2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之等腰三角形的性质

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A．15°B．25°C．35°D．45°
2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE的大小为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．已知等腰三角形一个角的度数是50°，则该等腰三角形底角的度数为（ ）
A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°
4．已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20°B．120°C．20°或120°D．36°
5．已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（ ）
A．10B．11C．12D．10或11
二．填空题（共5小题）
6．等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为 ．
7．等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角的度数为 ．
8．△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，底角∠B的度数为 ．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC＝16cm，则△BCE的周长是 cm．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
12．如图，在△ABC中，CA＝CB，D为BC边上一点，过点D作FD⊥BC于点D，作DE⊥AB于点E，若∠EDF＝65°，求∠AFD的度数．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA．
（1）求∠A的度数；
（2）若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，∠A＝40°，求∠DBC的度数．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之等腰三角形的性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，若∠C＝65°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15°B．25°C．35°D．45°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】先由等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝65°，再结合题意和三角形的内角和定理得到∠BAD＝25°．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，
∴∠C＝∠B＝65°，
∵D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣65°＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和是解答本题的关键．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，则∠ADE的大小为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝40°，∠ADB＝90°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠B＝∠C＝40°，
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝70°，
∴∠ADE＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键．
3．已知等腰三角形一个角的度数是50°，则该等腰三角形底角的度数为（ ）
A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由于不明确50°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分50°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【解答】解：分两种情况：
①当50°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数＝（180°﹣50°）÷2＝65°；
②当50°的角为等腰三角形的底角时，其底角为50°，
故它的底角度数是50°或65°．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意50°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．
4．已知一个等腰三角形有两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20°B．120°C．20°或120°D．36°
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】C
【分析】本题难度中等，考查等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．
【解答】解：设两内角的度数为x、4x；
当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x＝180°，x＝20°；
当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x＝180°，x＝30°，4x＝120°；
因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，知道20°或120°都有做顶角的可能是解题的关键．
5．已知等腰三角形两边的长x、y满足|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，则三角形周长为（ ）
A．10B．11C．12D．10或11
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可得x2﹣9＝0，y﹣4＝0，从而可得：x＝±3，y＝4，进而可得x＝3，y＝4，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时；当当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，分别进行计算即可解答．
【解答】解：∵|x2﹣9|+（y﹣4）2＝0，
∴x2﹣9＝0，y﹣4＝0，
解得：x＝±3，y＝4，
∵x、y是等腰三角形的两边长，
∴x＝3，y＝4，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，
∴这个三角形的周长＝3+3+4＝10；
当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，
∴这个三角形的周长＝3+4+4＝11；
综上所述：三角形的周长为10或11，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值和偶次方的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为 22 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解答】解：分两种情况：
①当4为底边长，9为腰长时，4+9＞9，
∴三角形的周长＝4+9+9＝22；
②当9为底边长，4为腰长时，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形；
∴这个三角形的周长是22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；熟练掌握等腰三角形的性质，通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键．
7．等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角的度数为 40° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°；
②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去．
故答案为：40°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．
8．△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，底角∠B的度数为 70°或20° ．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】当△ABC为锐角三角形时，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，先求得∠A，再由三角形内角和定理可求得∠B；同理，当△ABC为钝角三角形时，可求得∠DAB的度数，再利用等腰三角形和三角形外角的性质可知，由此可解．
【解答】解：分两种情况：
当△ABC为锐角三角形时，
如图1，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，
∵∠ADE＝50°，DE⊥AB，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴；
当△ABC为钝角三角形时，
如图2，设AB的垂直平分线交线段AC于点D，交AB于点E，
∵∠ADE＝50°，DE⊥AB，
∴∠DAB＝90°﹣50°＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B+∠C＝∠DAB，
∴；
综上可知∠B的度数为70°或20°，
故答案为：70°或20°．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，以及三角形外角的性质，注意分类讨论是解题的关键，否则就会漏解．
9．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC＝16cm，则△BCE的周长是 16 cm．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】16．
【分析】由题意知AE＝BE，根据△BCE的周长为BE+CE+BC＝AB+BC，计算求解即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴△BCE的周长为BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝AB+BC＝16（cm），
故答案为：16．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质．熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 4或6 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定．
【专题】动点型．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可．
【解答】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等，
∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点，
∴BD＝12厘米，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，
即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，
解得：x＝1或x＝2，
x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4；
x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6；
即点Q的运动速度是4或6，
故答案为：4或6
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的内角和定理与∠C＝∠ABC＝2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是此题主要是三角形内角和定理的运用．三角形的内角和是180°．
12．如图，在△ABC中，CA＝CB，D为BC边上一点，过点D作FD⊥BC于点D，作DE⊥AB于点E，若∠EDF＝65°，求∠AFD的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】140°．
【分析】先由FD⊥BC，DE⊥AB，得∠FDC＝90°，∠DFB＝90° 再根据平角的定义求出∠BDE＝25°，则∠A＝∠B＝65°，进而得∠C＝50°，则∠CFD＝40°，然后根据平角的定义可求出∠AFD的度数．
【解答】解：∵FD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC＝90°，∠DFB＝90°
∵∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，且∠EDF＝65°，
∴∠BDE＝180°﹣（∠EDF+∠FDC）＝180°﹣（65°+90°）＝25°
∴∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣25°＝65°，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝65°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（65°+65°）＝50°，
∴∠CFD＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°，
∴∠AFD＝180°﹣∠CFD＝180°﹣40°＝140°．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，平角的定义，三角形的内角和定理等，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用垂直的定义，平角的定义及三角形的内角和定理进行角度的计算是解决问题的关键．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA．
（1）求∠A的度数；
（2）若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵EA＝EC，
∴设∠A＝∠2＝x，
∵EC 平分∠ACB，
∴∠ACB＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2x，
在△ABC 中，∴x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°；
（2）∵∠A＝∠2，
∴∠2＝36°，
∵BD⊥AC，
∴∠DFC＝90°﹣36°＝54°，
∴∠1＝∠DFC＝54°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC．
（1）求证：AD⊥BC．
（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接AE，根据垂直平分线的性质，可知BE＝AE＝AC，根据等腰三角形三线合一即可知AD⊥BC
（2）设∠B＝x°，由（1）可知∠BAE＝∠B＝x°，然后根据三角形ABC的内角和为180°列出方程即可求出x的值．
【解答】解：（1）连接AE，
∵EF垂直平分AB
∴AE＝BE
∵BE＝AC
∴AE＝AC
∵D是EC的中点
∴AD⊥BC
（2）设∠B＝x°
∵AE＝BE
∴∠BAE＝∠B＝x°
∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°
∵AE＝AC
∴∠C＝∠AEC＝2x°
在三角形ABC中，3x°+75°＝180°
x°＝35°
∴∠B＝35°
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，本题属于中等题型．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，∠A＝40°，求∠DBC的度数．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【答案】30°．
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，利用等腰三角形的性质，即可求得∠ABC的度数，根据线段垂直平分线的性质，可求得AD＝BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得∠DBC的度数．
【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C（180°﹣40°）＝70°，
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
【点评】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
考点卡片
1．非负数的性质：绝对值
在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
4．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
5．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
6．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
7．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 16:45:00；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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