中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册第5章 复数精品导学案

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知识点一：复数的概念和意义
1．复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是eq \a\vs4\al(a)，虚部是eq \a\vs4\al(b).
(2)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
(3)表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．
(4)复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
注意：复数概念说明：
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的实部是a，虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
2．复数的分类
对于复数a＋bi，
(1)当且仅当b＝0时，它是实数；
(2)当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
(3)当b≠0时，叫做虚数；
(4)当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数=实数b=0 虚数(b≠0)(当a=0时为纯虚数).
注意：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3．复数相等
在复数集C＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a＋bi|a，b∈R))中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我们规定：两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等。
4．复数的几何意义
(1)复平面 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
①轴——实轴 ②轴——虚轴 ③实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
(2)复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
(3)复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
(4)复数的模
向量的模叫做复数)的模，记为或
公式：，其中
复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；
特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
(5)共轭复数
①定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.
②表示方法
复数的共轭复数用表示，即如果，则.
知识点二：复数的运算
1．复数代数形式的加法运算及其几何意义
(1)复数的加法法则
设，，（）是任意两个复数，那么它们的和：
，显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数.
(2)复数加法满足的运算律
对任意，有
交换律：
结合律：
(3)复数加法的几何意义
如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即：，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行.
2．复数代数形式的减法运算及其几何意义
(1)复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
(2)复数减法的几何意义
复数 向量
3．复数代数形式的乘法运算
(1)复数的乘法法则
我们规定，复数乘法法则如下： 设,是任意两个复数，那么它们的乘积为
，
即
(2)复数乘法满足的运算律
复数乘法的交换律、结合律、分配律
(交换律)
(结合律)
(分配律)
4．复数代数形式的除法运算
(1)定义
规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足（，）的复数叫做复数除以复数的商，记作或
(2)复数的除法法则
（）
由此可见，两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数.
知识点三：实系数一元二次方程的解法
1．根的判定
当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程，
(1)当4=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；
(2)当4=b2- 4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
(3)当=b2- 4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根.
2．根与系数的关系
如果x1，x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的解，那么x1＋x2=--ba，x1x2=ca，
3．在复数范围内，实数系方程ax2+bx+c=0的求解方法
(1)求根公式法
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①∆≥0时，x=-b±b2-4ac2a
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②∆<0时，x=-b±-（b2-4ac）i22a
(2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m＋ni（m，n∈R），将此代入方程 ax²＋bx＋c=0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解.
考点一 复数的概念和意义
1．下列说法正确的是（ ）
A．表示虚数单位，所以它不是一个虚数
B．的平方根是
C．是纯虚数
D．若，则复数没有虚部
【答案】B
【解析】A： 表示虚数单位，也是一个虚数，故A错误；
B： 由，可知的平方根是，故B正确；
C： 当是实数，故C错误；
D： 若，则复数虚部为0，故D错误；
故选：B
2．若复数，为虚数单位，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【解析】因为，所以，故选：C.
3．下列的取值中，使=1(是虚数单位）的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为,故选C.
4． 若，是虚数单位，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，，即，，所以．
故选：D．
5．若复数满足，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，则z的虚部6，故选：D.
6．已知复数 的实部和虚部分别为 和 4， 则实数 和 的值分别是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，复数 的实部和虚部分别为 和 4，因此，解得，
所以实数 和 的值分别是，故选：D.
7．已知复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为在复平面内对应的点在第四象限，所以，解得，故选：D.
8．已知复数满足，且的共轭复数为，则（ ）
A．B．2C．4D．3
【答案】B
【解析】因为，所以，所以．故选：B.
9．在复平面内，点对应的复数为（为虚数单位），且向量 ，则点对应复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，由题意知，则由可得，则，即，则点对应复数为，故选：A.
10．已知为虚数单位，若复数是纯虚数，则______．
【答案】
【解析】因为为纯虚数，则且，所以，所以，故答案为：.
考点二 复数的运算
11．化简下列复数
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）.
（2）.
12．在复平面内，复数，，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】因为z＝z1＋z2＝＋＝－2＋i，所以实部小于0，虚部大于0，故复数z对应的点位于第二象限，故选：B.
13．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设，则．由得，则，所以，，所以．故选：B.
14．（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，故选：D．
15．设，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】设，则，所以，，故，，则，因此，复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D.
16．在复平面内，复数对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】 在复平面内对应的点在第三象限，, 即 ， 实数 的取值范围是 ，故选：A.
17．已知复数z满足，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【解析】由，得，所以，故选：A.
18．若复数满足，其中是虚数单位，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，故，故选：A.
19．若,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,则,所以，故选:A.
20．已知复数的实部与虚部的和为12，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由复数的乘法运算可知，，因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，，故选：B.
考点三 实系数一元二次方程的解法
21．已知，为实数，是关于的方程的一个根，其中是虚数单位，则 ．
【答案】0
【解析】是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，
则，即，，，故答案为：0.
22．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝ ．
【答案】19
【解析】因为是关于x的方程的一个根，所以是方程的另一个根，
所以，解得，所以，故答案为：19.
23．若实系数方程的一个根是，则__________．
【答案】1
【解析】因为关于的实系数方程的一个根是，所以另一个根为，根据韦达定理可得，所以，又，所以，所以，故答案为：.
24．已知是关于的方程的一个根，则实数 ．
【答案】12
【解析】设方程的另一个根为，由根与系数的关系：，故答案为：12.