上海市进才中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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2024.3
一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分)
1. 若角的终边经过点，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数的定义，即可求解.
【详解】.
故答案为：
2. 已知，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】应用二倍角余弦公式求值即可.
【详解】由.
故答案为：
3. 函数的最小正周期是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦型函数的周期公式计算作答.
【详解】函数的最小正周期.
故答案为：
4. 已知一个扇形的周长是，面积为，则扇形的圆心角的弧度数是______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用扇形面积和周长公式，即可求解.
【详解】设扇形圆心角的弧度数为，半径为，
由题意知
故答案为：
5. 记，那么______.（用表示）
【答案】
【解析】
分析】利用诱导公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】.
故答案为：
6. 函数的定义域是_________
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式，列出解析式成立的条件，即可求得函数的定义域．
【详解】由题意知，，
即，
所以的定义域为：
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，根据函数的解析式列出满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
7. 若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用辅助角公式，即可求解.
【详解】
则.
故答案为：
8. 已知函数为奇函数，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质，即可求解.
【详解】由奇函数的性质，可知得.经检验满足题意
故答案为：
9. 在中，已知，，，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据余弦定理求得边长，再利用面积公式即可得解.
【详解】根据题意可得，
利用余弦定理可得，
可得，
解得或（舍），
的面积.
故答案为：.
10. 函数单调减区间为_________
【答案】
【解析】
【分析】先求出函数的单调递减区间，再将区间与定义域取交集可得出答案．
【详解】正弦函数的单调递减区间为，
由，得，
记，则，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查复合型正弦函数的单调区间的求解，并且限制了定义域，这种问题首先应求出这个函数在上的单调区间，再将所得区间与定义域取交集即可求解，考查计算能力以及三角函数基本性质的应用，属于中等题．
11. 对于，若存在，满足，则称为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为________.
【答案】##
【解析】
【分析】由于因为，得， 分为锐角三角形，是钝角三角形，不妨设钝角为，两种情况，根据诱导公式解决即可.
【详解】因为，所以，
所以为锐角三角形，
若也是锐角三角形，由，得，
三式相加，得（与三角形内角和定理矛盾），所以假设不成立，
所以是钝角三角形，不妨设钝角为，
则，得，
三式相加得
又因为，
所以．
故答案为：
12. 将边长的矩形按如图所示的方式折叠，折痕过点，折叠后点落在边上，记，则折痕长度______.（用表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，先确定折叠后的不变量，再设，由角度关系可得，进而利用三角函数的定义求出，从而可得.
【详解】因为折叠后点落在上为点
又，则设，则，
又，
，
且.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）
13. 下列命题中正确的是（ ）
A. 终边相同的角一定相等；
B. 1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角；
C. ；
D. 锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的相关概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，终边相同的角不一定相等，故A选项错误；
对于B选项，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角为1弧度，故B选项错误；
对于C选项，由于，是第三象限角，故；
对于D选项，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．正确.
故选：D
14. 函数的零点所在区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解析式判断函数在定义域上的连续性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.
【详解】由题设，是定义域在上连续不断的递增函数,
又，，
由零点存在定理可知,零点所在区间为.
故选:.
15. “”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先考查充分性，再考虑必要性得解.
【详解】当时，，但是当时，分母为零，没有意义.
所以“”是“”的非充分条件；
当时，.
所以，
所以“”是“”的必要条件.
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选B
【点睛】本题主要考查三角函数的定义域和三角恒等变换，考查充分必要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
16. 关于函数，有以下结论：
①函数，均为偶函数；②函数，均为周期函数；
③函数，定义域均为；④函数，值域均为．
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】易得两函数的定义域都是，即可判断③；根据偶函数的定义即可判断②；根据正余弦函数的周期性即可判断③；根据正余弦函数的值域及单调性即可判断④.
【详解】函数，的定义域都是，关于原点对称，故③错误；
因为，
所以函数为偶函数，
因为，
所以函数为偶函数，故①正确；
因为，
所以是以为周期的周期函数，
因为，
所以是以为周期的周期函数，故②正确；
因为，所以，即，
因为，所以，即，故④错误，
所以正确的个数有个.
故选：B
三、解答题 (本大题满分52分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为
（1）求的值； （2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.
由条件得csα＝，csβ＝.
∵ α，β为锐角，
∴ sinα＝＝，sinβ＝＝.
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝.
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2) ∵ tan2β＝＝＝，
∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1.
∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝
18. 已知，求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知信息利用可得，将式子转化成含的表达式即可求得结果；（2）根据（1）利用诱导公式化简即可求得结果.
【小问1详解】
由可得
即，
所以
得
【小问2详解】
利用诱导公式将原式化简得
19. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若对任意都有，求实数t的取值范围．
【答案】（1）单增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由整体法求增区间；
（2）由题设知，结合给定闭区间列不等式求参数范围.
【小问1详解】
由，
令，则，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
由，则，故，
又，则，所以，即.
20. 已知三个内角所对的边分别为
（1）若，求的面积；
（2）设线段的中点为，若，求外接圆半径的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题知，进而根据余弦定理，结合已知得，，再根据三角形面积公式计算即可；
（2）在中由余弦定理得，进而在中，，再根据正弦定理求解即可.
【小问1详解】
解：因为，所以，
因为，
所以，
因，所以，
所以的面积为.
【小问2详解】
解：因为线段的中点为，，，
所以在中，由，解得（舍），
所以在中，，即，
因为，所以，
所以由正弦定理得外接圆半径满足，
所以外接圆半径
21. 已知函数，．若对于给定的非零常数，存在非零常数，使得对于恒成立，则称函数是上的“级类周期函数”，周期为．
（1）已知是上的周期为1的“2级类周期函数”，且当时，．求的值；
（2）在（1）条件下，若对任意，都有，求实数的取值范围；
（3）是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，代入求解即可；
（2）画出的图象，数形结合得到实数的取值范围；
（3）由题意得到，分或，两种情况，得到对应的值.
【小问1详解】
，且当时，，
故；
【小问2详解】
，当时，，
……，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
……，
画出的图象如下：
设当时，，即，
解得或，
因为，所以，
对任意，都有，故
故实数的取值范围是，
小问3详解】
假设存在非零实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，
即，，
因为的值域为，而，
故，解得或，
当时，，故，
当时，，故，
综上，或.
【点睛】方法点睛：函数新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括奇偶性，单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决.