中职数学高教版（2021·十四五）基础模块 下册第6章 直线与圆的方程6.3 两条直线的位置关系优秀习题

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1. 两条直线平行与垂直的判定
(1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．
(2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．
2. 两直线相交
交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解;
平行⇔方程组无解;
重合⇔方程组中的两个方程可以化成同一个方程.
3.点到直线的距离：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
4.平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
注意：
1.应用点到直线的距离公式时,直线的方程必须是一般式.
2.两平行线的距离公式中,两直线方程的一般式中x、y的系数必须对应相等.
3.直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1．
4.直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0.
【题型1 两条直线平行与垂直的判定】
【题型2 两条直线的交点】
【题型3 点到直线的距离】
【题型4 两平行直线间的距离】
【题型1 两条直线平行与垂直的判定】
知识点：利用斜率关系判断
对于不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2.
特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2；
当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
例1. 两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（ ）
A．垂直B．斜交C．平行D．重合
【答案】A
【分析】利用根与系数的关系得，得到答案.
【详解】设两直线的斜率分别为，是方程的两根，
，利用根与系数的关系得：，故两直线的位置关系是垂直．
故选：.
例2. 判断下列各组中的直线与是否平行或垂直：
(1)，；
(2)，；
(3)，.
【答案】(1)不平行也不垂直
(2)平行
(3)不平行也不垂直
【分析】先判断直线是否存在斜率，若不存在，则易判断两直线位置关系；若不存在，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为-1，斜率相等时注意是否重合即可.
【详解】（1）由题意得：，故即不平行也不垂直；
（2）由题意得：且，故平行；
（3）因为，所以重合，即即不平行也不垂直.
例3. 已知直线的倾斜角为，直线，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由两直线平行，斜率相等，即可得到结果.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以，
又，所以.
故答案为：
例4. 已知直线过，且，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】根据两点坐标求直线的斜率，结合两直线的位置关系即可求解.
【详解】设直线斜率为，直线斜率为，
因为直线过，，
所以斜率为，
因为，所以，
所以，即直线的斜率为.
故答案为：.
例5.列说法中，正确的有（ ）
①斜率均不存在的两条直线可能重合；
②若直线，则这两条直线的斜率互为负倒数；
③两条直线的斜率互为负倒数，则这两条直线垂直；
④两条直线中，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】利用直线垂直的充要条件，判断各说法是否正确.
【详解】斜率均不存在的两条直线，倾斜角都为，可能重合，说法①正确；
若直线，可能一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，说法②错误；
两条直线的斜率互为负倒数，是两条直线垂直的充分条件，说法③正确；
两条直线中，一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线一条倾斜角为，另一条倾斜角为，有，说法④正确.
正确说法有3个.
故选：C.
例6.过点与直线平行的直线的一般式方程为 ．
【答案】
【分析】设所求直线的一般式方程为，将代入得到的值即得结果.
【详解】设所求直线的一般式方程为．
将点的坐标代入所求直线方程可得，解得，
故所求直线的一般式方程为．
故答案为：.
【题型训练1】
1．判断下列各组中的直线与是否平行或垂直：
(1)；
(2) ；
(3)的斜率为，经过点；
(4)经过点，经过点.
【答案】(1)平行
(2)重合
(3)垂直
(4)垂直
【分析】（1）由直线平行的充要条件证明即可.
（2）由直线重合的充要条件证明即可.
（3）由直线垂直的充要条件证明即可.
（4）由直线垂直的充要条件证明即可.
【详解】（1）因为，而，所以.
（2）因为，而，所以重合.
（3）直线的斜率，直线的斜率，，故.
（4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故.
2.直线，，若，则实数a的值为 .
【答案】2
【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得a的值．
【详解】因为直线，，且，
所以，解得，
故答案为：．
3.两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（ ）
A．平行B．相交且垂直C．重合D．相交且不垂直
【答案】B
【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．
【详解】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．
故选：B．
4.线与直线平行，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得，经检验符合题意.
故选：D
5.（多选）为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ）
A．若斜率相等，则平行
B．若平行，则的斜率相等
C．若的斜率乘积等于，则垂直
D．若垂直，则的斜率乘积等于．
【答案】AC
【分析】利用两直线平行或垂直与斜率之间的关系逐项判断即可得出结论.
【详解】根据两直线的位置关系可知若斜率相等，则平行；
若平行，当都与轴平行时，的斜率不存在，即可得A正确，B错误；
易知若的斜率乘积等于，则垂直；
若垂直,当与轴平行，与轴平行时，直线的斜率为，的斜率不存在，即可得C正确，D错误；
故选：AC
6.（1）求过点，且与直线平行的直线方程；
（2）求过点，且与直线垂直的直线方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据题意，设所求直线方程为，再将点的坐标代入即可；
（2）根据题意，设所求直线方程为，再将点的坐标代入即可.
【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，
将点代入，可得，
则所求直线方程为.
（2）设与直线垂直的直线方程为，
将点代入，可得，
则所求直线方程为.
【题型2 两条直线的交点】
知识点：两直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可.
例7. 直线与直线的交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】两个方程的联立，加减消元法计算即可.
【详解】……①
……②
①+②得：……③
③代入②有：……④
由③④得交点坐标为：.
故选：B.
例8. 已知直线与直线互相垂直，则它们的交点坐标为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据垂直关系求解出的值，然后联立直线方程可求交点坐标.
【详解】因为与互相垂直，
所以，所以，
所以，解得，
所以交点坐标为，
故选：B.
例9. 经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可.
【详解】由题知：，解得：，交点.
直线的斜率为，所求直线斜率为.
所求直线为：，即.
故选：B.
例10. 判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标.
(1)，；
(2)，.
【答案】(1)相交，
(2)重合
【分析】（1）联立方程求出交点坐标；
（2）化简得到，可得两直线重合.
【详解】（1）解方程组，得，
所以这两条直线相交，交点坐标是.
（2）由化为方程可知，
所以有无数多个解，
故与重合，
例11. 已知直线，直线．
(1)求直线与的交点坐标；
(2)求过点且平行于的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过解二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据平行线的方程的特征进行求解即可.
【详解】（1）两条直线方程联立，得；
（2）设平行于的直线方程为，
因为直线过，
所以，
所以过点且平行于的直线方程为
【题型训练2】
1．直线与的交点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】联立方程组可解得答案.
【详解】联立方程组，解得，
所以两直线的交点坐标为.
故选：B.
2．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝ .
【答案】
【分析】根据两直线垂直得到的值，根据点在直线得到的值.
【详解】由两直线垂直得，解得.
又点在直线上，所以，
所以.
故答案为：
3. 求过两直线和的交点且过点的直线方程为 ．
【答案】
【详解】求出两直线和的交点，再用两点式方程求出直线方程.
【分析】由得
所以直线过点(2,5)和(1,1)，
∴所求的直线方程为，即：．
故答案为：．
4.分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)相交，交点为；
(2)重合；
(3)平行.
【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系；
（2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系.
【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交.
（2）由，显然，即方程无解，故与重合.
（3）由，显然，即方程无解，故与平行.
5.直线经过两直线和的交点．
(1)若直线与直线平行，求直线的方程；
(2)若直线与直线垂直，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）与直线平行且经过定点的直线可设为，由题意直线过两直线和的交点，故只需联立方程组将交点坐标求出即可.
（2）与直线垂直且经过定点的直线可设为，再结合（1）中的定点即可得解.
【详解】（1）由题意联立，解得，即直线过点，
若直线与直线平行，
则直线的方程为，整理得.
（2）由（1）可得直线过点，若直线与直线垂直，
则直线的方程为，整理得.
【题型3 点到直线的距离】
知识点：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
例12. 点到直线的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】由点到直线的距离公式计算即可得.
【详解】.
故选：D.
例13. 已知到直线的距离等于3，则a的值为 .
【答案】或
【分析】由距离公式，解方程得出a的值.
【详解】由距离公式可得，，
即，解得或.
故答案为：或.
例14. 已知点到直线的距离相等，则（ ）
A．－1或0B．C．－1D．2
【答案】C
【分析】根据点到直线距离公式直接求解.
【详解】根据点到直线距离公式和已知可得，解得.
故选：C
例15. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．
(1)求边上的高所在的直线方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直线BC的斜率，可得边上高所在直线斜率，利用点斜式即可得出边上的高所在的直线方程．
（2）先求得BC的方程为，求得点A到直线的距离和，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得直线BC的斜率，则BC边上高所在直线斜率，
又由点,则边上的高所在的直线方程为，即．
（2）解：由点，可得，
所以的方程为，即，
则到直线BC的距离，
且，
所以的面积．
【题型训练3】
1．点到直线的距离为 ．
【答案】1
【分析】直接利用点到直线的距离公式计算得到答案.
【详解】点到直线的距离为.
故答案为：.
2．已知点到直线的距离为1，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
【详解】由点 到直线 的距离为1，
可得，解得，
又因为，所以.
故选：C.
3.已知，两点到直线：的距离相等，则（ ）
A．B．6C．或4D．4或6
【答案】D
【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可.
【详解】点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
因为点到直线的距离和点到直线的距离相等，
所以，所以或.
故选：D.
4．已知的顶点，，.
(1)求边所在直线的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）求出直线的斜率，直接利用点斜式化简即可；
（2）求出点A到直线的距离和，再结合三角形面积公式即可得结果.
【详解】（1）直线的斜率，
由直线方程的点斜式可得，
化简可得.
（2）点到直线的距离，
且，
则.
【题型4 两平行直线间的距离】
知识点：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
例16. 两条平行直线与间的距离为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得.
【详解】直线化为：，
所以平行直线与间的距离为.
故选：D
例17. 已知直线与直线间的距离为2，则（ ）
A．或4B．4C．或6D．或16
【答案】D
【分析】利用平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以，
因为直线与直线间的距离为2，
所以，解得或.
故选：D.
例18. 到直线的距离为1的直线方程为（ ）
A．B．或
C．或D．或
【答案】B
【分析】设所求的直线方程为，根据平行线间距离公式列方程即可求出，得出答案.
【详解】设所求的直线方程为，
由题意得，解得或，
所以所求直线方程为或.
故选：B
例19. 已知,则它们的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项.
【详解】因为，所以，故，故.
故之间的距离为，
故选：D.
【题型训练4】
1.两平行直线和间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平行线间的距离公式计算即可.
【详解】直线，即，
则平行线间距离．
故选：B.
2.已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 .
【答案】或2
【分析】根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】直线，，
所以两平行线间的距离为，解得或，
故答案为：2或
3.（多选）下列直线与直线平行，且与它的距离为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】设出直线方程，根据两平行线间距离公式得到方程，求出答案.
【详解】设所求直线的方程为，由题意可得，
解得或，
故所求直线的方程为或.
故选：BC
4．两条平行线，间的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由题意知：，：，即，
因为两直线平行，所以距离为，故A正确.
故选：A.
5.直线过点且与直线平行，则直线和之间的距离是 .
【答案】/
【分析】利用两直线的平行关系先求，再由平行线的距离公式计算即可.
【详解】由题意不妨设，则，解得，
所以，
所以两平行线和之间的距离.
故答案为：.
l1∥l2
k1=k2
l1⊥l2
k1·k2=-1