的关系求得和，再代入新方程求解便可．
【详解】∵方程（）的两个根分别是，5．
∴，，
∴，，
由方程得：
，
∴，
即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程和根与系数的关系，关键是求得和，将两方程联系起来．
10. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程 的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD、BC的中点G、H，再折出线段AN，然后通过沿线段AN折叠使AD落在线段AH上，得到点D的新位置P，并连接NP、NH，此时，在下列四个选项中，有一条线段的长度恰好是方程的一个正根，则这条线段是（ ）
A. 线段BHB. 线段DNC. 线段CND. 线段NH
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据方程解出正根为，再判断这个数值和题目中的哪条线段接近．线段BH=0.5排除，其余三条线段可以通过设未知数找到等量关系．利用正方形的面积等于图中各个三角形的面积和，列等量关系．设DN=m，则NC=1-m，从而可以用m表示等式进行求解．
【详解】解：解方程得，
∴取正值为．
设DN=m，则NC=1-m．
由题意可知：H是BC的中点，DN=PN=m，∠APN=∠D=90°（折叠的性质），BH=CH=0.5．
在Rt△ABH中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴这条线段是线段DN．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，解一元二次方程，勾股定理等等，运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键．
二．填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 若一组数据1，2，，3，4的平均数是3，则这组数据的方差是________．
【答案】
【解析】
【分析】先由数据的平均数公式求得x，再根据方差的公式计算即可．
【详解】解：∵数据1，2，x，3，4的平均数是3，
∴ (1+2+x+3+4)÷5=3 ，
解得： x=5 ，
∴方差 S2=[(1−3)2+(2−3)2+(5−3)2+(3−3)2+(4−3)2]÷5=2
故答案为： 2 ．
【点睛】本题考查了平均数与方差，解题的关键在于明确平均数是所有数据的和除以数据的个数；方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的和的平均数．
12. 已知，化简：_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和绝对值的性质直接计算即可．
【详解】；
因为，所以，
即，
故答案为：．
【点睛】此题考查二次根式的性质和绝对值的性质，解题关键是牢记公式．
13. 实数x满足方程，则的值等于_____．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，将看作一个整体，利用因式分解法解一元二次方程，并对结果进行判断，即可解题．
【详解】解：，
，
或，
解得或，
，
，又，则该式子不成立，
，
故答案为：．
14. 工人师傅童威准备在一块长为60，宽为48的长方形花圃内修建四条宽度相等，且与各边垂直的小路．四条小路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是小路宽度的8倍．若四条小路所占面积为160．设小路的宽度为x，依题意列方程，化为一般形式为_________
【答案】16x2+108x-160=0．
【解析】
【分析】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为8x米，根据小路的横向总长度（60+8x）米和纵向总长度（48+8x）米，结合矩形的面积公式得到：（60+8x+48+8x）x=160．进行整理即可．
【详解】设小路的宽度为x米，则小正方形的边长为8x米，
依题意得：（60+8x+48+8x）x=160．
整理得：16x2+108x-160=0．
故答案为16x2+108x-160=0．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式列出方程．
15. 若方程有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则________．
【答案】
【解析】
【分析】设x2=y，原方程变为y2-5y+（4-k）=0，设此方程有实根α，β（0＜α＜β），根据根与系数的关系即可求出k的值．
【详解】设x2=y，原方程变为y2-5y+（4-k）=0，
设此方程有实根α，β（0＜α＜β），
则原方程的四个实根为±±，
由于它们在数轴上等距排列，-=-（-）
即β=9α，①又 α+β=5，αβ=4-k，
由此求得k=
且满足△=25+4k-16＞0，
∴k=．
故答案是：．
【点睛】考查了解高次方程，解题关键是用换元法求解方程．
16. 已知关于x的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线上，点在直线l下方，则的最小值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先利用根判别式得到，则或，即点Q的坐标为或，如图：当点Q在直线上，为两直线的距离，最后求出得到的最小值即可
【详解】解：∵关于x的方程
有两个相等实数根．
，
∴或，
∵点，即Q的坐标为或，
∴点Q所在的直线为或，
∵点在直线的下方，
∴点Q在直线上，如图，E，O，F三点共线，且，，为两直线的距离，

与坐标轴交于，两点，
令，，令，，
，，
，，
，
，
，
，
同理与坐标轴交于，两点，
令，，令，，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根的判别式和垂线段最短，掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解答本题的关键.
三．解答题（本题共8小题，第17--19每小题各6分；第20-21每小题各8分，第22-23每小题各10分，第24小题12分，共66分）
17. 计算：（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】化成最简二次根式，再依据二次根式的运算法则运算即可.
【详解】（1）
（2）
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）用因式分解法求出解即可；
（2）用直接开平方法求解即可．
【小问1详解】
解：
，
∴，．
【小问2详解】
解：．
∴或，
∴，．
19. 北京时间2021年12月9日15时40分，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课．为引导同学们学习天文知识、探索宇宙奥秘，学校组织了太空知识竞赛，下表是小宇同学初赛和复赛的成绩（单位：分）．
（1）小宇同学这6场比赛成绩的中位数是 分，众数是 分；
（2）在决赛现场，小宇和小航角逐冠亚军，他们在基础关、提高关、挑战关的得分如表所示（单位：分）．按照规定，决赛按照基础、提高、挑战三个环节2：3：5的比例计算最终成绩，请通过计算说明小宇和小航谁将获胜．
【答案】（1）90；90
（2）小宇获胜，见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行解答即可；
（2）根据加权平均数的计算方法计算小宇、小航的平均数即可．
【小问1详解】
解：将这6次比赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是90分，因此中位数是90分，
小宇这6场比赛成绩出现次数最多的是90分，因此众数是90分，
故答案为：90，90；
【小问2详解】
小宇获胜，理由为：
小宇的平均分为：（分），
小航的平均分为：（分），
∵85.5＞84.5，
∴小宇获胜．
【点睛】本题考查中位数、众数以及加权平均数，掌握中位数、众数以及加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
20. 饲养场准备利用现成的一堵“”字形的墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点在线段上．

（1）设的长为米，则 ______ 米；（用含的代数式表示）
（2）若围成的饲养场的面积为平方米，求饲养场的宽的长；
（3）所围成的饲养场的面积能否为平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）11米 （3）不能达到，理由见解析
【解析】
【分析】（1）据各边之间的关系，即可用含的代数式表示出的长；
（2）利用矩形面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合不超过米，即可得出饲养场的宽的长为米；
（3）不能达到，设的长为米，则米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，即不能达到．
【小问1详解】
设的长为米，则（米）．
故答案为：．
【小问2详解】
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：饲养场的宽的长为米．
【小问3详解】
不能达到，理由如下：
设的长为米，则米，
依题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根．
不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程无实数根”．
21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【答案】（1）每次下降的百分率为
（2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键．
（1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可；
（2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【小问1详解】
解：设每次下降的百分率为a，
根据题意可得：，解得：（舍）或，
答：每次下降的百分率为；
【小问2详解】
解：设每千克应涨价x元，由题意，得
，
整理，得，解得：，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
22. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根：
（2）设该方程的两个实数根为．
①求代数式：的最大值；
②若方程的一个根是6，和是一个等腰三角形的两条边，求等腰三角形的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①；②等腰三角形的周长为16或17或19或20
【解析】
【分析】（1）根据判别式的范围进行证明即可；
（2）①根据一元二次方程根与系数关系得到，，则，即可得到答案；
②把代入方程解得，分两种情况解方程分别求出原方程的解，根据等腰三角形的定义求解即可．
【小问1详解】
证明：∵
，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
①解：∵该方程的两个实数根为
∴，，
∴
，
∵，
∴，
∴代数式的最大值为；
②把代入方程得：
解得，
把代入方程得：，
∴，
∴等腰三角形的边长为5，5，6或6，6，5，
∴此等腰三角形的周长为16 或17，
把代入方程得：
∴，
∴等腰三角形的边长为6，6，7或7，7，6，
∴此等腰三角形的周长为19或20，
综上，等腰三角形的周长为16或17或19或20．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数关系、根的判别式是解题的关键．
23. 对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个 “喜鹊数”（，其中为正整数），请直接写出，b，所满足的关系式____________判断241______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”______
（2）利用（1）中“喜鹊数”中的构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求与满足的关系式：
（3）在（2）中条件下，且，求满足条件的所有的值．
【答案】（1），不是，121（答案不唯一）
（2）
（3）121，242，363，484
【解析】
【分析】（1）根据喜鹊数的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可；
（3）求出m、n互为倒数，又得出，，求出，，结合喜鹊数的定义即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵是喜鹊数，
∴，即；
∵，，，
∴241不是喜鹊数；
∵，
∴121是喜鹊数，
故答案为：，不是，121（答案不唯一）
【小问2详解】
解：∵是方程①的一个根，是方程②的一个根，
∴，，
将，两边同除以得：，
将m，看成是方程的两个根，
∵，
∴方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484；
故答案为：121，242，363，484．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义．
24. 我们定义：有一组邻边相等的四边形叫做“等邻边四边形”．

（1）已知：如图1，四边形的顶点A，B，C在网格格点上，请你在如下的的网格中画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点D在网格格点上；
（2）如图2，矩形中，，，点E在边上，连接画于点F，若，找出图中的等邻边四边形，并说明理由；
（3）如图3，在中，，D是的中点，点M是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，则的长为________．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是等邻边四边形，理由见解析
（3）或6或
【解析】
【分析】（1）根据等邻边四边形的定义画出3个不同形状的等邻边四边形；
（2）根据题意求出，根据勾股定理求出，计算得到，根据等邻边四边形的定义判断即可；
（3）分三种情况，根据勾股定理、等腰三角形的性质计算即可．
【小问1详解】
解：邻边四边形如图所示：
【小问2详解】
解：四边形是等邻边四边形，
理由如下：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是等邻边四边形；
【小问3详解】
解：如图，当时，，

如图，当时，连接，过点D作于E，

∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，当，连接，过点D作于E，

∵，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述：或6或，
故答案：4或6或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，理解“等邻边四边形”的定义，并能运用是本题的关键．场次
初赛
复赛
第一场
第二场
第三场
第四场
第一场
第二场
小宇
88
92
90
86
90
96
姓名
基础关
提高关
挑战关
小宇
80
90
85
小航
95
85
80