2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之含30°角的直角三角形

这是一份2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之含30°角的直角三角形，共23页。

A．6米B．9米C．12米D．15米
2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD的长度为（ ）
A．4B．5C．6D．7.5
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（ ）
A．4B．5C．6D．8
5．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二．填空题（共5小题）
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果BD＝2，那么DE＝ ．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4．则BD＝ ．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD＝6，则AC的长为 ．
9．如图，已知∠ABC＝60°，DB＝24，DE＝DF，若EF＝4，则BE＝ ．
10．如图，等边△ABC的边长为6，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC于E，过点E作EF⊥AC于F，若DE＝EF，则AD＝ ．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝2，求BC的长．
12．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DF的长．
13．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
15．同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．
已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BCAB．
法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC＝BD，连接CD．
法二：如图2，延长BC到D，使得BC＝CD，连接AD．
你选择方法
证明：
2023—2024学年下学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之含30°角的直角三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）
A．6米B．9米C．12米D．15米
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
【解答】解：如图，根据题意BC＝3米，
∵∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×3＝6（米），
∴3+6＝9（米）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
2．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，DE为AB的中垂线，AD＝12，则CD的长是（ ）
A．3B．4C．6D．8
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠A＝30°，AD＝12，DE垂直平分AB，
∴DE＝6，DA＝DB，
∴∠DBE＝∠A＝30°，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∴∠DBE＝∠DBC＝30°，
∴BD平分∠CBE，
∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝6，
故答案为：6，
故选：C．
【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质解答．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝2，则BD的长度为（ ）
A．4B．5C．6D．7.5
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∴AB＝2AC＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质，关键是三角形内角和定理的应用，
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（ ）
A．4B．5C．6D．8
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形性质求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，求出AD＝DC＝2，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案．
【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∵AD＝2，
∴BD＝2AD＝4，
∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝DC＝2，
∴BC＝BD+DC＝4+2＝6，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出BD和DC的长．
5．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【考点】含30度角的直角三角形．
【答案】A
【分析】先根据∠ACB为直角，∠A＝30°，求出∠B的度数，再根据CD⊥AB于D，求出∠DCB＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可直接求出答案．
【解答】解：∵∠ACB为直角，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠DCB＝90°﹣∠B＝30°
∴AB＝2BC，BC＝2BD，
∴AB＝4BD＝4．
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对含30度角的直角三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题的突破点是利用∠ACB为直角和CD⊥AB于D，求出∠DCB＝90°﹣∠B＝30°，以后的问题即可迎刃而解了．
二．填空题（共5小题）
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果BD＝2，那么DE＝ 3 ．
【考点】含30度角的直角三角形；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据含30度角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AB＝2BC，
∵CD⊥AC，
∴∠A＝∠DCB＝30°，
∴BC＝2BD＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，
∵∠ACB＝90°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°
∴DEAD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，AB＝4．则BD＝ 1 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据同角的余角相等知，∠BCD＝∠A＝30°，所以分别在△ABC和△BDC中利用30°锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD．
【解答】解：在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，且CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠A＝30°，
∵AB＝4，
∴BCAB＝42，
∴BDBC＝21．
故答案为：1．
【点评】本题考查了同角的余角相等和30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握30°锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BD＝6，则AC的长为 3 ．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA＝DB＝6，从而可得∠B＝∠DAB＝15°，然后利用三角形额外角性质可得∠ADC＝30°，从而在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性质即可解答．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，BD＝6，
∴AD＝BD＝6，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，
∴ACAD＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．如图，已知∠ABC＝60°，DB＝24，DE＝DF，若EF＝4，则BE＝ 10 ．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】10．
【分析】过D作DH⊥BC于H，由∠ABC＝60°，得∠BAH＝30°，即知BHBD24＝12，而DE＝DF，DH⊥BC，有EF＝2EH，故4＝2（12﹣BE），从而BE＝10．
【解答】解：过D作DH⊥BC于H，如图：
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAH＝30°，
∴BHBD24＝12，
∴EH＝BH﹣BE＝12﹣BE，
∵DE＝DF，DH⊥BC，
∴EF＝2EH，
∵EF＝4，
∴4＝2（12﹣BE），
解得BE＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，涉及等腰三角形性质及应用，解题的关键是掌握30°所对的直角边等于斜边的一半．
10．如图，等边△ABC的边长为6，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC于E，过点E作EF⊥AC于F，若DE＝EF，则AD＝ 2 ．
【考点】含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】证明△DBE≌△ECF可证得AD＝BE，再根据30°角所对直角边等于斜边一半可得出BD＝2BE，得出AB＝3AD，从而可得解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵DE⊥BC，EF⊥AC，
∴∠DEB＝∠EFC＝90°，
又DE＝EF，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴BD＝CE，
∵AB＝BC，
∴AD＝BE，
∵∠B＝60°，∠DEB＝90°，
∴∠BDE＝30°，
∴BD＝2BE，
∴BD＝2AD，
∴AB＝3AD＝6，
∴AD＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
三．解答题（共5小题）
11．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝2，求BC的长．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）90°；
（2）6．
【分析】（1）DE是边AB上的垂直平分线推AE＝BE，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数；
（2）利用角平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出BE的长，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵DE是边AB上的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE＝30°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝30°+30°＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°；
（2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴EC＝ED＝2，
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE＝90°．
在△BDE 中，
∵∠BDE＝90°．∠B＝30°．
∴BE＝2DE＝4．
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
12．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD＝2，求DF的长．
【考点】含30度角的直角三角形；平行线的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）30°；
（2）4．
【分析】（1）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，则可得出答案；
（2）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC进行求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°；
（2）∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
∵∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝2．
∴CF＝2．
∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．
【点评】本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
13．如图，一条船上午8时从海岛A出发，以20海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．
（1）求海岛B到灯塔C的距离；
（2）若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？
【考点】含30度角的直角三角形；方向角；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）40海里．
（2）上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【分析】（1）根据三角形的外角的性质，得∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°，那么∠ACB＝∠NAC，故AB＝BC＝40 （海里）．
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P，根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．欲确定什么时间小船与灯塔C的距离最短，求得AP．根据三角形内角和定理，得∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．根据含30度角的直角三角形的性质，在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，得PBBC＝20（海里），那么AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里），从而解决此题．
【解答】解：（1）由题意得：AB＝20×2＝40（海里）．
∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，
∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．
∴∠ACB＝∠NAC．
∴AB＝BC＝40 （海里）．
∴从海岛B到灯塔C的距离为40海里．
（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．
∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．
又∵∠NBC＝60°，
∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．
在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，
∴PBBC＝20（海里），
∴AP＝AB+BP＝40+20＝60（海里）．
∴航行的时间为60÷20＝3（时）．
∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
15．同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．
已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BCAB．
法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC＝BD，连接CD．
法二：如图2，延长BC到D，使得BC＝CD，连接AD．
你选择方法 方法一或方法二
证明：
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】方法一或方法二．
【分析】选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC＝BD，连接CD，根据等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可；
选择方法二：延长BC到D，使得BC＝CD，连接AD，利用SAS证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
【解答】证明：选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC＝BD，连接CD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠BDC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝CD，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝AD＝BD，
∴BCAB；
选择方法二：延长BC到D，使得BC＝CD，连接AD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣90°＝90°＝∠ACB，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
∴BA＝DA，
又∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
∴BCAB．
故答案为：方法一或方法二．
【点评】此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
考点卡片
1．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
8．等边三角形的判定与性质
（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
9．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/2/29 16:50:00；用户：组卷4；邮箱：zyb004@xyh.cm；学号：41418967

菁优网APP 菁优网公众号 菁优网小程序