2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之反证法

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之反证法，共14页。试卷主要包含了反证法证明命题，牛顿曾说过等内容，欢迎下载使用。
1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60°
B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60°
D．每一个内角都大于60°
2．反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设（ ）
A．AB＝ACB．∠B＝∠CC．AB＞ACD．AB＜AC
3．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个
步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B＞90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C＞90°，即∠B+∠C＞180°
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
4．用反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，应假设（ ）
A．a＞3B．a≥3C．a2≥9D．a2＞9
5．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（ ）
A．a＞bB．a＝bC．a≤bD．a≥b
6．用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A．a，b都小于0B．a，b不都小于0
C．a，b都不小于0D．a，b都大于0
7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（ ）
A．a∥bB．c∥bC．a与b相交D．a与c相交
8．用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设（ ）
A．a不平行于bB．a平行于b
C．a不垂直于cD．b不垂直于c
9．用反证法证明“若a＜|a|，则a为负数”应先假设（ ）
A．a为非负数B．a为正数C．a为整数D．a为负数
10．若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设（ ）
A．B．C．D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，两条直线m、n被直线l所截，已知∠1≠∠2．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为 ．
12．用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设 ．
13．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设： ．
14．已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于，应先假设 ．
15．用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设 ．
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之反证法
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中（ ）
A．有一个内角小于60°
B．有一个内角大于60°
C．每一个内角都小于60°
D．每一个内角都大于60°
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】C
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
2．反证法证明命题：“在△ABC中，若∠B≠∠C，则AB≠AC”应先假设（ ）
A．AB＝ACB．∠B＝∠CC．AB＞ACD．AB＜AC
【考点】反证法．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】A
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在△ABC中，∠B≠∠C，那么AB≠AC”的过程中，
第一步应是假设AB＝AC．
故选：A．
【点评】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
3．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个
步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B＞90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C＞90°，即∠B+∠C＞180°
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②B．③④②①C．①②③④D．③④①②
【考点】反证法；等腰三角形的性质．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反证法的一般步骤判断即可．
【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B＞90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C＞90°，即∠B+∠C＞180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
4．用反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，应假设（ ）
A．a＞3B．a≥3C．a2≥9D．a2＞9
【考点】反证法．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】C
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，a2＜9的反面是a2≥9解答．
【解答】解：反证法证明命题“若|a|＜3，则a2＜9”时，
应假设a2≥9，
故选：C．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
5．用反证法证明，“在△ABC中，∠A、∠B对边是a、b．若∠A＜∠B，则a＜b．”第一步应假设（ ）
A．a＞bB．a＝bC．a≤bD．a≥b
【考点】反证法．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】D
【分析】熟记反证法的步骤，直接选择即可．
【解答】解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设a＜b不成立，即a≥b．
故选：D．
【点评】本题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．用反证法证明“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0．”时，第一步应假设（ ）
A．a，b都小于0B．a，b不都小于0
C．a，b都不小于0D．a，b都大于0
【考点】反证法；有理数的加法．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【解答】解：“若a+b≥0，则a，b至少有一个不小于0”第一步应假设：a，b都小于0．
故选：A．
【点评】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设（ ）
A．a∥bB．c∥bC．a与b相交D．a与c相交
【考点】反证法；垂线；平行线的判定．
【专题】反证法；线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：反证法证明命题“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，
首先应假设a与c不平行，即a与c相交．
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
8．用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设（ ）
A．a不平行于bB．a平行于b
C．a不垂直于cD．b不垂直于c
【考点】反证法；垂线；平行线的判定．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，a∥b的反面是a不平行于b．
【解答】解：用反证法证明命题“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，第一步应假设a不平行于b，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．用反证法证明“若a＜|a|，则a为负数”应先假设（ ）
A．a为非负数B．a为正数C．a为整数D．a为负数
【考点】反证法；正数和负数；有理数；绝对值．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】A
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
【解答】解：用反证法证明“若a＜|a|，则a为负数”应先假设a为非负数，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
10．若要运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设（ ）
A．B．C．D．
【考点】反证法；实数大小比较．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】A
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是a＞b的反面有多种情况，应一一否定．
【解答】解：运用反证法证明“若a＞b＞0，则”，首先应该假设，
故选：A．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：假设结论不成立、从假设出发推出矛盾、假设不成立，则结论成立．
二．填空题（共5小题）
11．如图，两条直线m、n被直线l所截，已知∠1≠∠2．求证：m与n不平行．用反证法证明时，假设为 m∥n ．
【考点】反证法；平行线的判定．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】m∥n．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，m与n不平行的反面是m∥n．
【解答】解：求证：m与n不平行．
用反证法证明时，先假设m∥n，
故答案为：m∥n．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12．用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设 一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角 ．
【考点】反证法；三角形内角和定理．
【专题】反证法；推理能力．
【答案】一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行解答．
【解答】解：用反证法证明“三角形中至多有一个钝角”时，应先假设一个三角形的三个内角中，有两个或三个钝角，即一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．
故答案为：一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角．
【点评】本题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，不需要一一否定，只需否定其一即可．
13．用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设： 两直线平行，同位角不相等 ．
【考点】反证法．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】两直线平行，同位角不相等．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【解答】解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：两直线平行，同位角不相等，
故答案为：两直线平行，同位角不相等．
【点评】本题考查的是反证法的应用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
14．已知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于，应先假设 这五个数都小于 ．
【考点】反证法．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
【解答】解：知五个正数的和等于1．用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于应先假设这五个数都小于，
故答案为：这五个数都小于
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
15．用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设 在一个三角形中，可以有两个内角为钝角 ．
【考点】反证法．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，从而得出结论．
【解答】解：用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，应假设“在一个三角形中，可以有两个内角为钝角”．
故答案为：在一个三角形中，可以有两个内角为钝角．
【点评】本题考查了用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口．
考点卡片
1．正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
2．有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数．
2、有理数的分类：
①按整数、分数的关系分类：有理数；
②按正数、负数与0的关系分类：有理数．
注意：如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数．
3．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
4．有理数的加法
（1）有理数加法法则：
①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．
②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．
③一个数同0相加，仍得这个数．
（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）
（2）相关运算律
交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．
5．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
6．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
7．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
8．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
9．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
10．反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 16:52:23；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

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