广东省惠州市博罗县博罗中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题
1. 函数导数=（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 设是函数导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知函数在处取得极小值1，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 函数的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若函数单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是定义域为的偶函数，且在上单调递减，，则（ ）
A. B.
C D.
二、多选题
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，下列命题正确的是（ ）
A. 若是函数的极值点，则
B. 若，则在上的最小值为0
C. 若在上单调递减，则
D. 若在上恒成立，则
11. 定义：设 是 的导函数，是函数 的导数，若方程有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心． 已知函数 的对称中心为 ，则下列说法中正确的有（ ）
A. B. 函数 既有极大值又有极小值
C. 函数 有三个零点D. 对任意 ，都有
三、填空题
12. 曲线在处切线倾斜角为__________．
13. 若函数的极大值为11，则的极小值为____________．
14. 若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是______．
四、解答题
15. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的极值.
16. 如图，三棱柱侧棱与底面垂直，，点是的中点.
（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求.
18. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得.现有两种铺设方案:①沿线段AB在水下铺设；②在岸MN上选一点P，设，，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km、4万元/km.
（1）求A、B两点间的距离；
（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由.
19. 已知函数．
（1）当时，求的极值．
（2）讨论的单调性；
（3）若，证明：．